книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

I = - f(a2x2 + b2u2)dt.

2о

Вданном случае требуемый сигнал равен нулю, следователь­ но, цель управления заключается в том, чтобы возвратить систему из произвольного состояния х(0) в состояние равновесия х= 0 с минимальной затратой энергии.

Решение этой задачи, например, методом динамического про­ граммирования [62] определяется уравнением

u1(t) = |th[^(T -t)jx(t).

Для стационарного режима, когда Т достаточно велико, имеем

%(t) = -аЪ_г(х).

Получим управление u2(t) для исходной постановки задачи структурно-параметрическом методом. Введем F(x,y«)=x(t). Из ус­ ловия связи функции Р(х,уж) с управлением получаем

ku2+Xox=0.

Запишем последнее уравнение в виде

u2(t) = yx(t).

Значение Хц определим из условия

О

Решая (1.13.48) при условии, что x(t)=x0e-’4, получим

Итак, имеем

u2(t) = - Jx(t)

D

Из сравнения управлений Ui(t) и u2(t) следует, что замкнутые системы обладают одинаковыми свойствами и обеспечивают minl(x,u).

Следует отметить, что изложенный подход к синтезу опти­ мального управления на основе структурно-параметрического ме­ тода применим не только для линейных или нелинейных систем вида

x(t)=(p(x,t)+g(x)u(t),

когда управление в правую часть уравнения объекта входит в виде линейного слагаемого, но и для систем, описываемых уравнения­ ми вида

где g(x,u,t) - нелинейная функция относительно u(t). Причем функционал, характеризующий качество процесса управления, может быть здесь представлен в самой общей форме.

Решение задачи синтеза управления традиционными методами для системы (1.13.49) требует дополнительных преобразований уравнений объекта, например, расширение вектора состояния за счет включения в него исходного управления [62]. Задача синтеза структурно-параметрическим методом может быть сведена к реше­ нию алгебраического уравнения к-ой степени, где к - степень по­ линома g(u) системы (1.13.49). Второй этап, связанный с оптими­ зацией параметров закона управления, зависит только от вида принятого функционала качества и практически не зависит от структуры исходного объекта.

Выше была рассмотрена задача синтеза оптимального управ­ ления для случая, когда на компоненты вектора состояния x(t) наложены ограничения в виде линейного дифференциального уравнения. Достоинством такого ограничения является то, что при F(x,y*), выбранной в виде разности достижимых координат и их желаемых значений, замкнутая система является линейной. При решении ряда практических задач такое ограничение не всегда является приемлемым. К таким задачам прежде всего относятся те, для которых величина приращения управления должна нели­ нейно зависеть от величины отклонения управляемой координаты от заданного значения.

В общем случае, как отмечалось в разделе 1.13.2. закон изме­ нения Р(х,уж) может быть выбран в любой требуемой форме

(p(x,F(x,yJ,F(x,yJK),...,F (n)(x,yj) = <p(PiF(x,yj). (1.13.60)

Синтез управления структурно-параметрическим методом при ограничении типа (1.13.50) на первом этапе практически не отли­ чается от рассмотренного. Основной задачей в этом случае являет­ ся выбор значений параметров X и Bj, обеспечивающих устойчи­ вость решения уравнения (1.13.60). Если уравнение (1.13.50) представить в виде совокупности линейных членов относительно производных функций F(x,yж), т.е.

ф(#)= F(n)(x,yJ + An_1F(n_1)(x,y5K)+...+X1F(x,y}K), (1.13.51)

то задача анализа устойчивости существенно упрощается. Запишем уравнение (1.13.50) с учетом (1.13.51) и при усло­

вии, что нелинейная функция ф(р,Р(х,уж)) является некоторым полиномом от F(x,y«).

Данное уравнение записано для скалярной функции Р(х,уж). Если Р(х»Уж) “ векторная функция, то выражение FJ, j = 2,п трактуется как векторы, составленные из соответствующих компонент векто­ ра F(x,yw) степени j.

Р0; g(y) - n-мерная векторозначная функция. Причем компоненты

g(y), i = 1 , n - 1 равны нулю, a g(y) равен правой части уравнения

(1.13.52) за вычетом элемента Ро^(х,уж).

Прежде, чем приступать к синтезу управления, необходимо исследовать устойчивость управления (1.13.53) либо (1.13.52) в окрестности некоторого заданного равновесного состояния. Для указанного уравнения такой точкой является начало координат. Выберем матрицу Ау так, что все собственные значения отвечают условию RecTj<-p<0. Предположим также, что для любого б>0 су­

Тогда начало координат асимптотически устойчиво по Ляпу­ нову [25].

Для исследуемой функции g(y) условие (1.13.54) является вы­ полнимым. Однако здесь определяются не все коэффициенты уравнения (1.13.53), а лишь А$, j = 1,п - 1 и Ро*

В реальных системах автоматического управления необходимо одновременно обеспечивать выполнение различных условий, на­ пример, быстродействие, время регулирования и величину перере­ гулирования. Следовательно, выбор коэффициентов jjj; j=2,3,..., исходя лишь из условия устойчивости, является недостаточным.

Для широкого класса задач функция g(y) можно представить в ви­ де

В этом случае при выполнении условий (1.13.54) и р^О сис­ тема (1.13.53) является устойчивой по Ляпунову. Интервал изме­ нения коэффициента ($1э в пределах которого начало координат асимптотически устойчиво по Ляпунову, может быть расширен. Это расширение достигается за счет сужения области изменения y(t). Так, например, для звена первого порядка и функции g(y) в виде (1.13.55) изменение значения коэффициента Рх, в пределах которого решение уравнения устойчиво, может быть представлено в виде

< 0, для Vy(t), t е[0, оо).

Первый этап синтеза управления, связанный с определением структуры закона управления, полностью совпадает с изложенным выше. Рассмотрим более подробно второй этап - этап выбора оп­ тимальных значений параметров закона управления.

Закон управления, удовлетворяющий условию (1.13.52), для линейного или нелинейного объектов обеспечивает замкнутой сис­ теме управления свойства, идентичные (1.13.53). Решение уравне­ ния (1.13.53) в аналитическом виде представляет собой опреде­ ленные трудности, а порой и не представляется возможным полу­ чить его в виде

y(t)=<Py(eat, y (t0))

при условии, что желаемая траектория уж(10 тождественно равна нулю. Следовательно и интеграл (1.13.48) не имеет аналитическо­ го решения. Эти ограничения приводят к тому, что поиск опти­ мального решения выполняется численными методами. Процедура поиска решения может быть представлена в виде совокупности операций, составленной на основе градиентных методов. Выбор конкретного алгоритма зависит от подхода к решению двух глав­ ных вычислительных проблем:

-вычисление градиента с минимальными затратами и требуе­ мой точности;

-отыскание минимума функции на заданном направлении.

Таким образом, применение структурно-параметрического ме­ тода в задачах оптимального управления с ограничениями вида (1.13.23) позволяет существенно упростить процедуру поиска n(t).

В заключение отметим, что использование структурно-пара­ метрического метода в задачах оптимального терминального управления аналогично задаче регулятора.

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В

ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

В широком смысле под анализом понимается процедура ис­ следования систем в заданных условиях функционирования для определения показателей ее эффективности. Эти исследования проводят аналитическими, экспериментальными методами и мето­ дом имитационного моделирования. Необходимо подчеркнуть, что экспериментальные исследования, как правило, очень трудоемкие и дорогостоящие. Кроме того, они позволяют получить показатели эффективности постфактум, уже после создания опытного образца системы, в то время как эти сведения желательны еще на стадии ее проектирования. В связи с этим основное внимание будем уде­ лять аналитическим методам исследования и методам имитацион­ ного моделирования.

Определение показателей эффективности необходимо для вы­ яснения их соответствия требуемым значениям и возможности их улучшения. Под условиями применения понимается поле возмож­ ных значений фазовых координат (например, дальностей, скоро­ стей), показателей состояния окружающей среды (температуры, давления, влажности) и ограничений, накладываемых на систему (допустимые перегрузки, минимальная дальность применения, чувствительность приемника и т.д.).

В узком смысле анализ систем сводится к определению пока­ зателей устойчивости, точности, помехоустойчивости и чувстви­ тельности к изменению условий применения и точности выдержи­ вания параметров. Попутно определяется и поле условий приме­ нения, в котором эти показатели удовлетворяют заданным требо­ ваниям. Кроме того, в процессе анализа выявляются критичные по тем или иным показателям режимы работы и предлагаются ре­ комендации по повышению эффективности ДС и возможным ее упрощениям, не приводящим к существенным ухудшениям пока­ зателей эффективности. Ниже основное внимание будет уделено методам анализа ДС на устойчивость, точность и чувствитель­ ность.

Большую группу методов анализа составляют классические приемы и процедуры исследований линейных стационарных сис­

тем. К ним относятся методы, основанные на использовании пре­ образований Лапласа и Фурье, Z-преобразований, передаточных функций и структурных схем. Однако эти методы трудно исполь­ зовать для анализа многомерных и статистических систем. При анализе последних широкое применение находят связанные между собой корреляционный и спектральный методы [67].

Более универсальны современные методы анализа, основанные на представлении процессов и систем в пространстве состояний [34, 58, 67, 77]. Эти методы применяются при анализе многомер­ ных и одномерных, детерминированных и статистических, линей­ ных и нелинейных, стационарных и нестационарных систем. При этом на основе одних и тех же моделей можно использовать как аналитические методы исследований, так и методы имитационного моделирования на ЭВМ. Наиболее полно и строго современные ме­ тоды анализа разработаны для линейных стационарных систем. Среди них можно выделить различные модификации процедур и приемов анализа систем на устойчивость, точность и чувствитель­ ность.

Исследования ДС на устойчивость, выполняемые аналитиче­ скими методами и методами имитационного моделирования, про­ водятся как для систем в целом, так и для отдельных их режи­ мов, подсистем и устройств. Кроме констатации самого факта ус­ тойчивости, выявляется поле условий применения ДС, подсистем и устройств, в котором они функционируют устойчиво. Одновре­ менно определяется допустимый диапазон изменения параметров отдельных устройств, влияющих на устойчивость ДС в целом.

В процессе анализа на точность в общем случае находят по­ тенциальные и реальные ошибки функционирования с привлече­ нием как аналитических методов, так и имитационного моделиро­ вания. На первом этапе анализа обычно определяют потенциаль­ ную точность систем и отдельных устройств. Исследование потен­ циальной точности проводится с целью определения минимально возможных ошибок функционирования. Кроме того, потенциаль­ ная точность служит одним из необходимых признаков соответст­ вия ДС заданным требованиям. Бели показатели потенциальной точности не соответствуют требованиям, то дальнейший анализ направлен на выявление причин такого несоответствия. Для опти­ мальных ДС потенциальная точность обусловлена дисперсиями ошибок фильтрации, которые вычисляются в процессе решения уравнений Риккати [34]. При этом необходимо отметить два об­ стоятельства.

Дисперсии зависят от условий применения, определяющих в (1.4.1) и (1.4.2) статистические характеристики возмущений £х и £и. В связи с этим анализ на потенциальную точность необходимо проводить для всего поля возможных значений спектральных плотностей или дисперсий возмущений.

Решение уравнений Риккати аналитическим способом воз­ можно только для оптимальных фильтров малой размерности. Во всех остальных случаях значения дисперсий ошибок фильтрации получаются в процессе численного решения уравнений Риккати на ЭВМ.

Если потенциальные ошибки соответствуют требованиям, то исследуется точность фильтрации в условиях, приближенных к реальным (в дальнейшем реальная точность). Получить показате­ ли реальной точности аналитическими методами можно только для систем малой размерности. Поэтому основным методом иссле­ дования реальной точности является имитационное моделирование на ЭВМ. В процессе этого моделирования определяются динамиче­ ские и флуктуационные ошибки во всем поле возможных условий применения, а также наличие расходимости процессов оценива­ ния. Суть расходимости состоит в том, что в реальных условиях функционирования ошибки фильтрации (х-х) могут увеличивать­ ся, существенно превышая свои теоретические значения, опреде­ ляемые в процессе решения уравнений Риккати. Причины расхо­ димости и методы борьбы с ней будут рассмотрены в п.п. 2.2.3- 2.2.5.

Следует отметить, что синтез ДС, как правило, выполняется в рамках тех или иных допущений, которые, позволяя упростить процедуру синтеза, на практике не всегда соблюдаются. Поэтому особое значение приобретает имитационное моделирование для анализа ДС на устойчивость и точность в условиях, когда приня­ тые допущения не соблюдаются.

Другим направлением исследований ДС для выявления их способности функционировать в условиях, отличающихся от стан­ дартных, является использование специальных процедур опреде­ ления чувствительности. Под чувствительностью ДС понимается ее способность изменять свои показатели эффективности при измене­ нии условий функционирования, параметров подсистем и уст­ ройств и точности измерителей. Необходимо отметить, что поня­ тие чувствительности имеет двойной смысл. Для адаптивных сис­ тем, целенаправленно приспосабливающихся к изменениям усло­ вий функционирования, параметров подсистем и точности измери­ телей, высокая чувствительность является положительным факто­

ром. Для неадаптивных ДС высокая чувствительность к отмечен­ ным изменениям обычно приводит к ухудшению показателей их эффективности.

Среди методов анализа чувствительности можно выделить две группы. К одной из них относятся методы текущего оценивания чувствительности, позволяющие определить ее на любой текущий момент времени. К другой группе относятся методы интегрального оценивания чувствительности, которые дают возможность полу­ чить ее оценку за все время функционирования ДС.

В свою очередь среди методов текущего оценивания чувстви­ тельности также можно выделить две группы. Первая группа ос­ нована на определении коэффициентов чувствительности. Коэф­ фициенты чувствительности представляют собой изменения пока­ зателей эффективности ДС либо ее фазовых координат, обуслов­ ленные единичными изменениями параметров, условий примене­ ния или погрешностей измерений. Эти коэффициенты определя­ ются в процессе анализа моделей состояния (1.4.1), наблюдений (1.4.2), алгоритмов фильтрации и управления. Анализ проводится путем разложения в тот или иной ряд исследуемых процессов как функций многих аргументов. Роль аргументов играют интересую­ щие изменения фазовых координат, параметров системы и по­ грешности измерений. Коэффициенты членов ряда при указанных аргументах и представляют собой коэффициенты чувствительно­ сти. Достоинством таких методов является возможность их при­ менения для широкого класса нелинейных, линейных, детерми­ нированных, статистических, стационарных и нестационарных систем.

Вторая группа методов текущего оценивания чувствительности основана на определении приращений дисперсий ошибок функ­ ционирования ДС за счет тех или иных несоответствий исходных моделей и реальных условий функционирования. Эти методы наи­ более хорошо разработаны для характеристики чувствительности различных алгоритмов оптимального оценивания [42, 67].

Все рассмотренные методы позволяют оценить чувствитель­ ность как функцию времени. В итоге становится трудно сравни­ вать чувствительность различных систем, поскольку ее показатели могут меняться во времени различным образом. Этого недостатка лишены методы интегрального оценивания чувствительности за все время функционирования ДС. В их основе лежит вычисление абсолютных или относительных приращений оптимизируемых квадратичных функционалов качества, которые вызываются теми или иными изменениями условий функционирования и парамет­

ров системы. Кроме того, такие методы позволяют получить сово­ купную оценку чувствительности при одновременном изменении всех интересующих параметров, фазовых координат и т.д. Необхо­ димо отметить, что, давая более обобщенную оценку чувствитель­ ности, эти методы оказываются существенно более сложными и без применения ЭВМ не реализуемы на практике.

Строгий анализ нелинейных и нестационарных линейных сис­ тем на устойчивость и точность достаточно сложен и трудоемок. Обзор таких методов приведен в [66, 69, 64]. Приближенно об ус­ тойчивости и точности нелинейных систем можно судить по их линеаризованным моделям. Для приближенного анализа неста­ ционарных систем используется метод замороженных коэффици­ ентов, суть которого будет рассмотрена в п. 2 .2 .1 .

2.2.УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.2.1. О бщ и е с в е д е н и я о б у с то й ч и в о с ти м н о го м е р н ы х

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Система считается устойчивой, если после выведения из по­ ложения равновесия малыми возмущениями, она самостоятельно возвращается в исходное состояние. Под положением равновесия понимается невозмущенная фазовая траектория, определяемая од­ нородной частью в общем случае нелинейных уравнений состоя­ ния с переменными коэффициентами.

Если эволюции многомерной системы описываются линейны­ ми векторно-матричными уравнениями (1.4.1), то ее устойчивость не зависит от воздействий управляющих сигналов и и возмущений

и определяется решением однородного уравнения

Наиболее прост анализ на устойчивость для линейных стацио­ нарных систем. Поэтому в дальнейшем элементы матриц F и В в (1.4.1) и (2.2.1) полагаются постоянными.

Чтобы решение (2.2.1) было асимптотически (при Ь-*я) устой­ чивым, необходимо и достаточно существования отрицательных вещественных частей у корней уравнения [64]