книги / Линейная алгебра
..pdfстроят матрицу простого поворота
/1
1
cos р |
.............. — sm р |
|
1 |
|
(9.18) |
sin у? |
cosp |
1 /
При этом угол p выбирают так, чтобы в матрице Аъ+ 1 из соот
ношения (9.17) обратился в нуль элемент Заметим, что если в правой части первого соотношения из (9.17) провести умножение
матриц, то элемент |
матрицы Ак+ 1 будет иметь вид |
|
||
а^+1^= (сов2 р — sin2 (р)а\р + cos р •sin p(aW — а-^). |
|
|||
Из равенства нулю этого выражения получаем |
|
|||
|
2аФ |
М < f |
(9.19) |
|
|
” |
W . |
||
|
“ Si - |
a„ |
4 |
|
Чтобы выписать матрицу Т у, нужно знать cos р и sin р. Их легко найти по формулам
cos 2р —
•v/1 + tg22<р '
/1 + cos 2ф |
. |
, /Г — cos 2у> |
( 9.20) |
cos tP = \j----- j ----- ’ |
ат<Р= ± у ~ |
||
Чтобы выполнялось условие \р\ < 7г/4, знак у корня в формуле для sin р выбирают такой, какой знак у выражения
При вычислениях элементов матрицы Аь+ 1 удобно пользоваться (см. [14], стр.182) формулами
4 Г |
|
= |
ат / |
ПРИ |
. |
1 ФЬЗ, |
|
/ • • |
|
« й +1) |
= |
(*+1) |
|
(*) |
(к) ■ |
ПРИ |
|||
а<т |
= “ mi c o s + amj 81а<Р |
т Ф*>3, |
|||||||
a ^ t 1) |
= |
(*+1) |
|
(к) |
, |
(к) |
при |
/ • • |
|
mj |
|
|
а)т |
= -a W sin ^ + a^cosv? |
т ф г,], |
||||
.<*«> |
= |
' cos |
у? + 2а^.' cos у?sm у? + |
sin |
у?, |
||||
« Г |
11 |
= |
а » ' sin |
у? — 2aJ;.' cosу?sin<р+ |
cos |
у?, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• Г |
’ |
= |
|
= |
(cos2 у? — sin2 <р)а\р + cos у?sin у?(а^ — а ^ ), |
||||
которые получаются при сравнении элементов матриц левой и пра вой частей первого равенства из (9.17) (элементы а^*+1\ а ^ +1^ при выбранном у? согласно формулам (9.19) и (9.20) равны нулю).
Метод вращений обладает не ниже, чем квадратичной сходимо стью.
Пример 1. Методом вращений найти собственные значения и соб ственные векторы матрицы
|
|
|
|
|
|
17 |
- 2 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
- 2 |
14 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
- 2 |
- 4 |
14 |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
Положим Ао = А и будем строить при к = 0 по форму |
||||||||||||
лам (9.17) матрицы А\ и Т\. Замечаем, что тах|а^| |
= |
|а^| = 4. |
||||||||||||
Поэтому i = 2, j |
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/ |
1 |
0 |
|
0 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
Tij = Т23 = |
0 |
cosy? |
-siny> 1 |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
\ ° |
sin у? |
|
cosy? / |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg2р |
= |
24 з |
_ |
- 8 |
|
= -о о , |
Л |
7Г |
= |
- |
|
|||
аи |
“ 4 з |
|
1 4 - 1 4 |
^ |
= ~ Г |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
- L , |
s i n ^ |
1 |
|
|
i( |
1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
Т23 = |
|
0 |
1/V2 |
1/\/2 |
|
||||||
|
|
уД ’ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1V о |
- 1Д /2 |
1/V2 |
|
|||||
|
|
|
/ 1 |
0 |
|
0 |
|
\ / 17 - 2 |
- 2 \ |
|||||
Ai = Ц3А0Т73 = |
0 |
1/уД |
-1/уД |
|
- 2 |
14 |
- 4 |
х |
||||||
|
|
|
\ |
0 |
1Д/2 |
1/уД |
/ \ - 2 |
- 4 |
14 |
/ |
||||
1 |
0 |
о |
\ |
О |
1/V 5 |
1Д/2 |
] = |
0 |
-1 Д /2 |
1/уД ) |
|
Следовательно,
Т\ —Т0Т23 = Т23.
Теперь по тем же формулам (9.17) при к = 1 будем строить матрицы
А2 и Т*2 В матрице Aimax|a^| = |
|a^| = 4/\/2. Поэтому г = 1, |
|
3 = 3, |
0 |
— sin у? |
cos (р |
||
Tij = Т13 = ( 0 |
1 |
0 |
sin ip |
0 |
cos (р |
|
2a(1) |
- 8 |
|
|
|
|
|
|||
tg2y> = |
Za13 |
|
|
cos 2^> = |
|
|
|
|||
T iT T J i) |
7V 2 ’ |
\/l + tg22y> |
9 ’ |
|||||||
/1 + cos2u> |
2\/2 |
|
|
/1 — cos2u? |
1 |
|||||
cos * = |
|
= |
|
|
sm^ = " V |
2 |
= “ 3 |
|||
(поскольку |
— a ^ ) = -^ - (1 7 — 10) < 0, то в формуле для sin |
|||||||||
выбран знак -) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
2^1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ti3 = |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
/ |
2^2 |
0 - 1 /3 ^ / |
17 |
0 -4 /V 2 |
|||||
Л2 = T[zAiTl3 = |
0 |
|||||||||
1 |
0 |
, |
|
0 |
18 |
0 |
||||
|
|
|
0 |
ъ З |
|
0 |
10 |
|||
|
1 |
1 |
V - 4 /V 5 |
|||||||
|
|
з |
/ |
|
|
|
|
|||
|
ъ3з |
0 |
1/3 |
\ |
|
|
|
= Л. |
|
|
|
0 |
1 |
о |
|
|
|
|
|
||
V |
- |
* |
2-Л |
/ 0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
Матрица Тъ находится как произведение |
|
|
|
|||||||
Тг = Т = Т23Т13 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3>/2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
-1/З ч/2 |
1Д/2 |
|
|
|
|
|||
|
|
_ 575 |
—!/л/2 |
|
|
|
||||
По найденным матрицам А и Т выписываем собственные значения Ai = А2 = 18, Аз = 9 и соответствующие им собственные векторы
е'1= ( з ^ ,_ з ^ ’ " з ^ ) ’ е,2=( 0,^ ,_ ^ ) ’ ез= (з ’ з’ з)-
Зная матрицы Т и А, можно легко выписать для матрицы А канони ческое разложение А = Т Л Т "1 = ТАГ7. Причем оно будет с ортого нальной трансформирующей матрицей.
Метод Якоби применяют и в случае произвольной действительной, а также комплексной матрицы (см. [14], [29]). Если А — комплексная матрица, то вместо матрицы (9.18) простого поворота применяют унитарную матрицу
/1
cosy? |
—е*^ •sin у? |
Tij =
е *^sin у? |
cosy? |
1/
Напомним, что по формуле Эйлера
eltp = cos у? + t sin <р.
Если А - эрмитова матрица, то метод Якоби остается таким же, как и в случае действительной симметрической матрицы, а именно, для максимального уменьшения на к-ом шаге (см. [14]) суммы ква дратов модулей внедиагональных элементов матрицы А* номера i
и j выбирают так, чтобы элемент (к) был наибольшим по модулю внедиагональным элементом матрицы А*, а углы ф и у? находят из соотношений
(*) |
(*)| |
2|а,- |
|
= arg а,у, |
— а(*)’ |
|
|
|
'И |
Возможны и различные модификации этого метода. Например, при меняют (см. [29]) метод Якоби с циклическим перебором внедиаго нальных элементов.
значения Ai = 4, Аг = 2, A3 = 1 матрицы А и соответствующие им собственные векторы
|
уД |
уД. |
( |
уД . |
у Д |
|
ei |
(2 |
’ ~2 1’ |
\ |
2 *’ |
2 ’ О . |
е3 = (О, О, 1 )Т |
матрицы А.
Если матрица А произвольная комплексная, в частности, она мо жет быть и эрмитовой, то (см. [29]) при выполнимости условия
laij &ji\ “Н[Де(в»< |
aii)] |
Iaij ai*| "Ь |
% ajj)] > |
(9.22) |
углы <p и ф выбирают из соотношений |
|
|
||
Jm(a,j — a; j) •cos ф —iZe(a,j + |
dji) •sin ф = О, |
(9.23) |
||
cos ф •Re(aij + ciji) > 0; |
|
|
||
№<Р = |
Р У + “’a |
\ > 0. |
|
(9.24) |
|
ite y d a — d j j ) |
|
|
|
sin ip ■Re(au — djj) > 0.
Напомним, что Re(z) - действительная часть комплексного числа z} Jm(z) -коэффициент при мнимой части комплексного числа z.
Если же условие (9.22) не выполняется, то (р и ф выбирают из соотношений
Re(dij — dji) - cos ф + Jm(dij + dji) •sin ip = 0 |
(9.25) |
cos ф •Jm(dij + dji) > 0;
(9.26)
Пример 3. Методом Якоби найти собственные знаячения и соб ственные векторы матрицы
3 |
- J |
0 |
гуД |
А = |
0 |
4х |
0 |
V6 |
0 |
1 — Зг |
|
Решение. Будем обращать в нуль элемент в позиции ai3. В этом случае условие (9.22) выполняется, так как
1^13 + азГ|2 + [Ле(ац — азз)]2 = |,\/б + iV 6|2 + [Re(2 + 2i)]2 = 16.
И
|ai3 - a3i|2 + [Jm(an - a33)]2 = |- \/б + *V6|2 + [Jm(2 + 2i)]2 = 16.
Поэтому углы (риф будем находить из соотношений (9.23) и (9.24). Соотношения (9.23) в рассматриваемом случае имеют вид
Г у/бсовф — \/6sinф = О, \ сов ф •л/6 > 0;
Отсюда находим ф = 7г/4. Соотношения (9.24) имеют вид
tg2y? = |
_ %/з ) |
(9.24') |
|
Isin у? •2 > |
0. |
||
|
По известному tg2y? = л/3 находим
cos 2(р =
y/l + bg22ip 2
Затем вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos Ч>= |
V I + cos 2<р |
V3 |
fl — cos 2y? _ |
t |
1 |
|||
------- 2------- |
“ |
T * |
smy> = ± y - |
2 |
” |
± |
2 ‘ |
|
|
|
|
|
|
||||
Для того, чтобы выполнялось второе соотношение из (9.24;) значение sin^> следует взять со знаком + .Таким образом, имеем
К |
уД |
1 |
^ = |
совР = ~2 ~' |
втР = 2 ' |
По этим данным выписываем матрицу
( Л О _1е,>/4
Т13 = I |
0 |
1 |
0 |
\ §е*'/4 |
0 |
^ |
|
и вычисляем матрицу |
|
|
|
|
л |
0 |
1еп |
|
/ |
3 -.- |
|
0 *V6 |
|
2 |
2е |
|
4i |
||||
А\ — TJgATis — |
0 |
1 |
0 |
, |
V |
0 |
0 |
|
|
Ле~\ |
0 |
л |
V6 |
0 |
1—3* |
||
|
2е |
2 |
У |
|
|
|
||