книги / Линейная алгебра

с действительными векторами x = (2, —1, —1)т и у = (0, —\/3, л/3)т Нормируя векторы х н у , получим еще два ортонормированных век­ тора:

как в нем оператор (р имеет каноническую матрицу

В = Т~гАТ =

— матрица перехода от базиса е к базису е'.

Примечание. Для ортогональной матрицы А векторы х и у с действительными координатами в решении w = х + iy системы (А — Ai?)Af ^ 0 при А = а + i/З всегда одинаковой длины, орто­ гональны и удовлетворяют условиям tpx = ах - /?у, = ах + /Зу. Простое доказательство этих утверждений содержится, например, в решении задачи N 1569 в [22]. Векторы х и у можно находить также по формулам X — + w)> у = - й7), где w и w - решения системы (А — АЕ)Х = 0 соответственно при А = а -f г/? и А = а — i/3.

В заключение отметим, что любой линейный оператор, действую­ щий в евклидовом пространстве, разлагается в произведение симме­ трического и ортогонального операторов.

оператора <р* в базисе е'.

Собственные значения сопряженных операторов являются ком­ плексно сопряженными числами. Область значений сопряженного оператора р* является подпространством, ортогональным к ядру опе­ ратора <р.

Основное свойство сопряженного оператора состоит в следующем.

Линейный оператор р } действующий в унитарном пространстве, называют самосопряж енны м или эрм и товы м , если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. если р = р*, или, что то же самое, для любых векторов х и у

(<рх,у) = (х,<ру).

Если р — самосопряженный оператор, то при любом векторе х скалярное произведение (<рх, х) является действительным числом. Ма­ трицей самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является эрмитова матрица, т.е. матрица А = А = А* Все соб­ ственные значения самосопряженного оператора являются действи­ тельными числами. Все собственные векторы самосопряженного опе­ ратора, принадлежащие различным собственным значениям, ортого­ нальны.

Для любого самосопряженного оператора, действующего в уни­ тарном пространстве, существует в этом пространстве одномерное инвариантное подпространство. Если L — инвариантное подпро­ странство относительно самосопряженного оператора р, то ортого­ нальное дополнение ь х этого подпространства также инвариантно относительно (р.

Основным свойством самосопряженного оператора является то, что в унитарном пространстве существует ортонормированный ба­ зис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это озна­ чает, что самосопряженный оператор является оператором простои структуры, а среди матриц Г, приводящих эрмитову матрицу А к действительной диагональной матрице А, т.е. удовлетворяющих со­

отношению

Т~1АТ = Л,

есть унитарная матрица или, что то же самое, эрмитова матрица А обладает каноническим разложением

А= Т А Т "1

сунитарной трансформирующей матрицей Т.

Правило построения унитарной матрицы Т остается таким же, как в случае симметрических матриц (см. п. 6.7). Поясним его на примере.

Пример 2. Построить каноническое разложение эрмитовой ма­ трицы

с унитарной трансформирующей матрицей Г.

Решение. Характеристический многочлен

матрицы А имеет корни Ai = 2 и Аг = — 1. Поэтому искомой диаго­ нальной матрицей Л является

Л =

О

- 1 ) '

При А = 2 система (А —АЕ)Х = 0, т.е. система

имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения &1 = (1 + >, 1)т Нормируя это решение, получим

(положительно определенная) тогда и только тогда, когда все ее ха­ рактеристические числа неотрицательные (положительные).

А ри ф м ети чески м корнем m-й степени из неотрицатель­ ной эр м и товой м атрицы А называют такую матрицу В, что Вт = А. При вычислении у/А следует построить каноническое разложение А = = ТЛТ-1 матрицы А и положить

Линейный оператор <р, действующий в унитарном пространстве, называют унитарны м, если он не изменяет скалярного произведения векторов, т.е. если для любых векторов ж и у

{<рх, <ру) = (х, у).

Отсюда следует, что унитарный оператор сохраняет длины векторов. Унитарный оператор любую ортонормированную систему векторов переводит в ортонормированную систему векторов, ортонормированный базис — в ортонормированный базис.

Линейный оператор <ртогда и только тогда является унитарным, когда

<р*<р = ipip* = е .

Отсюда следует, что унитарный оператор ip — невырожденный и

<р* = <р~1-

Действительный унитарный оператор является ортогональным (см. п. 6.7).

Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице; собственные векторы унитарного оператора, принадлежа­ щие различным собственным значениям, ортогональны. В ортонормированном базисе пространства матрицей унитарного оператора является унитарная матрица, и обратно, если в ортонормированном базисе оператор имеет унитарную матрицу, то этот оператор уни­ тарный. Произведение унитарных операторов является унитарным оператором.

Основное свойство унитарного оператора состоит в том, что в унитарном пространстве, в котором он действует, есть ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это означает, что унитарный оператор является оператором простой структуры, а среди матриц, приводящих унитарную матрицу к диатональному виду с диагональными элементами, равными по модулю единице, есть унитарная матрица или, что то же самое, унитарная матрица обладает каноническим разложением с унитарной трансфор­ мирующей матрицей и диагональной матрицей с диагональными эле­ ментами, равными единице по модулю.

Схема построения унитарной трансформирующей матрицы оста­ ется такой же, как в случае любого оператора простой структуры (см. п. 3.8 и п. 6.7) с той лишь разницей, что базис из собственных векторов исходной матрицы здесь еще ортонормируют. Поясним это на примере.

П ример 3. Построить каноническое разложение унитарной ма­ трицы

с унитарной трансформирующей матрицей Т.

Реш ение. Характеристический многочлен

\A-\E\ =

4/5 - А —Зг/5 —Зг/5 4/5 - А

матрицы А имеет корни Ai = (4 + Зг)/5, Аг = (4 — Зг)/5. Поэтому искомой диагональной матрицей Л является матрица

При А = (4 + Зг)/5 система (А - АЕ )Х = 0, т.е. система

-|**1 - |**2 = О

имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения

т

6i = (1, — 1)т Нормируя это решение, получим

При А = (4 — 3*)/5 также получим вектор

е'2 = С л ’ 7 й )

Из столбцов координат векторов е[ и е2 составим матрицу

т= (

\~уЛ’ •/2 \Дл/2 /

ивыпишем искомое каноническое разложение

В приложениях наиболее часто используют элементарные уни­ тарные м атрицы

Tij —

1 /

являющиеся обобщением матриц вращений в плоскости евклидова пространства, и матрицы отражения, определяемые, как в евклидо­ вом пространстве, равенством

Н = Е- 2vv*

W

где v — столбец координат определяющего вектора отражения. Ма­ трица отражения Н не только унитарная, но и эрмитова, т.е. удовле­ творяет условиям Я = Я " 1 = Я*

Матрицы и Я применяются так же, как матрицы вращений и отражений в евклидовом пространстве. Например, чтобы с помощью

отражения обратить в нуль вторую и третью координаты вектора

Примеры на применение матриц Tij и Н см. в п.6.9 и п.9.2. Важнейшим свойством унитарных и эрмитовых операторов явля­

ется то, что любой линейный оператор разлагается в произведение эрмитова и унитарного операторов. Такое утверждение имеет место и для матриц.

Линейный оператор <р называют нормальным, если он переста­ новочен со своим сопряженным, т.е. если (р<р* = <р*<р.

В ортонормированном базисе матрицей нормального оператора является матрица А , перестановочная со своей сопряженной матри­ цей А*, т.е. удовлетворяющая условию АА* = А*А. Такие матрицы называют нормальными.

Основным свойством нормального оператора, действующего в унитарном пространстве, является то, что в этом пространстве су­ ществует ортонормированный базис, состоящий из собственных век­ торов этого оператора. Верно и обратное утверждение, т.е. если в унитарном пространстве существует базис, состоящий из собствен­ ных векторов оператора, то этот оператор нормальный.

Если оператор <р — нормальный, то всякая ортонормированная система собственных векторов оператора <р является ортонормированиой системой собственных векторов оператора <р*, и наоборот.

Если оператор (р — нормальный, то собственные значения опера­ торов (р и <р* усоответствующие общему собственному вектору, ком­ плексно сопряжены.

Примерами нормальных операторов являются эрмитовы я унитар­ ные операторы.

Из сказанного следует, что нормальный оператор является опера­ тором простой структуры. На матричном языке это означает, что