Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

13.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

( 1	0	0	1- »	1-t
			4	4
0	4	- ¥	1	1
			4	4
0	0	1	О	О

По строкам матрицы		Q выпишем само искомое преобразование пере
менных:	* 1	= + < 1	1 -»,	+ 2 й 3,
			“ —*2
	* 2	= 4 * 1	+ 4 * 2	1 - у
				2
	® 3	=		*3 -

Возможность приведения эрмитовой квадратичной формы к каг ионическому виду для матриц перефразируется следующим образом:

для любой эрмитовой матрицы А существует такая невыро жденная матрица Q, что QTAQ - диагональная матрица с дей ствительными элементами.

При построении матрицы Q, удовлетворяющей этому утвержде нию, следует по матрице А составить эрмитову квадратичную форму, привести ее к каноническому виду и указать преобразование пере менных, осуществляющее приведение этой квадратичной формы к каноническому виду. Матрица Q этого преобразования переменных и будет искомой матрицей. Так, в силу предыдущего примера, для эрмитовой матрицы

/ О		1	+ i	i	\
А =	1 - г		0	2 +	2t
\	- i	2 -	2i	0	/

такой матрицей Q является матрица

/	¥	1/4	-	¥	»
Q =	1/4	1/4	-
V	0	0	1	/

На эрмитовы квадратичные формы переносится определение нор мального вида и закон инерции квадратичных форм.

В унитарном пространстве эрмитовой квадратичной^орме с маг трицей А соответствует эрмитов оператор с матрицей А = АТ По аналогии с рассуждениями из п.7.8 этим пользуются для обоснования приведения эрмитовой квадратичной формы к главным осям, т.е. при обосновании следующего утверждения.

Любая эр м и това квадратичная ф орм а переменны х х i, х2, ..., хп н екоторы м образованием переменны х п риводится виду

с матрицей А о т унитарны м пре к каноническом у

Aiyu/i + Х2У2У2 + •••+ А„ Упуп =
Ai\yi\|2 + А2 \|J/I \|2 + ... + Ап\|уп\|2	(7.26)

с действительными коэффициентами, причем коэффициентами такого канонического вида являются характеристические чи сла матрицы А = АТ (следовательно, матрицы А), а канониче ский ортонормированный базис этой квадратичной формы со стоит из ортонормированных собственных векторов матрицы

Из столбцов координат векторов этого базиса строится унитарная матрица Q, удовлетворяющая условию QTAQ. По строкам матрицы Q выписывается унитарное преобразование переменных, приводящее эрмитову квадратичную форму к каноническому виду (7.26) в глав ных осях. В качестве унитарной матрицы Т, удовлетворяющей усло вию Г " 1АТ = Л, естественно брать матрицу Т = Q.

П ример 2. Привести к главным осям эрмитову квадратичную фор му

f(x i,x 2) = Ъх\Х\ + (2 + 2i)xix2 + (2 — 2i)x2®i +

и указать унитарное преобразование переменных, осуществляющее такое приведение формы / .

Реш ение. Данная эрмитова квадратичная форма имеет эрмитову матрицу

3	2 + 2*	)
А = (2 —2а	1	)

Ей комплексно сопряженной является матрица

А - А		3	2 - 2 *
	2	+ 2*	1 )

Характеристический многочлен

\|А - \Е\ =	3 - А	2 - 2 *	= А2 - 4А - 5
	2 + 2*	1 — А

имеет корни Ai = 5, Аг = —1. Поэтому форма / в главных осях имеет канонический вид

/ = 5|г/1|2 -1зЫ 2.

Перейдем к построению ортонормированного канонического баг зиса эрмитовой квадратичной формы / .

При А = 5 система (А — АЕ)Х = 0, т.е. система

Г	—2®i	+	(2—2г)хг	—О,
\ (2 + 2i)x2		“	4x2	= О

имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения 6i = (1 — i, 1)т Нормируя его, получим е[ = ((1 — i)/л/3, 1/л/3)т .

При А = — 1 также получим вектор е2 = ( (1 — i)/>/6, 2/у/Е)т Векторы е[ и е2 образуют канонический ортонормированный базис эрмитовой формы / . Из столбцов координат векторов е[ , е2 составим матрицу

Q = (	( i - i ) / V 3	( i - i ) / V 5 \
Q = (	1/л/З	-2 /V 6 )

и по ее строкам выпишем искомое преобразование переменных

1 — i 1 — i

* 1 = _7 Г * 1 + ‘ Ж Й '

Матрица Q удовлетворяет условию QTAQ = Л, а матрица Т = Q - условию Г ” 1АТ = Л.

В заключение отметим, что на эрмитовы квадратичные формы переносятся определения положительной (отрицательной) опреде ленности и критерий Сильвестра, а также результаты п.7.9 об одно временном приведении пары эрмитовых форм к каноническому виду.

7.11.Упражнения

1.Записать квадратичную форму в матричном виде:

1)	/ ( x i , X 2, x 3 ) = х \ - 2X2 - 2гсз ~ 4 x iX 2 +	-	4 x i х 3 + 8 х 2 х 3 ;
2)	/(xi,X 2,x3) = Эх? +6x1 +Зх3 - 4 XIX2	-	8xix3 -	4х2х3;
3)	/(х 1, х2, х3) = 2xi + 5хз + 5хз - 4X IX2	-	4xix3 -	8х2х3.
2.	Записать квадратичную форму /(х i,X2 ,x3) по			ее матрице:

(	2 - 2 - 1 4				/	18		6	- 6 4		/ 8		4 - 1
(	- 2	5	2 ) , 2)		(	6 21			0	) , 3)	(	4		- 7 4
	- 1	2	2 /		V “ 6			0	16	/	V - 1			48
/ 1 1		8	5 4		/	2	- 2 2 4				/	3 —3 —1
4) I	8	5 -10		) , 5) ( - 2				3	0 ) , 6) ( - 3				3	1
\	2	—10	2	/	\	2		0	1 /		\ —1		1	7

3. Методом Лагранжа привести квадратичную форму к каноническому виду и указать невырожденное преобразование переменных, осуществля ющее такое приведение квадратичной формы:


1)	/(* 1	,*2,®з)		*i + 2®I ®2 + 2x1 + 4 ®2®з + 5®з;
2)	/(* i,x 2)*з)			1 — 4 1 * 2 + 2 * 1 * з + 4 2 + * ;
3)	/( * 1	,Х2,*з)		12 + 13 + 214 + 223 + 4345
4)	f ( x i , X 2 , x 3)			12 + 21®з + 42®з;
5)	/(* 1 ,Х 2		,Х з)	Х\Х2 4" 4 X1X3 4“ 6x2X3;
6)	/(* 1,*2		,Хз)	2xiХ2 + 4xiхз 4" 8x2X3;
7)	/( * 1,*2		,*з)	х\ 4" х 2 + Зхз + 2xiХ2 4" 4xiХЗ + 6x2X3;
8)	Д 1,2		,*з)	2х? + Х2 + 2хз —4xiХ2 —8x1X3 + 4x2хз;
9)	/(* 1,2 ,з)			2х\ + 5x2 —Зхз —4xiХ2 + 4xiхз —8x2X3;
10)	/(* 1,2 ,з)			2х? 6x2 4*5х§ —8x1X2 —6x2x3.

4. Для заданных ниже матриц А построить такую диагональную матрицу В и невырожденную матрицу Q, чтобы В = Q TA Q .

	/ 2	- 2	0 4		/ 5	- 2 - 2 4			/ 3	2	0 4
1)	- 2	1 - 2		, 2)	- 2	6	0	, 3)	2	4 - 2		,
	\ 0	—2 0 /			\ —2	0	4 /		\ 0 —2		5 /
	/ 2	2 - 2 4			/ 1	- 2	2 4		/ 1	- 2 0 4
4)	2	5 - 4		, 5)	- 2	- 2	4	, 6)	- 2		2 2 ,
	\ —2	—4 5 /			\ 24 - 2 /				\	0 —2 3 /
	/ 3 - 2 - 4 4				/ 1 - 3 - 1 4				/ 1	2 1 4
7)	-2	6 -2		, 8 )	-3	1	1	, 9)	2	-5	2
	\ —4 —2		3 /		\ - 1	1	5 /		\ 1	2	1 /

5. Убедиться в эквивалентности квадратичных форм / и д и найти невы рожденное линейное преобразование переменных, переводящее форму / в форму д :

1) / = ®i 4" 5x2 —4хз 4* 2xiX2 —4х1Хз;

д= 4xi 4" Х2 4- Х3 —4 X IX2 4” 4xiхз —ЗХ2Х3;

2) / = х\ 4- 2x2

4 4xiX2 —2хгхз —4хгхз;

Я— —4xi —Х2 —Х3 —4XIX2 4-4xiX3 4- I8X1X3;

3) / = 5х? 4” 5x| 4" 2хз -f 8x1X3 4” 6x1X3 4“ 6x2x3;

9	=	41 + 1	+ 91 ~ 121*з;
4 ) /	=	+ 5*2	“ 4з-f 212 — 4i*3;

9= 2*i + 18*2 + 8*1 — 12*1*2 + 8*1*з — 27*2*з«

6.Квадратичные формы из упражнения 3 привести к нормальному виду и указать для каждой из них ранг, положительный и отрицательный индекс инерции и сигнатуру.

7.Выяснить вопрос о положительной (отрицательной) определенности квадратичных форм с матрицей


/	2 -2		-1 \		/ 1 - 2				0 \	/	- 8		6	4 \
1)	- 2	5	2	,	2) - 2			2 - 2		, 3 )		6 - 9		2	,
\ -1		2	2 /		\	0 -2			3 /	\		42 - 4			/
/ 1 4		2 - 4 4			/ —5 —2				4 \	/ 3			2	0 \
4)	2 17		2	,	5)	- 2 - 1			2	, 6)	2		4 - 2		,
\ - 4 2 1 4 /					\	4 2 - 5 /				\ 0 —2				б /
/ 2		2 —2 \			/ 1 7 - 8				4 \	/ 5			2 -1 \
7)	2	5 - 4		,	8) -8		17 - 4			, 9)		2	1 -1 .
\ -2		- 4	5 /		\	4 -4			11 /	\ -1 -1				5 /
8. Найти канонический вид в главных осях квадратичных форм:
	1) /(1, 2, Х3)			=	21 +51		+21 - 412 ~213 +42*з;
	2 )	/(I , 2 , з) =—31 + 4 1 2					+ Ю1 з —4 *2 ®з;
	3) /(1,2,*з)			=	—1 + 1 — 51 + 612 + 42^3.

9. Найти ортогональное преобразование переменных, приводящее квадра тичную форму к каноническому виду, и записать этот канонический вид:

1)/(® 1,Х2,*з)

2)/(Х1,*2,*з)

3)/(Ж1,*2,*з)

4)f {x 1,*2,Х3)

5)/(*1,*2,*з)

3)/(*1,*2 ,£ з)

2*1 + *2 — 4*1*2 ” 4*2Хз;

*1 + 2*1 + 3*1 + 4 * 1 * 2 — 4* 2X3;

3*1 + 4*1 + 5*1 + 4*1*2 — 4*2*з; 2*1 + 5*1 + 5*1 + 4*1*2 — 4*1*з — 8*2*3; 5*1 + 6*1 + 4*1 — 4*1*2 — 4*1*з; 7*1 + 5*1 + 3*1 - 8*1*2 + 8*2*3.

10.По характеристическим числам матриц квадратичных форм из уп ражнений 8 и 9 сделать заключение о положительной (отрицательной) опре деленности, неопределенности или полуопределенности этих квадратичных форм.

11.Найти невырожденное линейное преобразование переменных, приво дящее одну из данных квадратичных форм к нормальному виду, а другую

~к каноническому виду:

19-1307

1) / = х \ + 26х| + ЮЖ1Х2;

д— х \ + 56^2 “I"I6 X1 X2 J

2) / = х? + 4x1 + 2хз + 2х1Хз;

д= 8x1 —28x1 + 14x1 + 1 6 xiX2 + 14xiX3 + 32хгЯз;

3)/ = х? + 17x1 + 3x1 + 4 xiX3 —2 xiX3 —14хгхз;

д= х1 —15x1 + 4xi Х2 —2xiX3 + 6 x2 X3 .

12.Привести к каноническому виду эрмитову квадратичную форму и ука зать невырожденное преобразование переменных, осуществляющее такое

приведение квадричной формы:
1) /		=	(2 + *)xiX2 + (2 - t)x2Xi + ixixi -					ix3xi + 1x2X3 -		1x3X2,
2) /		=	(2 + i)xiX2 + (2 —i)x2Xi + 1x1X3 —1x3X1 + 1x2x3 —1x3X2,
3)	/	=	xixi + (1 + i)xix2 + (1 -			»)x2xi + 1x1x3 -			1x3X1,
4 ) /		=	x i x i + X2X2+ X3X3+ (1 + * ) x i x 3 + (1 - i ) x 3x i + 1x 2x 3 - 1x 3x 2,
5)	/	=	X 1 X 1 +	X2X2 +	X3X3 + IX 1X 2		— IX 2X 1	+ (1 +	1*)х2Хз +	(1 — 1*)хзХ2.
13.	Для матрицы А построить такую диагональную матрицу В с действи
тельными элементами и невырожденную матрицу Q, чтобы В = Q T A Q :
1)					2)				3)
Ч			i 1 + i \		Ч	1+i 2 + i \			°)
/ 1			i 1 + i \		/ 1	1+i 2 + i \			/ 1	1	—1
		- i	2 -1	,	1 - i	2	»	,	-1«	1	i
\ 1 - i			i 1	/	V 2 - 1	-1	0	/	\ i	- i	1

14. Убедиться в положительной определенности эрмитовой квадратичной формы:

1)	/	=	3xiXI IX1X2 + IX2X1	+ 3X23?2 + 4ХзХз,
2)	/	=	3xixi + (2 - i)xix2 + (2 + i)x2xi + 7х2		х2 + 4х3х3,
3) /		=	1x1x2 —1x2X1 + 2 x2X2	+ 4хзхз.

15. Найти унитарное преобразование переменных, приводящее эрмитову квадратичную форму / к каноническому виду, и записать этот канониче ский вид, если

1) /		=	3xixi — 1x 1 X2 + 1x 2x 1 + 3x 2x 2 + Эхзхз,
2) /		=3xixi + (2 —i)xiX2 + (2 + i)x2Xi + 7 x2X2 + I6X3 X3 ,
3)	/	=	3x ix i + (2 + 2i)xiX2 +		(2 — 2i)x2Xi +	X2X2 +	9хзхз,
4) /		=	IX1X2	—IX2X1 + 2X2X2 + 4 X2X2,
5)	/	=	IX1X2	—IX2X1 + 9X2X2,
6 )	/	=	3x i x i	+ (2 + 2i ) x i X 2+	(2 — 2 I ) X 2 X I +	6 x 2 X 2 +	X3X 3,
7)	/	=	3xixi + (2 —2i)xiX2 +		(2 + 2i)x2Xi + IOX2X2 + 4хзхз.

Глава 8

Итерационные методы решения систем линейных уравнений

8.1.М етод итераций

При большом числе неизвестных в системе линейных уравнений применение метода Гаусса и других методов, дающих точное реше ние, становится весьма затруднительным. В таких случаях для реше-, ния системы могут оказаться более удобными приближенные методы. Для знакомства с ними рассмотрим м етод итераций (м етод п о следовательных приближений). Решение системы при этом ме тоде получается как предел последовательности приближенных реше ний, которые находятся с помощью некоторого единообразного про цесса, называемого п роцессом итераций.

Принцип построения итерационного процесса состоит в следую щем. Пусть дана квадратная система

{ aii^i +а\2Х2 + ... + ain®n	=	b\y
«21^1 + °22®2 + ••• + fl2n®n	=	f>2,	(8.1)

с невырожденной матрицей и отличными от нуля диагональными эле Onl^l + On2®2 + •••+ CLnnXn = Ьп

ментами ац, а22, •••, Gnn- В ней разрешают первое уравнение отно сительно х \, второе - относительно Х2 и т.д. В результате получают эквивалентную систему

*1	=	01 + <121 +			+ (*1пХп,
*2	=	0 2 + <211	+	<233	+ ••• +	пХп,
						(8.2)
* п	=	0 п + <nll	+		+ в п , п - l Z n - 1 -

Заметим, что при переходе от системы (8.1) к системе (8.2) ино гда бывает выгоднее поступать так, чтобы не все коэффициенты ац были равны нулю. Например, если в системе (8.1) первым является

19*

уравнение

1,02*1 + 012*2 + •••+ агпхп = Ьь

то при переходе к системе (8.2) его удобнее переписать в виде

*i = 6i — 0 ,02*i — 012*2 — ... — ain®n,

и здесь а п = —0.002 ф 0. Аналогичное положение может встретиться и в других уравнениях. Поэтому в общем случае систему (8.2) есте ственно записать в виде

*1	=	01	+ <*11Я1 +		•••Н“ &1пХт
Х2	=	02	+	0121X1 +	. •. +	&2пХп>	( 8.2')
							( 8.2')
Хп	=	Рп +		ОСп1*1 +	•••+	Оп,п®п

Систему (8.2') решают методом последовательных приближений.

Вектор	= (i°\ 2° \ .. .,*п°^)т	принимают за нулевое	прибли
жение.	На практике часто за нулевое приближение берут		столбец
/? свободных членов системы (8.2').		Подставляя вместо i, 2, ..

*п в правую часть системы (8.2') соответственно *i°\ *^°\ ..., *п°\

получают первое приближение				= (* ^ , х^\ ... , *&^)т
поступают аналогично и т.д., т.е. действуют по правилу
.(*+1)	_	0! +	,	(*)
х,	—		+ . •• + ain®n
«н =			.	(*)
		02 + СК21!* + •.. + ОС2пХп , 4 = 0 ,1,2 ,...
« ? +1)	=	Рп +	+ •■ • + ап,пХп\
что то же самое,
		Х (*+1) = р + аХ&\		к = 0,1,2,...,

С ним

'оо со

где а = (otij). В результате получают последовательность прибли женных решений

Х (1), ..., Х&\

Если эта последовательность имеет предел

X = lim Х<*>,

к—+оо

то этот предел является решением системы (8.2'), а следовательно, и системы (8.1). Процесс итераций быстро сходится, если диагональ ные коэффициенты ац, 0 2 2 , . • апп исходной системы значительно

преобладают по абсолютной величине над остальными ее коэффи циентами, или, что то же самое, коэффициенты а|;- системы (8.2х) достаточно малы по абсолютной величине.

Более точно это формулируется так.

Процесс итерации для системы линейных уравнений (8.2х) сходится к единственному ее решению, если какаялибо норма матрицы этой системы меньше единицы, в частности, если выполняется хотя бы одно из следую щих условий:

I H l i	=	m ax*	<N	i1 l
N i c e =		m a x j	la «i< 1 1
				(8.4)
I N I *			<	1
I N I	=	V m a x A a T a<		1

где та х А ата - наибольшее характеристическое число матрицы аТа.

Погрешность приближений в общем случае можно оценить по фор муле

\|\|Х(*+1) -	х(*)ц
и * - x (fc)n <	(8.5)
i - N	I
или по формуле

\|\|	*	- *	Ч \| \|	*	Ж	- \|\|Д \|’
если за нулевое приближение выбран вектор					= /? =	(/? !,..., /?п)т

Из формулы (8.6) можно найти номер к нужной итерации, кото рый обеспечит необходимую точность приближенного решения. На практике процесс итераций обычно приостанавливают, когда во всех координатах приближенных решений стабилизируется нужное число десятичных знаков после запятой.

Пример. Методом итераций решить систему

10®i	+	2x2	+	хз	= 10,
Х\	+	10x2	+	2хз	= 12,

х\ + Х2 + Юа?з = 8.

Реш ение. Разрешив первое уравнение относительно xi, второе - относительно хг, третье - относительно хз, придем к системе

XI =	1	—	0,2*2	-	0	,1*з,
(	1,2	-	0, l* i	-	0 ,2*з,		(8.7)
* 2 =	1,2	-	0, l* i	-	0 ,2*з,		(8.7)
хз =	0,8	—	0, l* i	-	0	,1*2.

Матрицей этой системы является матрица

/	о	—0,2	-0	,1	\
ОТ= [V	—0-,10	, 1 0	-0	,2-	0 , 1	о

Ее норма

||c*||i = шах(0,1 + 0,1, 0,2 + 0 + 0,1, 0,1 + 0,2 + 0) =

=т а х (0 ,2, 0,3, 0,3) = 0,3 < 1.

Поэтому процесс итераций для системы (8.7) будет сходящимся. За нулевое приближение примем

«10) = 1.	.(°) = 1,2,	*(0) =	0,8.
Подставляя эти значения соответственно вместо Xi, Х2,				в правые
части уравнений системы (8.7), получим
4 1* = о,68,	хф = 0,94,	4 °	= °>58-

Сполученным приближением поступим аналогично, и т.д. Результаты вычислений, округленные до трех десятичных знаков

после запятой, приведены в следующей таблице:

к		()	*(t)
	1	*2	х3
0	1	1,2	0,8
1	0,68	0,94	0,58
2	0,754	1,016	0,638
3	0,733	0,997	0,623
4	0,738	1,002	0,627
5	0,737	1,001	0,626
6	0,737	1,001	0,626

Процесс приостановили, так как в значениях каждой неизвестной xi, а?2, хз стабилизировалось по три десятичных знака после запятой. Таким образом, можно принять

X ~ Х 5 = (0,737, 1,001, 0 ,626)т

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб2Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб34Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf
#
12.11.202313 Mб3Малоцикловая усталость при неизотермическом нагружении..pdf

9	=	41 + 1	+ 91 ~ 121*з;
4 ) /	=	+ 5*2	“ 4з-f 212 — 4i*3;