книги / Линейная алгебра

где д(х2, ... , хп) — квадратичная форма уже только от переменных

#2) ***>

С квадратичной формой д можно поступать аналогично. Не более чем через п—1 шагов придем к каноническому виду квадратичной формы /. Результирующее преобразование переменных будет равно произ­ ведению последовательно выполненных преобразований переменных. Пусть Q - его матрица, А - матрица квадратичной формы, С - диа­ гональная матрица полученного канонического вида. Тогда формула (7.12) из п.7.3, принимает вид С = QTAQ.

Пример. Методом Лагранжа привести к каноническому виду ква­ дратичную форму

f(x 1, Д?2, Хп) = 2X1X2 + 2хххз - 6X2X3

и указать невырожденное преобразование переменных, осуществля­ ющее такое преобразование квадратичной формы.

Решение. В данной квадратичной форме отсутствуют члены с ква­ дратами переменных, но есть, например, член 2х\Х2. Поэтому совер­ шим сначала невырожденное преобразование переменных

Врезультате получим,

/= 2у \ - 2yl - 4у1у3 + 8у2уз-

Здесь коэффициент при у\ отличен от нуля. Поэтому можно выде­ лить полный квадрат по у\:

Введем новые переменные по правилу

*1 = 2yi - 2у3, *i = у2, *з = Уз,

т.е. совершим преобразование переменных

1

У1 = 2*1 + *з, У1 = *2, Уз = *з

сматрицей

Вновых переменных квадратичная форма / принимает вид

Вквадратичной форме

д - - 2 z\ + 8z2z3 - 2*1

выделим полный квадрат по *2:

Введем новые переменные по правилу

* 1 = *1 , * 2 = —2*2 + 4*з, * 3 = *3 ,

т.е. совершим преобразование переменных

с матрицей

В новых переменных квадратичная форма / уже имеет канонический вид

/ = 2 *1 —2*2 + 6 ^3 -

Линейное преобразование переменных, сразу приводящее квадрат

Столбцы матрицы Q этого преобразования переменных, т.е. векторы

el = ез = (з, - 1 , 1)Т

составляют канонический базис квадратичной формы / .

Учитывая формулу (7.12) из п. 7.3. изменения матрицы квадра­ тичной формы и тот факт, что симметрическая матрица является матрицей квадратичной формы, доказанное утверждение можно пе­ рефразировать для матриц следующим образом:

для лю бой сим м етрической матрицы А сущ ествует та ­ кая невырож денная матрица Q, ч т о QTAQ - диагональ­ ная матрица.

При построении такой матрицы Q следует по матрице А составить квадратичную форму, привести ее к каноническому виду и указать преобразование переменных, осуществляющее это приведение формы к каноническому виду. Матрица этого преобразования переменных и будет искомой. Так, в силу предыдущего примера, для симметри­ ческой матрицы

квадратичной формы / .

Для нормального вида квадратичной формы выполняется следую­ щий закон инерции:

Число положительных и число отрицательных квадратов в нор­ мальном виде, к которому приводится квадратичная форма не­ вырожденным линейным преобразованием переменных, не зави­ сит от выбора этого преобразования переменных.

Число положительных квадратов в нормальном виде квадратич­ ной формы называют ее положительным индексом инерции и обозначают через i+ ; число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы — ее отрицательны м индексом инер­ ции и обозначают через г_. Очевидно, что i+ + = г. Разность между числом положительных и числом отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы, т.е. i+ — г_, называют си г­ натурой квадратичной ф орм ы и обозначают через 8. Если из­ вестны i+ и i- , то определяются г = t+ + г_ и s = — i _ . Обратно, если известны ранг г и сигнатура s квадратичной формы, то из со­ отношений г = i+ + i _ , s = г+ — г_ определяются i+ и г_

Две квадратичные формы эквивалентны между собой тогда и толь­ ко тогда, когда они могут быть приведены к одинаковому нормаль­ ному виду. Поэтому из закона инерции вытекает такой признак эквивалентности квадратичны х ф орм :

Две квадратичные формы тогда и только тогда эквивалентны между собой, когда равны их ранги и сигнатуры.

Для матриц закон инерции квадратичных форм перефразируется следующим образом:

Для любой симметрической матрицы А существует такая не­ вырожденная матрица Q, что QTAQ — диагональная матрица, на диагонали которой располагаются единицы со знаком + или

—и нули. Количество единиц со знаком + и единиц со знаком

—не зависит от выбора матрицы Q.

При построении матрицы Q, удовлетворяющей этому утвержде­ нию, следует по матрице А составить квадратичную форму, привести ее к нормальному виду и найти матрицу Q линейного преобразова­ ния переменных, осуществляющего приведение квадратичной формы к нормальному виду.

7.6.Знакоопределенные квадратичны е ф орм ы

Квадратичную форму /( х i, ®2>•.., хп) называют положительно (отрицательно) определенной или полож ительно (отрицательно знакопостоянной, если она при любых х = (®i, Х2, ..., хп)т ф 0 принимает положительные (отрицательные) значения, т.е. если при всех х ф 0

хтАх > 0 (хтАх < 0).

Бели же при всех х квадратичная форма принимает значения

хтАх > 0 (хтАх < 0),

то ее называют полож ительно (отри цательно) полуопределенной или неотрицательной (неполож ительной).

Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют неопределенной или знакопере­ менной.

Если квадратичная форма /( х i , Х2, ... , х„) - положительно опре­ деленная, то, очевидно, квадратичная форма —/( х i , Х2, . . . , хп) - от­ рицательно определенная.

У положительно определенной формы все коэффициенты при кваг дратах переменных, определитель матрицы квадратичной формы и все характеристические числа этой матрицы положительны.

Приведем два признака положительной (отрицательной) опреде­ ленности квадратичных форм.

1. Д л я того чтобы квадратичная форма /( х i, х г ,.. . , хп) была по­ ложительно (отрицательно ) определенной, необходимо и до­ статочно, чтобы она приводилась к каноническому виду, со­ стоящему из п членов с положительными (отрицательными) коэффициентами, или, что то же самое, чтобы она приводи­ лась к нормальному виду с п положительными (отрицатель­ ными) квадратами.

2.К ритери й Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма /(x i, Х2, ..., хп) = хт Лх была положительно определен­ ной, необходимо и достаточно, чтобы все последовательные угловые миноры матрицы А были положительными, т.е. чтобы

Для того чтобы квадратичная форма f(x \,х2, ..., хп) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных угловых миноров матрицы А чередовались, начиная со знака минус.

Например, квадратичная форма

/(* 1| *2| ... , хп) = 2*1 + х\ + l l x l - 2*1X2 + 4Ж1®3 - 6*2*3

с матрицей

положительно определенная, так как все угловые миноры матрицы А

положительные.

На практике при выяснении вопроса о положительной (отрица­ тельной) определенности квадратичной формы целесообразно поль­ зоваться первым признаком, т.е. приводить квадратичную форму к каноническому (или нормальному) виду и по нему делать заключение. Это объясняется тем, что приведение квадратичной формы к канони­ ческому (нормальному) виду требует примерно столько же операций, сколько нужно для вычисления лишь одного определителя матрицы квадратичной формы. Кроме того, по каноническому или нормаль­ ному виду квадратичной формы можно судить о ее неопределенности (если есть положительные и отрицательные квадраты) и полуопределенности (если все члены канонического вида либо положительные, либо отрицательные, но их меньше, чем число переменных в квадра­ тичной форме), чего нельзя сделать по критерию Сильвестра. На­ пример, у квадратичной формы

Чтобы найти коэффициенты канонического вида квадратичной формы в главных осах, нужно найти собственное значение ма­ трицы квадратичной формы, причем каждое собственное значе­ ние берется столько раз, какова его алгебраическая кратность. По найденным собственным значениям Х\, Х2г . . Лп выписыва­ ется канонический вид квадратичной формы в главных осях:

При построении канонического ортонормированного базиса ква­ дратичной формы, т.е. столбцов ортогональной матрицы Q, нужно при каждом А,- построить ФСР системы (А —А%Е)Х = 0. Решения каждой такой ФСР ортонормировать. Полученные таким образом векторы-решения всех ФСР составят искомый базис или, что то же самое, дадут все столбцы матрицы Q. По строкам матрицы Q вы­ писывается ортогональное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду в главных осях. Поясним это правило на примере.

П ример. Квадратичную форму

привести к главным осям и указать ортогональное преобразование переменных, осуществляющее такое приведение.

Реш ение. Данная квадратичная форма имеет матрицу

Корнями ее характеристического многочлена

являются Ai = 6, А2 = А3 = —3. Поэтому рассматриваемая квадра­ тичная форма в главных осях имеет канонический вид

/ — §У\ ~ 3у% —Зу|.