книги / Линейная алгебра
..pdfВ заключение отметим, что по каноническому виду (7.20) можно, как отмечалось в п.7.6, судить о положительной (отрицательной) оп ределенности квадратичной формы. Из канонического вида (7.20) так же вытекает, что квадратичная форма положительно определен ная тогда и только тогда, когда все характеристические числа ее маг трицы А положительны; неопределенная, если среди этих чисел есть положительные и отрицательные; отрицательно определенная, если все эти числа отрицательные; полуопределенная, если некоторые ха рактеристические числа равны нулю, а ненулевые - одинаковых зна ков.
7.9.Пары квадратичных форм
Пусть даны две квадратичные формы от п переменных
/(® 1 ,®2, ••-,®п) и д(х 1 ,Ж2, .. .,®п)-
Можно доказать (см.[16]), что в общем случае не существует невы рожденного преобразования переменных, одновременно приводящего две формы к каноническому виду. Если же одна из данных форм, например, первая, положительно определенная, то такое преобразо вание переменных существует. Действительно, совершим преобразо вание переменных
х = Ту,
приводящее первую форму к нормальному виду
/ = у\ + у\ + •••+ у2п-
Тогда этим же преобразованием переменных вторая квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму д(у\, У2, •••, Уп)• Совер шим теперь ортогональное преобразование переменных
у = Qz,
приводящее форму g(yi ,уз, ■■■, уп) к каноническому виду в главных осях
д = Aiz\ + A2Z2 + . . . + Ап*п-
Так как ортогональное преобразование переменных сумму ква дратов переменных переводит в сумму квадратов переменных (это
Его корнями являются Ai = —2, А2 = §. Поэтому форма д в главных осях имеет канонический вид
д = - 2 tl + |*|.
Чтобы найти преобразование переменных, осуществляющее приве дение формы д с матрицей В к главным осям, будем строить ФСР систем (В — AiE)Z = 0 и ортономировать их.
При А = —2 система (В — AiE)Z = 0 имеет вид
f |
2 zi~ ^ 3 Z2 |
= |
°> |
I |
~ 7 з г1 + 7 зг2 |
= |
°- |
Ее общее решение z = (ггг/л/З, z2) имеет одно свободное неизвестное. Поэтому ФСР рассматриваемой системы состоит из одного решения, например, из решения bi = (1,л/3)Т Нормируя его, получим вектор ei = (1/2, у/3/2)т
При А = 2/3 также построим вектор е'2 = (л/3/2, —1/2)т Из столбцов координат векторов е[ и е2 составим матрицу
|
/ 1/2 |
\/3/2 \ |
|
|
4 |
Vу/Ъ/2 |
- 1 /2 |
) |
|
По ней запишем преобразование переменных |
|
|||
1 |
V3 |
|
V3 |
1 |
21 = 2*1 + |
Т * 2’ |
22 = |
T |
h ~ 2h - |
При этом преобразовании переменных квадратичная форма / = z\+ +z| преобразуется в форму / = tl+ t2. Матрицей искомого линейного преобразования переменных будет матрица
/ 1 |
1/2 |
\/3/2 \ |
/ |
1 |
л/З/2 |
А |
w " V о |
1/уД ) \ v s /2 |
- 1 / 2 ; |
V |
1 /2 |
- v s / е |
) |
По ней выписываем само искомое преобразование переменных
. |
\/3 |
1 л/3 |
* 1 = 4 |
+ |
* 2 = 2 ------ g"t2* |
Этим преобразованием переменных квадратичная форма /(жх, ж2)
приводится к нормальному виду / = tj + i\, |
а квадратичная форма |
0(жь ж2) — к каноническому виду д = —2 + |
§*2- |
7.10. К вадратичны е ф орм ы в комплексном п ростран стве
Квадратичную форму от комплексных переменных с комплекс ными коэффициентами иногда (см. [16],[28]) определяют так же, как в п. 7.1 была определена действительная квадратичная форма. Свой ства такой квадратичной формы аналогичны свойствам действитель ной квадратичной формы (см. [16], [28]).
Однако чаще используют квадратичную форму, которую опреде ляют следующим образом.
К вадратичной ф орм ой о т комплексных переменны х xi, Х2,
..., хп называют многочлен с комплексными коэффициентами а,*;*, каждый член которого имеет вид а,; х,х;-, т.е. многочлен
п п
f(x i,x 2 ,...,x n) = ^ r'^ 2 a ijxixj . |
(7.21) |
,=i j=i |
|
Переменные xi, хг, ..., хп можно рассматривать как координаты вектора х в некотором фиксированном базисе комплексного п-мерного линейного пространства Х п. Поэтому квадратичную форму (7.21) можно рассматривать как числовую функцию векторного аргумента х из Х п. Матрицу
составленную из коэффициентов квадратичной формы (7.21), назы вают матрицей эт о й квадратичной ф орм ы . Непосредственной проверкой легко убедится, что квадратичную форму (7.21) кратко можно записать в виде
/(х ) = хтАх.
При линейном преобразовании переменных
x = Qy |
(7.22) |
с матрицей Q матрица А квадратичной формы (7.21) преобразуется в матрицу
Квадратичную форму (7.21) называют эрм и товой , если ее коэффи циенты удовлетворяют условиям
Qij — cZji. |
(7.24) |
В силу этих условий выполняются соотношения
А = АТ, А = АТ = А*
Следовательно, матрица эрмитовой квадратичной формы является эрмитовой. В ней элементы главной диагонали — вещественные чи сла. Эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения, так как
х ТАх = хтАх = (Ах)* х = х*Атх = хтА*х = хтАх.
Теория действительных квадратичных форм с незначительными изменениями переносится на комплексный случай. Приведем основ ные результаты для эрмитовых квадратичных форм.
Л юбая эр м и това квадратичная ф орм а н екоторы м не вы рож денны м линейным преобразованием переменны х п риводится к каноническом у виду
/ = С1У1УХ + ... + Сп уп у п = cilihl2 + с2|у2| + •••+ С„|у„|2 (7.25)
с действительными коэффициентами ci, С2, ..., сп.
Такое приведение эрмитовой формы можно осуществить, как и в случае действительных форм, методом Лагранжа. Сначала заметим, что если в эрмитовой квадратичной форме нет квадратов модулей переменных, то их можно получить, совершив дополнительное пре образование переменных. Действительно, если в эрмитовой форме
п |
п |
f ( x 1ух2) •••ухп) = |
У ! &ijxixj |
»=1;=1
все коэффициенты аи = 0, то в ней есть сумма членов
ClijXiXj ”h QjiXjXi
с aij = aji ф 0. Совершим вспомогательное преобразование перемен ных по формулам
*» = aji(Vi + Уз)> Xj = Vi ~ Vj, xk = yk при к ф i, j.
Таким образом, в форме / выделен квадрат модуля переменной у\. С формой <7(2/2, Jte,.. •, уп) можно поступать аналогично. Не более чем через п — 1 шагов придем к каноническому виду формы / .
Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду эрмитову квадратичную форму
f(x 1 , х2у х3) = (1 + %)х{х2 + (1 - i)x2x l + гх{х3 - гх3х1 +
+(2 + 2г)Х2Хз + (2 - 2г)хза:2
и указать невырожденное линейное преобразование переменных, осу ществляющее такое преобразование квадратичной формы /
Решение. В данной квадратичной форме нет членов с квадратами модулей переменных, но есть, например, член (1 + г)х\х2. Поэтому совершим сначала преобразование переменных по правилу
х \ = ( 1 - i ) ( y i + УХг2)-, У 1 - У2 , х3 = у з
с матрицей
В новых переменных квадратичная форма / принимает вид
/ |
= |
2 ( y i + |
у 12 )- ( у У 2 ) + |
2 ( У 1 “ |
» ) ( ? ! + |
У г ) + |
+(1 + *')(У1 + Уг)Уз + (1 ~ *)Уз(У1 + Уз) + (2 + 2i)(yi - у 2 ) у 3+
+(2 - 2|')у3(У1 - У2) = 4у1Уг - 4у2у2 + (3 + 3*)У1Уз +
+(3 - ЗОузУх - (1 + »)У2Уз - (1 - *)УзУ2-
В полученной квадратичной форме выделим квадрат модуля по пе ременной yi:
f = [42/1 У\ + (3 —3i)2/3j/i] - 4т/2У2 + (3 + H)yiV3 —(1 + г)У2Уз “
- (1 - *)УзУ2 = \ [4yi + (3 - Зг)у3] [4yi + (3 + Зг)у3] ” 4у2у2 -
9 _
- (1 + *)У2Уз - (1 - *')УзУ2 - 2 ^ 3 -
Введем новые переменные по правилу
zi = 4yi + (3 - 3i)y3, |
z2 = y2, |
z3 = уз, |