книги / Линейная алгебра

нормальная матрица приводится к диагональному виду. Причем сре­ ди матриц, приводящих нормальную матрицу к диагональному виду, есть унитарная матрица. Это можно перефразировать так: нор­ мальная матрица обладает каноническим разложением с унитарной трансформирующей матрицей. Правило построения трансформиру­ ющей унитарной матрицы остается таким же, как в примерах 2 и 3. Примерами нормальных матриц являются эрмитова и унитарная матрицы.

6.9.QA-разлож ение матрицы

QA-разлож ением называют представление квадратной матрицы А в виде произведения А = QA с ортогональной (унитарной) матри­ цей Q и правой верхней треугольной матрицей R. QA-раэложение матрицы можно построить с помощью ортогонализации и ортонор­ мирования ее столбцов, а также с помощью ортогональных (унитар­ ных) преобразований.

Действительно, пусть в матрице А = (ai, аг,..., ап) столбцы ai, ct2, ..., ап линейно независимые. Ортогонализируем эту систему век­ торов, проводя процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Затем нор­ мируем каждый вектор полученной ортогональной системы векто­ ров. В результате придем к ортономированной системе векторов

Чг — tinai,

42 = 1112^1 + ^22^2)

4п = Uindi + U2nd2 + . . . + unndn .

В матричной записи это дает равенство

Q = AU,

где Q = (дх, 42у..., qn) — ортогональная (унитарная) матрица,

- правая верхняя треугольная матрица.

unn /

Отсюда получается QA-разложение А = QA с ортогональной (унитарной) матрицей Q и правой верхней треугольной матрицей Д = и - 1.

нализации, считая исходный базис ортонормированным. Для этого положим 6i = oi, 62 = Qfi6i + 02 и найдем сц = —(6i , 02)/(bi,bi) = 0. Отсюда 62 = а2■Далее примем 63 = Р\Ъ\ + /?2^2 + 03 и найдем

Нормируя векторы &х, 62, 63, получим ортонормированную си­ стему векторов

В матричной записи это дает равенство Q = AU, где

Из равенства Q = AU получается искомое фД-разложение А = QR при R = С/-1 .

Для построения QiZ-разложения матрицы А с помощью вращений сначала приведем матрицу А к треугольному виду. В матрице А с

получим нуль на месте элемента азх = 4.

Реш ение. Сначала матрицу А матрицами Tij приведем к треуголь­ ному виду. Начнем с получения нуля в позиции 021 с помощью ма­ трицы

Для этого из равенства нулю элемента Зг cos <рматрицы ТцА в пози­

получим нуль в позиции (3,2). Для этого из равенства нулю элемента

Если известно Q A -разложение А — QR матрицы А системы АХ = = Ьлинейных уравнений, то значительно упрощается решение этой системы, так как она сводится к системе RX = Q~lb с треугольной матрицей R.

6.10.Сингулярное разложение матрицы

Возможность построения для симметрической (эрмитовой) мат­ рицы канонического разложения с ортогональной (унитарной) транс­ формирующей матрицей позволяет для произвольной ( т х ^-матри­ цы получить аналог такого разложения. Прежде всего заметим, что для произвольной ( т х п)-матрицы А ранга г матрицы А*А и АА* являются симметрическими (эрмитовыми) матрицами ранга г и по­ рядков соответственно п и т . Причем они неотрицательны. Поэтому характеристические числа таких матриц являются действительными неотрицательными числами.

Обозначим характеристические числа матрицы А*А через <т\, Oj,

имеет ортонормированную систему собственных векторов ei,e 2, ..., еп соответственно по <т\, а\, ... , , т.е. таких векторов е\, ег,..., еп, что

Эта система векторов переводится оператором с матрицей А в некоторую ортогональную систему векторов Аеi, Ае2, . . АеП) так как

(Ае{,Ае} ) = (А*Ае{, е, ) = сг?(е,-,е; ) = 0 при г ф j.

Кроме того, модуль вектора Ае{ равен сг#*, так как

\Ае{\= у/(А*Ае{, е<) =

Поэтому вектор Ле,- отличен от нулевого вектора тогда и только тогда, когда от,- ф 0, т.е. при г = 17г. Ненулевой вектор Ае{ является собственным вектором оператора АА* по собственному значению o f , так как

AA*(Ad) = A(A*Aei) = -A(ofe<) = (г?Ае{.

— квадратная матрица, состоящая из первых п строк и столбцов матрицы Е, U — ( т х п)-матрица, состоящая из первых п столбцов матрицы <2, V* = Р*

Правило. При конструировании сингулярного разложения произ­ вольной (т х п)-матрицы А ранга г следует:

1.Составить матрицу А*А, найти ее характеристические числа Ai, . . Ап (не нарушая общности, их можно перенумеровать так,

2.Построить ортонормированную систему собственных векторов ei, ег, . . еп оператора с матрицей A*Af принадлежащих соот­ ветственно собственным значениям Ai, Аг, . . Ап. Из столбцов координат этих векторов составить матрицу Р. Это будет ма­ трица перехода от исходного базиса пространства Х п к базису

е1, •••> •

3. Построить ортонормированную систему векторов

Ае1

и дополнить ее любыми векторами Д, Д, ..., / т до ортонормированного базиса пространства Уш. Из столбцов координат векторов Д, Д, ..., / т составить матрицу Q. Она будет матри­ цей перехода от исходного базиса пространства Ym к базису Д ,

ДJ•••) /т*

4.Записать искомое сингулярное разложение А = QEP*

Построенные базисы в2, . . еп и Д , Д , ..., fm являются син­ гулярными базисами пространств Хп и Ym. Причем векторы ei, ег,

..., еп являются правыми сингулярными векторами матрицы А , а векторы Д, Д, ..., fm — ее левыми сингулярными векторами.

Если действительная (комплексная) матрица А симметрическая, то можно добиться, чтобы (см. [34], п. 4.4.) в сингулярном разложе­ нии А = = QEP* ортогональные (унитарные) матрицы Р и Q удовлетворяли условиям Q = Р и Р* = Р т

П ример 1. Построить сингулярное разложение для матрицы

характеристический многочлен |А*А — AJ£| = А(А — 4)(1 — А)2 имеет корни Ai = 4, Аг = A3 = 1, А4 = 0 Поэтому <т\= \А7 = 2, сг2 = <тз = = л/Аг.з = 1 и

2 0 0 0

Е = 0 1 0 0

0 0 1 0

При А = 4 система (А*А — АЕ)Х = 0 обладает ФСР, состоящей из одного решения, например, из решения (1 , 1 , 1 , 3)т , нормируя которое, получим

При А = 1 система (А*А — ХЕ)Х = 0 обладает ФСР, состоящей из двух решений, например, из решений (1 , —1 , 0, 0)т и (1 , 0, —1 , 0)т Ортогонализируя и нормируя эту систему решений, получим

е2 = - ^ ( 1 , - 1 , 0, 0)т , е3 = - ^ ( 1 , 1 , - 2, 0)т

При А = 0 система (А*А - ХЕ)Х = 0 обладает ФСР, состоящей из одного решения, например, из решения (1 , 1 , 1 , — 1)т , нормируя кото­ рое, получим

е4 = | (1 , 1 , 1 , - 1)т

Из столбцов координат векторов e i,е г,е з ,со ст а в и м матрицу

Далее строим векторы