книги / Линейная алгебра

Реш ение. Разрешив первое уравнение относительно х\ , второе относительно Х2, третье - относительно хз, придем к системе

и по формулам (8.8) получим при к = 0

и т.д. Результаты вычислений, округленные до четырех десятичных знаков после запятой, приведены в следующей таблице:

Процесс приостановили, так как в значениях каждой неизвестной xi, £2, хз стабилизировалось по четыре десятичных знака после за­ пятой. За искомое решение можно принять X = (1, 1, 1)т

8.3.Приведение линейной системы к виду, удобному для итераций

Если в исходной системе АХ = Ьхотя бы некоторые диагональные коэффициенты не преобладают по абсолютной величине над осталь­ ными коэффициентами, то с помощью линейного комбинирования уравнений этой системы ее стараются заменить эквивалентной систе­ мой, в которой все диагональные коэффициенты уже будут обладать нужным свойством. Так, в системе

не все диагональные элементы преобладают по абсолютной величине над остальными. Чтобы исправить положение, сложим первое и вто­ рое уравнения и результат запишем первым уравнением; из второго уравнения вычтем третье и результат запишем вторым уравнением; третье уравнение оставим без изменения. В результате получим си­

I

в которой уже все диагональные коэффициенты доминируют по абсо­ лютной величине над остальными. От этой системы обычным путем приходим к системе

уже удобной для итераций.

Такой подход при больших размерах системы не всегда легко при­ водит к цели. Поэтому на практике обычно идут другими путями. Например, если матрица А системы АХ = Ьсимметрическая и поло­ жительно определенная, то от системы АХ = Ьсначала переходят к эквивалентной ей системе

тАХ = тЬу затем полагают тА = Е — Е + тА

и переходят к системе

Остается подобрать множитель г так, чтобы какая-либо норма матрицы Е —тА была меньше единицы. Если положить

где Ai и Аг - соответственно наибольшее и наименьшее характери­ стические числа матрицы А, то спектральная норма матрицы а = = Е — тА системы (8.9), то есть ||а|| = v^naxA0Ta, будет минималь­ ной, меньше единицы и равной

Ai — А2

( 8. 11)

Ai + А2

Этого достаточно для сходимости процесса итераций, применяемого

ксистеме (8.9).

Всилу трудоемкости вычисления характеристических чисел Ai и Аг матрицы А , вместо формулы (8.10) на практике обычно пользу­ ются формулой

где за а берут число, большее любой из легко вычисляемых норм, например, норм

В общем случае, когда невырожденная матрица А системы АХ = 6 произвольная и в ней не все диагональные коэффициенты домини­ руют по абсолютной величине над остальными, сначала от системы АХ = 6 переходят к эквивалентной ей системе АтАХ = АТЬ. Здесь матрица АтА уже будет симметрической и положительно определен­ ной. Поэтому к этой системе применим только что описанный подход при подготовке ее к виду, удобному для решения методом итераций.

П ример. Привести систему

к виду, удобному для решения методом итераций.

Реш ение. В данной системе не все диагональные коэффициенты преобладают по абсолютной величине над остальными.

также удобной для решения методом итераций, так как спектральной нормой матрицы этой системы является

(при подсчете спектральной нормы мы опирались на то, что спек­ тральная норма симметрической матрицы равна модулю ее наиболь­ шего по абсолютной величине собственного значения).

Обобщением (см. [14], [24]) только что описанного подхода явля­ ется прием, когда от системы АХ = Ъс произвольной невырожденной матрицей сначала, как и выше, переходят к системе тАХ = тб. Затем полагают тА = В — В + тА и переходят к системе

Полученную систему решают методом последовательных приближе­ ний по формуле

При этом г выбирают так, чтобы процесс (8.14) итераций был схо­ дящимся.

При В = Е получается метод простой итерации, рассмотренный в п. 8.1. В зависимости от выбора В ф Е тапараметра г приходят к различным модификациям метода итераций. Бели в качестве В вы­ брана какая-либо легко обратимая матрица, то система подготовлена к общему неявному методу простой итерации, осуществляемому по формуле (8.14). Если принимают

то система подготовлена к модифицированному методу простой ите­ рации; при В = D + T L и выборе т так, чтобы наибольшее по модулю собственное значение матрицы 2?— T ( D + T L ) ~ 1A было минимальным, система подготовлена к проведению метода верхней релаксации (см. [10], [14], [24], [32]).

8.4.Упражнения

1.Методом итерации решить системы линейных уравнений:

3.Привести системы линейных уравнений к виду, удобному для прове­

Глава 9

Итерационные методы отыскания собственны х значений и собственны х векторов

9.1.М етод итерации

Для одновременного отыскания собственных значений и собствен­ ных векторов симметрической матрицы наиболее простым является м етод итерации. Поясним содержание этого метода на решении поставленной задачи для симметрической матрицы

третьего порядка. Известно, что собственные значения симметри­ ческой матрицы являются действительными числами, а собственные векторы, принадлежащие собственным значениям Л,- и А;- при i ф j можно выбрать ортогональными друг к другу. По определению соб­ ственный вектор X = (я1 ,Я2,®з)Т> принадлежащий собственному значению Ai, —это ненулевой вектор, удовлетворяющий условию

АХ = AiX,

или, что то же самое, - это ненулевой вектор, столбец координат которого является решением системы

Система (9.1) - однородная относительно а?1э ж2, жз и имеет ненулевые решения, так как вектор X по определению ненулевой. Поэтому в системе (9.1) есть свободные неизвестные. Пусть такой неизвестной является Х3. Примем ее равной единице и систему (9.1) перепишем в виде

Систему (9.2) с неизвестными ж2 естественно решать методом итераций или методом Зейделя, причем соответствующие значения Ai каждый раз находить из соотношения (9.3).

Будем решать систему (9.2) методом Зейделя. За начальное реше­

выбирать и произвольно. Удобно, например, положить А^ = 033, если озз ф 0.) Расчетные формулы будут иметь вид

Через п шагов итерационного процесса получим собственный вектор

X в 4">, 1)т

и собственное значение Ai с* А ^ . Обычно процесс приостанавли­ вают, когда начинаются повторения результатов или когда в значе­ ниях каждой неизвестной стабилизируется по нужному числу деся­ тичных знаков после запятой.

Координаты второго собственного вектора У = (2/1 , 2/2, Уз)ти вто­ рое собственное значение А2 будем искать из системы

при условии ортогональности векторов X и У, т.е. при условии

Исключим в системе (9.5) с помощью соотношения (9.6) неизвестное уз и, принимая 2/2 за свободное неизвестное, положим его равным единице. Тогда придем к соотношениям

Здесь естественно из соотношения (9.7) методом итераций находить 2/1 , а значения Аг и 2/з каждый раз подсчитывать по формулам (9.8) и

Координаты третьего собственного вектора Z = (zi, 2:2, 2з)т мож­ но искать из условий его ортогональности к векторам X и У, т.е. из

Систему (9.11) естественно решать обычными методами. В ней коэффициентами при неизвестных z1 , Z2, 2:3 являются координаты линейно независимых векторов X и У Поэтому одно из решений этой системы представимо (см. п. 2.6) в виде

а остальные решения ему пропорциональны.

Третье собственное значение Аз можно найти с помощью одного из следующих соотношений: