Консппект лекций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.В. Купавцев

Конспект лекций по дисциплине «История механики»

Москва 2009

2

Л. 1

Зарождение механики

Зарождение знаний по механике можно отнести к глубокой древности. Термин «механика» применялся в античном мире. Но ему в течение долгого времени, вплоть до середины XVII века, придавали иной смысл. Термин «механика» происходит от древнегреческого слова mechane, которым называли все искусно придуманное, понимая при этом механическое искусство. Это относилось как к различным машинам и механизмам, так и вообще к «хитроумным» изобретениям. Слово mechane употреблялось и в несколько более узком смысле. Первоначально оно обозначало название подъемных машин, в частности машин, с помощью которых в греческих театрах поднимали и опускали актеров, и вообще механизмов, позволявших посредством силы поднимать значительные тяжести на достаточно большую высоту. Позже этим словом стали называть различные метательные машины, применявшиеся в античной технике.

В настоящее время теория машин и механизмов является одним из разделов механики, а название «механика» распространено на науку о всех видах механического движения.

Историю механики, как науки о машинах и механизмах, можно начинать с очень глубокой древности. Уже в эпоху неолита и бронзового века появилось колесо, несколько позже применяются рычаг и наклонная плоскость. Регулярное применение рычага и наклонной плоскости начинается в связи со строительными работами в древневосточных государствах. И, разумеется, все это время шел процесс выработки, осознания ряда более или менее абстрактных понятий, таких, как сила, перемещение, скорость.

Ирригационные сооружения междуречья Тигра и Евфрата (Древний Вавилон), Средней Азии (Древний Хорезм, Согдиана) и Ирана, высокий уровень строительной техники, о котором свидетельствуют многочисленные памятники этой эпохи, позволяют предположить, что при их постройке также использовались «простые машины» — рычаг, клин, наклонная плоскость.

Однако до нас не дошел ни один древнеегипетский или вавилонский текст с описанием действия подобных машин. Поэтому остается открытым вопрос, были ли известны тогда, например, свойства рычага, которые греки позднее выразили при помощи пропорций, знакомых каждому школьнику. То же относится к древней Средней Азии и Ирану, где письменные источники практически не. сохранились: найдены лишь небольшие фрагменты древнехорезмийских и согдийских рукописей. Основная масса их была уничтожена во время арабского завоевания Средней Азии

вVIII в. н. э.

Таким образом, механику Древнего Востока можно отнести к предыстории

современной механики. Этот период предыстории характеризуется применением результатов накопленного практического опыта, и эти результаты, видимо, не подвергались теоретической обработке.

Известно, однако, что некоторой теоретической обработке в Древнем Вавилоне подвергались результаты астрономических наблюдений. С точки зрения истории механики значительный интерес представляют вавилонские методы вычисления параметров движения небесных тел, которые реконструированы, правда, на основании изучения вавилонских астрономических текстов достаточно поздней эпохи — эпохи Селевкидов (III—I вв. до н. э.). Это — таблицы эфемерид Солнца, Луны и планет, содержащие константы периодического движения светил.

Так как наблюдательные инструменты вавилонян не могли гарантировать точность даже в секундах, естественно предположить, что вавилонские астрономы

3

обрабатывали результаты наблюдений таким образом, чтобы представить их в виде арифметических рядов, соответствующих ступенчатой и линейной зигзагообразной функциям. На таком уровне научного мышления представление о скорости движения должно было принять достаточно абстрактный характер.

Характер античной механики определялся экономическими основами рабовладельческого хозяйства. Развитие рабства в Греции явилось предпосылкой для более широкого разделения труда в производстве. До известного периода это обеспечивало более быстрый рост техники и производительных сил, рабовладельцы же получили досуг для интеллектуальной деятельности. Однако рабовладельческое хозяйство содержало в себе элементы, тормозившие дальнейший рост техники. Рабам в основном поручались такие примитивные работы, которые или вовсе не требовали орудий труда, или выполнялись крайне грубыми орудиями, так как раб, низведенный сам до степени орудия труда, не был заинтересован ни в сохранности, ни в совершенствовании этих орудий.

Таким образом, из особенностей рабовладельческой экономики вытекали примитивный характер античной техники ее медленная эволюция. К рычагу и клину

вэллинистическую эпоху, начавшуюся на рубеже IV—III вв. до н. э., добавляются еще блок и винт. В виноделии и маслоделии использовался пресс как рычажный, так

иоснованный на принципе вдавливаемого клина, а затем винтовой. Для подъема и горизонтального передвижения тяжестей греки и римляне применяли ворот — с горизонтальной осью в первом случае и с вертикальной — во втором. В строительном деле употреблялись также блоки и системы блоков — полиспасты. Вращательные движения преобразовывали с помощью систем зубчатых колес. Более сложные механические орудия (водяное колесо, червячная передача, винт, насос и т. д.) применялись сравнительно редко — рабский труд препятствовал распространению механических приспособлений.

Однако в античном мире были виды деятельности, не связанные или почти не связанные с применением рабского труда. Потребностями военного и морского дела

взначительной степени определялось развитие античной техники. На греческих и римских судах, как гражданских, так и военных, рабы использовались лишь в качестве гребцов. Более ответственные операции — управление рулями, парусами

ит. д.— были делом свободных граждан.

Уровень развития техники в военном деле (особенно в эллинистический и римский периоды) был значительно выше, чем в сельском хозяйстве. Уже в V веке до н. э. (Пелопоннесская война) в афинской армии применялись тараны, которые достигали гигантских размеров. Для метания больших стрел пользовались катапультами; прототипом пулемета был полибол для непрерывного метания стрел; баллисты служили для метания камней. С их помощью ядро в 4 фунта могло быть брошено на расстояние до 300 м. Существовали специальные прицельные приспособления и приборы для изменения траектории.

Очень важным видом деятельности, способствующим развитию техники и механических приспособлений, явилось ремесленное производство, которое, особенно в Греции и эллинистическом мире, было в значительной степени уделом свободных граждан. Именно с ремесленным производством связана разработка различных способов поднятия и перемещения тяжестей при помощи механических приспособлений, «хитроумных устройств» в ткацком, гончарном, ювелирном деле и т. д., т. е. всего того, что, пользуясь современной терминологией, можно объединить в понятие «техническая механика».

Значительным стимулом совершенствования механических устройств было развитие внутренней и особенно международной торговли, связанной с применением золота в качестве менового эквивалента и распространением драгоценных камней. Это способствовало использованию рычага в различных его

4

видах, так как торговые операции требовали более точных способов взвешивания. Появляются весы и безмены самых разнообразных конструкций: с перемещающейся точкой опоры, с неподвижной точкой опоры, но перемещающимся грузом и т. д. Практика взвешивания грузов на безменах основывалась на эмпирическом знании закона рычага, и сама она в свою очередь доводила эти законы до степени очевидности. Устройство безмена было основано на твердом убеждении, что двойному грузу, подвешенному к одному плечу рычага (с неподвижной точкой опоры и постоянным по величине противовесом), соответствует вдвое большее удаление противовеса от точки опоры.

Принципиально новым для античной механики по сравнению с научными достижениями Древнего Востока было то, что наряду со стихийным применением результатов многовекового практического опыта появляются и механические теории.

Характерной чертой античной механики является разобщенность учения о движении — кинематики и учения о равновесии — статики. Развитие этих основных областей механики в течение длительного времени (вплоть до XVII века — периода объединения их в единую науку) шло независимо друг от друга. И это в значительной мере предопределено традициями античной науки. Учение о движении разрабатывалось в рамках общего учения о природе: вопрос о сущности движения был одной из фундаментальных проблем древнегреческой философии. Чисто кинематическое описание движений стало делом астрономов, создававших и достаточно сложные инструменты для своих наблюдений и измерений, и механические модели мироздания: движение небесных тел, согласно общепринятым в античной науке взглядам, не требовало причинных объяснений. Учение о равновесии развивалось на основе опыта применения различных приспособлений.

Можно выделить три направления и три линии развития теоретической механики античного мира, которая зародилась в Древней Греции в VI — V веках до нашей эры. Затем она развивалась в эллинистических государствах и в созданной римлянами империи примерно до V в. н. э.

Статика была почти непосредственно связана с техническими запросами; ее основными проблемами был расчет выигрыша в силе, достижимого с помощью известных механических приспособлений, и вывод условий равновесия при взвешивании и плавании тел. Кинематическое направление находилось, по крайней мере в эллинистическую эпоху, в русле астрономической традиции, к тому времени имевшей уже многовековую историю. В обеих этих областях был достигнут достаточно высокий уровень математизации этой науки — с использованием геометрии, тригонометрии и методов инфинитезимального характера. Общее учение о движении, чем занимались философы, было в основном качественной теорией. Оно, в соответствии с установками главных философских школ эпохи, оставляло в стороне количественную сторону дела и искало объяснения механических явлений, опираясь на повседневный опыт и наблюдения, путем сравнений и сопоставлений.

Наиболее ранние сочинения античных авторов, содержащие механические теории, не сохранились. Однако несомненно, что большинство этих теорий посвящено проблемам статики и что их основой служил принцип рычага. Известно, что Архит Тарентский (около 428—365 г. до н. э.) разрабатывал теорию блока полиспастов, но результаты его исследований до нас не дошли. Ему же некоторые античные авторы приписывают изобретение винта. Изобретение бесконечного винта для подъема и передвижения тяжестей и бесконечного водоподъемного винта связывают с именем Архимеда. По -

5

видимому, появление винта вызвало постановку новых технических и математических проблем. Однако если следовать хронологии источников, надо начинать не с Архимеда, а с философов Древней Греции.

Уже на ранних стадиях развития греческой философии можно обнаружить зачатки двух принципиально различных механических концепций, которые можно назвать кинетической и динамической.

Основные положения динамической концепции древних сводились к следующему: материи чуждо самодвижение — сама по себе она может пребывать лишь в покое; движение материи определяется действием на нее активных движущих начал — сил, существующих независимо от нее и действующих извне. По Эмпедоклу, например, материя приводится в движение двумя противоборствующими мировыми силами: любовью и враждой.

Напротив, с точки зрения кинетической концепции в природе нет каких -либо особых начал движения, не связанных с материей: материи свойственно самодвижение. Наиболее последовательными представителями античного кинетизма были атомисты — Левкипп, Демокрит, Эпикур и Лукреций. Принцип механического самодвижения материи в общей форме выражен в их учении о неразрушимости материи и движения. Согласно атомистам, природа ничего не содержит, кроме материи, движущейся в пустом пространстве.

Яркое и определенное выражение идея вечности движения и невозможности его уничтожить нашла у Гераклита Эфесского (около 530 г. — 470 г. до н. э.). Гераклит учил, что все существующее в природе возникает из вечно движущегося огня. Огонь Гераклита нужно понимать не в смысле обычного пламени, но как некую подобную огню первооснову вещей. Мир, как совокупность вещей, сотворен не богом или человеком, а был, есть и будет вечно живым огнем, закономерно воспламеняющимся и угасающим.

Учение о вечности движения вызвало реакцию со стороны Парменида и других философов элейской школы, которые считали, что это учение делает невозможным познание, ибо о том, что меняется, нельзя сказать ни чего определенного. Элеаты утверждали, что истинное бытие неподвижно и находится вне времени и пространства, а наши представления о пространстве, времени и движении противоречивы и сложны. Это положение защищалось мастером древней диалектики Зеноном в его знаме нитых «парадоксах». Наибольшее же влияние на дальнейшее развитие механики оказало учение Аристотеля.

-

Л. 2 «Физика» Аристотеля.

Много столетий подряд физику изучали по Аристотелю и многие философы считали его основателем современного естествознания. Так, в самом конце XIX века энциклопедия Брокгауза и Ефрона (лучшая из энциклопедий, изданных в нашей стране), начала статью об Аристотеле следующими словами: «Аристотель — один из величайших философов Греции, творец самой законченной и всеобъемлющей системы греческой науки, основатель истинного естествознания и глава перипатетической школы». Число таких высказываний можно многократно увеличить. Мнение философов, что Аристотель является «основателем истинного естествознания», не разделяют физики и механики — ни один из них не упоминает имя Аристотеля среди основателей науки. Если кто-нибудь и вспомнит его, то лишь для того, чтобы указать на ошибочность некоторых его выводов; в лучшем случае

6

вскользь упоминают, что у Аристотеля имеются мысли, отдаленно напоминающие некоторые законы физики.

Однако при изложении законов физики, в частности ее раздела — механики, обойти имя Аристотеля нельзя. Это нельзя сделать хотя бы потому, что первая в мире книга под названием «Физика» написана Аристотелем, и потому, что один из основателей механики — Галилей — всю свою жизнь боролся с учением Аристотеля. Поэтому, не зная Аристотеля, нельзя полностью оценить и значение Галилея.

Отец Аристотеля был придворным врачом македонского царя и прочил своего сына на ту же должность. Первоначальное образование Аристотель (384—322 гг. до н.э.) получил от своего отца, затем он слушал лекции философа Платона; с 343 по 340 годы был воспитателем Александра Македонского; в 334 г. основал в Афинах свою школу. Незадолго до своей смерти Аристотель был обвинен в безбожии и изгнан из Афин.

В аристотелевской натурфилософии фундаментальное место занимает учение о движении. Его сочинения «Физика», «О небе», «О возникновении и уничтожении», «О метеорах» и отчасти «Метафизика» содержат достаточно полное изложение общих понятий механики.

Движение он понимал в широком смысле, как изменение вообще, различая изменения качественные, количественные и изменения в пространстве.

Кроме того, в понятие движения он включает психологические и социальные изменения — там, где речь идет об усвоении человеком технических знаний или об обработке материалов. Понятие движения включает в себя также переход из одного состояния в другое, например, из бытия в небытие. Механическое движение, т. е. изменение в пространстве, Аристотель рассматривает, таким образом, как частный случай движения вообще.

Не удовлетворяясь учением о механической причинности, развивавшимся древними атомистами, Аристотель различал четыре вида причин: материальную, действующую (или причину движения), формальную и финальную (цель или «ради чего»). В первой книге «Метафизики» Аристотель отмечает, что до него ученые указывали на материальную причину (ионийские натурфилософы), затем добавили причину движения (элеаты, Эмпедокл и Анаксагор) и, наконец, некоторые говорили о формальных причинах, признавая идеи за начала вещей (школы Платона). Он впервые указал на цель (или «ради чего») как на четвертую причину образования вещей. Эти телеологические моменты физического учения Аристотеля впоследствии были непомерно раздуты средневековой схоластикой.

На основе различения четырех причин Аристотель ставит вопрос об источнике движения. Материя сама по себе является пассивным началом и низшим по отношению к форме: ей чуждо самодвижение. Согласно учению атомистов, в пустоте тела могут сохранять наличное движение само по себе, без внешних импульсов. Напротив, в учении Аристотеля центральным пунктом является идея косности, пассивности материи. На первый план выдвигается различие между движимым и движущим. Даже в самодвижущихся одушевленных телах Аристотель различал движимое и движущее. Они также требуют наличия чего-то движущего; разница лишь в том, что неодушевленные тела имеют источник движения вовне, в то время как самодвижущееся тело имеет такой источник в самом себе.

Философия Аристотеля выросла из критического анализа платоновского учения об идеях, при этом он стремился привести это учение в более тесную связь с эмпирическими знаниями. Аристотель рассмотрел широкий круг вопросов, включающий логику, поэтику, риторику, религию, историю. Рассмотрел вопросы, касающиеся физики, астрономии и медицины. В логике, основателем которой он по праву считается, Аристотель преимущественно изучал отношение общего к

7

частному, рассматривая общее за истинную сущность того, что есть в отдельных предметах. Объясняя эту связь через «понятия» и закрепляющие их определения, он построил теорию силлогизмов, или умозаключений, как способ достижения научной истины. К числу принципов, на основе которых строятся дедуктивные рассуждения, относятся три впервые сформулированные Аристотелем закона логики: закон тождества, закон противоречия — любое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным — и закон исключенного третьего—любое утверждение либо истинно, либо ложно. (Основные работы Аристотеля по логике объединены общим названием «Органон».) Эти законы Аристотеля широко

предположения противоположного утверждения (доказательство от противного) — это закон исключенного третьего. В повседневных рассуждениях или дискуссиях эти законы используются чисто интуитивно, как правило, не подозревая, а чаще не зная, что в аргументации применяются законы логики, впервые сформулированные Аристотелем.

Эмпирические знания Аристотель заимствовал от других ученых. Он не поставил ни одного физического опыта и не следил за «блуждающими звездами», но он знал, что было сделано до него математиками, астрономами и философами, рассуждавшими о природе, в частности о физике. Все выводы, к которым пришел Аристотель в книгах «Физика», «Метеорологика», «О небе», опирались на чисто умозрительные заключения. Так, он считал, что для поддержания равномерного и прямолинейного движения тела к нему нужно приложить постоянно действующую силу. Это утверждение представлялось ему согласным с повседневным опытом, например при перемещении тела волоком. О том, что при этом возникает трение, Аристотель, конечно, ничего не знал — он видел только лошадей или рабов, волокущих тело, и этого ему казалось достаточным. Далее, он считал, что скорость свободного падения тел зависит от их веса: «Если половинный вес в некоторое время пройдет столько-то, то удвоенный вес пройдет столько же в половинное время». Считая, что все состоит из четырех стихий — земли, воды, воздуха и огня, он пишет: «Тяжело всё то, что способно нестись к середине или средоточию мира; легко всё то, что несется от середины или средоточия мира». Из этого делается вывод: так как тяжелые тела падают к центру Земли, то этот является средоточием мира, а Земля неподвижна. Больший интерес представляют философские рассуждения Аристотеля о таких понятиях, как время, бесконечность. В частности, он считал, что в смысле времени Мир не имеет ни начала, ни конца. В соответствии со своей логикой он пишет: «Поэтому надо идти от вещей (воспринимаем ы х ) в общем к их составным частям». «Необходимо продвигаться от менее явного по природе, а для нас более явного, к явному и понятному по природе». Отметим, что такие общие рассуждения без убедительных примеров не могут продвинуть изучение природы, анализ же конкретных процессов (ему посвящены всего несколько страниц из трёхсот) оказался, как было отмечено выше, ошибочным.

Не лучше обстоит дело и при попытке построить кинематическую теорию движения «блуждающих звезд». Аристотель ввел систему 55 вращающихся сфер, с помощью которых он пытался объяснить все особенности движения планет (идея вращающихся сфер была введена раньше). Конечно, с помощью этой системы сфер нельзя было ни определить положения планет, ни тем более рассчитать их перемещения (в отличие от Птолемея и даже Гиппарха ).

Не без основания английский философ Бэкон в самом начале 17 века в своей книге «Новый органон» написал: «Аристотель свою натуральную философию предал своей логике и тем сделал ее сутяжной и почти бесполезной». Котес (профессор астрономии и опытной физики), издатель 2-го прижизненного издания «Начал»

8

Ньютона, в своем предисловии пишет: «Тех, кто пытался излагать физику можно вообще отнести к трем категориям. Прежде всего выделяются приписывавшие разного рода предметам специальные скрытые качества, от которых неизвестно, каким образом и должно происходить, по их мнению, взаимодействие отдельных тел. В этом заключается сущность схоластических учений, берущих свое начало от Аристотеля Они утверждали, что отдельные действия тел происходят вследствие особенностей самой их природы; в чем же эти особенности состоят, тому они не учили, следовательно, в сущности, они ничему не учили». Конечно, эти мысли своего издателя разделял и сам Ньютон.

Чтобы быть справедливыми, необходимо отметить, что в «Физике» и других книгах Аристотеля имеются не очень точно сказанные (без доказа тельства) слова о равновесии рычага, о сложении движений, о принципе виртуальных перемещений и др. Имеются у него высказывания, которые созвучны с некоторыми новейшими воззрениями теории относительности. При большом желании эти отдельные фразы можно считать верными. Однако нужно иметь в виду, что нечто подобное писали и другие философы. Во всяком случае, нельзя считать, что они оказали какое-то влияние на развитие механики или современной физики.

Из всех работ Аристотеля по естественным наукам необходимо выделить его книгу по медицине. Она содержала полезные рекомендации, ею пользовались древние врачи, она была переведена на арабский язык знаменитым врачом и философом Авиценной. Здесь, бесспорно, сказались уроки отца Аристотеля.

Аристотель считал, что имеется недвижимый движитель всего и первая причина всякого движения. Магометанская религия еще в VIII веке ухватилась за это учение Аристотеля и его метафизику как за научное подтверждение своих учений. Первоначально враждебная к Аристотелю католическая церковь уже в XIII столетии начала признавать его величайшим авторит етом по всем вопросам, не касавшимся непосредственно догматов.

Термин метафизика встречается у Ньютона и Даламбера и употребляется в настоящее время, поэтому следует сказать о нем несколь ко слов. После смерти Аристотеля ученики стали приводить все его сочинения в порядок. За «Физикой» они поставили 14 книг, оставшихся после учителя необработанными. Все эти книги ученики Аристотеля обозначили одним словом «Метафизика» (греческое мета означает «за»), и вскоре они написали книгу «Метафизика», содержащую упомянутые сочинения. В дальнейшем это слово стало обозначать то, что лежит за физикой, точнее за пределами физических явлений. Метафизика вполне удовлетворяла богословов ведь любая религия считает, что существование Бога нельзя доказать — в него можно только верить. Однако Галилей, Ньютон, Даламбер, Лагранж и другие ученые считали, что метафизике не место в натуральной философии.

В целом нужно признать, что работы Аристотеля по физике и теории планетных движений ничего не дали для последующих поколений ученых. Ни один его результат не получил дальнейшего развития, а его стремление решать физические проблемы путем чисто умозрительных заключений без каких-либо опытных проверок было абсолютно неприемлемо для основателей науки о природе.

Воздадим должное: Аристотель был выдающимся философом древнего мира, и теорию логики нельзя изучать, не зная его «Органона». Влияние Аристотеля на последующие поколения философов не вызывает сомнений — все это бесспорно, но ... не будем считать его «основателем современного

9

естествознания». Он посвятил книгу «Физика» предмету, о котором не было еще никаких достоверных знаний, и сам он их не создал. Поэтому его «Физика» представляет интерес скорее для философов, чем для естествоиспытателей. Скажем сильнее: основателям истинного естествознания было не легко пробиться сквозь крепость, которую построила церковь из метафизики и естественно-научных работ Аристотеля (в этом он, конечно, не был виноват). Любая критика или какое-нибудь утверждение, не отвечающее точному значению текста Аристотеля, вызывали у схоластов и ученых богословов глухое недовольство, а иногда и жестокое преследо вание.

Л. 3

Архимед.

Пирамиды в Египте, дороги, мосты, водопровод в Римской империи, величественные храмы в Греции, Индии, Китае и многое другое свидетельствуют о высоком уровне развития инженерного искусства в древнем мире. При строительстве сооружений применялись различные простейшие машины: наклонные плоскости, рычаги, блоки, полиспасты и т. п. Время создания и использования этих машин значительно опередило появление первых серьезных теоретических работ по механике. Все, что знало человечество о механике, как о науке, включая трактаты Аристотеля, не выходило из категорий первоначальных понятий, неопределенных гипотез или необоснованных, а часто и неверных утверждений. Архимед был первым и практически единственным, кто в древние времена ввел в учение о равновесии строгие доказательства, он заложил основы гидростатики и первым рассмотрел вопрос об устойчивости (теперь говорят остойчивости) плавающих тел.

Архимед (287—212 гг. до н.э.) родился, жил и был убит в Сиракузах . Историки не оставили нам сведений, у кого учился Архимед в детские годы, известно только, что он был знаком с элементами «Начал» Евклида. Кроме города Сиракузы, в котором Архимед провел большую часть своей жизни, он побывал в Александрии, где познакомился и не без пользы общался с современными ему учеными.

Многие работы Архимеда до нас не дошли, часть работ дошла в искаженном виде; некоторые его результаты приводят другие авторы. Из дошедших и восстановленных работ механике посвящены следующие книги: «О равновесии плоских фигур», «О механических теоремах» и «О плавающих телах» (две книги).

Статика Архимеда основана в значительной части на учении о центре тяжести. Под последним Архимед понимал точку тела, обладающую следующим свойством: если за эту точку подвесить тело, то оно останется в покое, и будет сохранять первоначальное положение; как следствие отсюда вытекает, что тело, подвешенное за центр тяжести, может остава ться в равновесии в любом положении. Теорема Архимеда о равновесии рычага, как и другие его результаты, приводятся здесь в основном в изложении Лагранжа, который, не искажая хода мысли Архимеда, очень просто привел его доказательства. Содержание теоремы состоит в следующем: если прямолинейный рычаг нагрузить с обеих сторон от точки опоры двумя грузами так, чтобы расстояния от этих грузов до опоры были обратно пропорциональны самим грузам, то рычаг останется в равновесии, а нагрузка

10

на точку опоры будет равна сумме обоих грузов. В качестве исходной, очевидной аксиомы, или закона, установленного экспериментально, Архимед взял случай равных грузов, помещенных на равных расстояниях от точки опоры. Если грузы соизмеримы, то Архимед мысленно разделяет их на большое число равных частей и помещает их на равных расстояниях от опоры, сведя, таким образом, этот случай к нескольким исходным. Для несоизмеримых грузов Архимед применяет метод исчерпывания, состоящий в том, что к таким величинам можно сколь угодно близко приблизиться с помощью соизмеримых величин. Таким образом, Архимед показывает, что между этими грузами не может быть равновесия, если они не находятся между собою в отношении, обратном их расстояниям от точки опоры.

Теорема Архимеда о равновесии рычага важна не столько своим содержанием, сколько доказательством. И до Архимеда были выска зывания, близкие к этой теореме, но все они были бездоказательны — не очень четко высказанные мысли не содержали даже намека на доказательство. Архимед этой теоремой первый показал, что в механике, как и в математике, любое утверждение должно быть строго доказано. Заметим, что в связи с этой теоремой Архимеду приписывают слова: «Дайте мне точку опоры и я подниму (опрокину) земной шар».

Впервой из вышеупомянутых работ Архимед определяет положения центров тяжести плоских фигур. Определив сначала центры тяжести простейших фигур (прямоугольника, треугольника), он за кончил книгу определением центра тяжести параболического сектора. Так же, как и ранее при определении площади такого сектора, он заполняет его более простыми фигурами и, по существу, строит своеобразную интегральную сумму. Приходится удивляться гению Архимеда — ведь он опередил свое время почти на две тысячи лет (задачи такой сложности начали решать только в XVII веке).

Влекциях не рассматривается история развития механики жид костей и газов (так же как и история развития математики). Однако относительно работ Архимеда нужно сделать исключение. Гидростатикой Архимед начал заниматься случайно. Гиерон II, царь сиракузский (Архимед был его родственником), заподозрил своего ювелира в обмане при выделке золотой короны и поручил Архимеду выяснить, не заменил ли ювелир часть золота на серебро. Долго трудился Архимед над решением этой задачи, пока случайно, садясь в ванну, он заметил, что, чем глубже он погружается своим телом, тем больше вытесняет воды. По сложившейся легенде Архимед в восторге от своего открытия с криками «Эврика!» (нашел) голый побежал из купальни домой, чтобы проверить свою догадку. Это случайное событие послужило началом глубоких исследований Архимеда, изложенных им в двух книгах «О плавающих телах». Свою теорию он основывает на двух опытно установленных началах: 1) природа жидкости такова, что менее сжатые части

еевыталкиваются более сжатыми и каждая часть жидкости сжимается всегда весом соответствующего ей вертикального столба; 2) всё, что выталкивается жидкостью, всегда выталкивается по вертикальному направлению.

Из первого начала Архимед прежде всего выводит, что при равно весии поверхность жидкости, все части которой тяготеют к центру Земли, должна иметь сферическую форму. Он доказывает, что тело, вес которого меньше веса равного объема жидкости, погружается в эту жидкость не полностью, а лишь частично, при этом погруженная часть займет о бъем жидкости, имеющей вес, равный весу всего тела. Отсюда он выводит две теоремы гидростатики: I) тело более легкое, чем равный ему объем жидкости,