Консппект лекций

51

В 1850 году Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения,— «Об интегралах общих уравнений динамики» (представлен в 1848 г.). Он показал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в стороне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову

интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирования канонических уравнений принадлежит У.Гамильтону, К. Якоби и М. Остроградскому.

Эта теория состоит из трех основных этапов. Прежде всего, необходимо было найти наиболее простую возможную форму дифференциальных уравнений

относительно некоторых преобразований координат. Термины «канонические уравнения», «канонические преобразования» были введены Якоби.

Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли (1842—

Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений

Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных.

М.В.Остроградский придавал большое значение изучению величин, инвариантных относительно преобразований координат. Он отмечает свойство инвариантности канонических уравнений и дает этому факту совершенно правильное объяснение: причина заключается в том, что самодвижение не зависит от выбора системы координат.

Работы М.В.Остроградского по механике являются основополагающими. Их значение состоит еще в том, что они послужили источником для ряда дальнейших исследований по выяснению основ вариационных принципов механики.

изопериметров», а затем в письме к московскому профессору Н. Д. Брашману, написанном в 1866г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются, поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку. В случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию: интеграл по времени от суммы кинетической энергии Т и потенциальной функции U активных сил на действительном движении имеет минимальное значение. И, обратно, из условия минимальности интеграла можно получить уравнения движения. Принцип Остроградского очевидным образом отличается от принципа наименьшего действия Лагранжа, в котором экстремума достигает интеграл от кинетической энергии.

После опубликования письма Остроградского к Брашману вопрос о справедливости принципов Лагранжа и Гамильтона — Остроградского вызвал

ложность принципа Лагранжа, хотя Брашман, по свидетельству Н. Е. Жуковского, и признавался, что когда он размышляет об этом вопросе утром, то ему кажется, что прав Лагранж, а когда размышляет вечером,— что прав Остроградский. Н. Д. Брашман (1796—1866) и И.И. Рахманинов (1826—1897) обнаружили противоречие у Лагранжа, и вопрос казался разрешенным. Однако, как показал М. И. Талызин (1819—1869), это противоречие доказывает только, что знак вариации означает у Лагранжа, что она не является изохронной вариацией. Талызин же показал, что в принципе наименьшего действия время варьируется, а не варьируется одна из координат.

Сравниваемые движения могут быть различным. В случае изохронной вариации выполняется условие, что сравниваемые движения должны протекать за одно, и то же время; двигаясь по различным траекториям, точка из одного

с неизменной полной механической энергией, на сравниваемых траекториях система должна иметь одну и ту же энергию: Т — U = const.

Для уяснения смысла принципа Лагранжа большое значение имели работы профессора Московского университета Ф. Л. Слудского (1841—1897). Он показал в своих статьях, что Остроградским высказан новый вариационный принцип и что оба принципа — Лагранжа и Остроградского одинаково справедливы: «Выражения начала наименьшего действия, данные этими учеными, суть выражения двух различных общих свойств движения».

Таким образом, Слудский и Талызин показали, что принцип наименьшего действия Лагранжа и принцип Гамильтона — Остроградского принципиально различны. В последнем принципе точке действительной траектории соответствует точка на варьированной траектории, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени, т. е. вариации координат изохронны и время не варьируется.

53

В случае же принципа Лагранжа используются изоэнергетические вариации, справедлив закон живых сил Т — U = const, и время должно варьироваться.

В работах русских ученых всесторонне исследована первая вариация интеграла действия: Д. К. Бобылев использовал при исследовании метод произвольных постоянных, И. И. Сомов привлек криволинейные координаты, И. Д. Соколов отметил специфические особенности применения метода неопределенных множителей для получения уравнений движения, возникающие в силу особого характера условного уравнения Т— U = const; Г. К. Суслов обобщил принцип Гамильтона — Остроградского на случай неголономных связей.

Русские ученые исследовали также вопрос, о том, при каких условиях действительно имеет место минимум; применение теории второй вариации к механике, ее модификация и детальная разработка были даны в работах И. Д. Соколова, В. П. Ермакова, Г. К. Суслова, Д. К. Бобылева. Принципу наименьшего действия посвятил две статьи Н. Е. Жуковский.

Все эти работы показывали, что русская механика вступила в пору своей зрелости, начало которой было положено исследованиями Остроградского. В работах русских ученых был решен комплекс вопросов о характере вариации в принципе наименьшего действия в форме Лагранжа и о методе вывода из него уравнений движения механики. Глубоко изучена была также строгая математическая форма самого принципа наименьшего действия и его связь с уравнениями движения. Выяснение этих вопросов было необходимо для того, чтобы принцип наименьшего действия стал не только безупречным основанием аналитической механики, но и мощным методом исследования в различных областях физики.

Действительно, роль принципа Гамильтона — Остроградского в дальнейшем развитии физико-математических наук оказалась весьма значительной. Теперь трудно указать такую область механики, физики, где мы не встретились бы в той или иной форме с применением принципа Гамильтона — Остроградского. Из других важных трудов Остроградского по механике следует отметить его исследование о принципе возможных перемещений «Общие соображения относительно моментов сил» (1834 г., опубликовано в 1838 г.). Эта работа значительно расширила область применения принципа возможных перемещений, распространила его на так называемые освобождающие (или неудерживающие) связи.

Исследования Остроградского по принципу возможных перемещений являются непосредственным продолжением работ Лагранжа и обобщением его идей. Так считал и сам Остроградский, писавший: «Лагранж не удовлетворился тем, что вывел следствия из принципа И. Бернулли, но расширил и обобщил самый принцип и приложил его к решению труднейших вопросов равновесия и движения систем. Затем вопрос сочли исчерпанным и полагали, что ничего нельзя уже прибавить к теориям, установленным Лагранжем. Однако, продолжает Остроградский, принцип виртуальных скоростей еще шире, чем предполагал сам Лагранж, который, как и Бернулли, считал, что для равновесия системы необходимо, чтобы полный момент, т. е. сумма моментов всех сил, был равен нулю для всех перемещений, которым может быть подвержена система.

Под моментом сил Остроградский подразумевал работу сил. Итак, здесь ученый развивает мысль о распространении метода возможных перемещений на системы с освобождающими связями, поставив условием равновесия требование, чтобы полный момент сил был равен нулю или меньше нуля. Этот же метод был применен Остроградским для вывода дифференциальных уравнений движения, причем эти уравнения были выведены Остроградским и для случая голономных освобождающих связей, и для дифференциальных (неголономных) связей линейного вида.

54

В работах «О мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям» (1838) и «О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции» (1841 г. опубликовано в 1842 г.) М.В.Остроградский дал строгое доказательство формулы, выражающей принцип возможных перемещений, для случая нестационарных связен. Во второй работе указаны некоторые неточности, допущенные Пуассоном в курсе механики.

Лагранж в «Аналитической механике» рассмотрел многие вопросы этой науки, но одна интересная задача теории удара была оставлена им в стороне; частный случай ее был изучен вскоре Л. Карно. В мемуаре «К общей теории удара» (1854 г., опубликовано в 1857 г.) Остроградский исследовал удар систем в предположении, что возникшие в момент удара связи сохраняются и после него. Он распространил здесь принцип возможных перемещений на явление неупругого удара и получил основную формулу аналитической теории удара, из которой легко получается ряд теорем, решение упомянутой задачи и, в частности, обобщение одной теоремы Карно.

М. В. Остроградский читал лекции по аналитической механике. Изложение Остроградского во многом оригинально. Он искал в механике наиболее простых и общих принципов, позволяющих доказывать ее теоремы наиболее изящно, кратко и просто. Остроградскому принадлежат не только общие теоретические труды широкого охвата, но и работы, содержащие решения конкретных частных задач механики, возникших в технической практике того времени. Особого упоминания заслуживает серия его работ по баллистике, предпринятая по заданию русского артиллерийского ведомства. Плодом этих занятий явились два его трактата в этой области: «Заметка о движении сферического снаряда в сопротивляющейся среде» и трактат «О движении сферического снаряда в воздухе» (1840 г., опубликовано в 1841 г.), В этих работах Остроградский исследовал актуальный для артиллерии того времени вопрос о движении центра тяжести, о вращении сферического снаряда, геометрический центр которого не совпадает с центром тяжести. Здесь был сделан существенный шаг вперед по сравнению с несколько более ранними исследованиями Пуассона, который изучил движение сферических снарядов в допущении, что эти два центра совпадают. Формулы Пуассона получаются из формул Остроградского как частные случаи.

Л.15

Развитие вариационных принципов механики

К началу XIX века классическая механика располагала хорошо проверенными законами и достаточно развитым аппаратом, позволяющим решать сложные задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек можно составлять различными методами. Для этих целей очень часто можно пользоваться теоремами о движении центра масс, об изменении момента количества движения и теоремой об изменении кинетической энергии. Безотказно служат этой цели и уравнения Лагранжа второго рода. Все эти методы были известны в XVIII веке, и ими широко пользовались. В XIX веке были установлены новые формы дифференциальных уравнений движения, которые во многих случаях оказались весьма тесно связаны с вариационными принципами.

Учитывая исключительную важность вариационных принципов механики,

55

сформулировал, что следует понимать под словом «действие», и дал совершенно неудовлетворительное, чисто теологическое обоснование своего тезиса. Мопертюи пытался, особенно в первой статье, показать общность сделанного утверждения, что следует и из ее заглавия. В этой статье он вначале перечисляет

которого количество действия будет наименьшим» (курсив Мопертюи). Этот принцип он распространяет на механическое движение.

Эйлер уточнил, что следует понимать в механике под словом «действие», разобрал ряд примеров и ввел название принцип Мопертюи. Строгое математическое доказательство, содержащее перечисление всех условий, дал Лагранж, и теперь этот принцип носит двойное имя — принцип Мопертюи — Лагранжа. Напомним его. Лагранж показал, что если на варьированных траекториях не нарушается интеграл энергии, то на действительном перемещении системы первая вариация интеграла по времени от кинетической энергии Т равна нулю. Интеграл подсчитывается для двух фиксированных момента времени.

Заметим, что во времена Лагранжа и значительно позже него рассматривали (конечно, не оговаривая этого) только системы с голономными и стационарными связями. Поэтому речь могла идти только об изохронном варьировании, когда варьировались координаты и скорости, но не время.

Принцип Мопертюи—Лагранжа является первым вариационным принципом механики. Далее, кратко рассказывая о развитии этих принципов, не будем

постоянства полной механической энергии Т + П, т. е. в варьированном движении постоянная энергия h в равенстве

через постоянную h и потенциальную энергию П. Теперь, пользуясь равенством (1), принцип наименьшего действия в форме Якоби приводится к виду, в котором пределы интегрирования являются начальным и конечным положениями системы, соответствующие начальному и конечному моментам времени.

В 1829 г. Гаусс при рассмотрении движения системы материальных точек предложил свой принцип, получивший название начала наименьшего принуждения Гаусса. Под принуждением Z в данный момент времени Гаусс понимал сумму произведений масс точек на квадраты разности проекций их ускорений и отношения проекций активных сил к массе точки.

Гаусс ввел своеобразное варьирование, при котором варьируются не координаты точек и не их скорости, а ускорения, но при этом не нарушаются уравнения связей.

Гаусс показал, что для каждого момента времени действительного движения несвободной механической системы материальных точек принуждение Z имеет минимум по сравнению с любыми допустимыми варьированными состояниями движения; этот принцип (начало) может быть выражен неравенством

где Z0 и Z—принуждения для действительного и варьированного состояния движения соответственно.

Гаусс доказал свой принцип для систем с идеальными голономными и

следующей лекции). В современной терминологии Гамильтон ввел кинетический потенциал (его еще называют функцией Лагранжа или лагранжианом), равный разности кинетической и потенциальной энергий:

действительном перемещении системы для фиксированного начального и конечного моментах времени. В этом случае говорят, что на действительном перемещении системы интеграл действия S имеет стационарное значение.

Гамильтон рассматривал стационарные связи, т.е. кинетический потенциал L не зависит от времени явно. В 1848 г. русский механик и математик М. В. Остроградский обобщил принцип Гамильтона на случай, когда кинетический потенциал зависит явно от времени t. В настоящее время этот принцип называют принципом Гамильтона—Остроградского. Затем этот принцип был распространен на системы, когда активные силы не являются потенциальными.

Из всех вариационных принципов принцип Гамильтона — Остроградского является наиболее важным. Его используют для систем с распределенными массами, в теории упругости, гидромеханике. В современной физике этот принцип имеет особое значение, что видно хотя бы из того, что Л.Д.Ландау и Е.М. Лифшиц в курсе «Теоретической физики» в качестве основного положения механики взяли принцип Гамильтона—Остроградского. Как показали Эйнштейн, Шредингер, Зоммерфельд, этот принцип распространяется также на релятивистскую и волновую механику. Самые сложные теоретические построения физики наших дней используют этот принцип.

На этом ограничим обзор вариационных принципов механики, базирующихся на основных понятиях, которые приняты в классической механике. Следует отметить, что здесь изложены далеко не все вариационные принципы и рассмотрены не все методы варьирования, в частности, ничего не говорилось об асинхронном варьировании, когда время не фиксируется и, следовательно,

&t=0.

В заключение отметим только, что на все вариационные принципы механики налагается одно обязательное требование — из них должен вытекать второй закон Ньютона или уравнения, получаемые из него.

Л.16

Механика Герца

57

В XVII веке трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики. В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее мощные математические методы.

Казалось, что механика — этот «рай математических наук», как назвал ее Леонардо да Винчи,— достигла высокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь кажущейся, ибо в самих основных понятиях и законах механики заключались многочисленные трудности, которые были только временно отодвинуты, а отнюдь не разрешены мощным прогрессом аналитической механики.

Еще до коренного пересмотра физического содержания основных принципов классической механики, осуществленного теорией относительности и квантовой теорией, появился ряд работ, пытавшихся по-новому осмыслить эти принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла физика континуума поля, потребовавшая критического пересмотра основ классической механики.

Такой попыткой была, в частности, замечательная книга Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи» , которая сыграла важную роль не только в развитии классической механики, но и в исторической подготовке теории относительности Эйнштейна. Это предсмертное сочинение не ставило целью решение практических задач или разработку методов механики. Цель этого сочинения — показать, что общие теоремы механики и её математический аппарат могут быть последовательно развиты, исходя из единого принципа.

Особое место среди вариационных принципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок: нахождение уравнений движения любой системы, голономной или неголономной, сводится к нахождению минимума функции второй степени.

Установление этого принципа, опубликованного Гауссом в 1829 г., связано, как он сам указывает, с его работами по способу наименьших квадратов. В короткой заметке Гаусс с изумительной ясностью и лаконичностью не только осветил вопросы, связанные с формулируемым им принципом, но также высказал весьма интересные методологические соображения и кратко остановился на существовавших тогда принципах механики. Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находящейся под действием каких угодно сил, естественное движение отличается от всех остальных, совместных со связями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.

Во введении к «Принципам механики» Герц характеризует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бесчисленным, действующим на расстоянии силам между атомами материи. Но в конце XIX в., под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии, физика стала предпочитать рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую. При этом считать своей конечной целью сведение явлений к законам превращения энергии». Тогда в механике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построена, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя».

58

По мнению Герца, при этом исходят из четырех независимых друг от друга основных понятий, отношения между которыми должны составить содержание механики. Два на них, по Герцу, носят математический характер — пространство и время; два других — масса и энергия — вводятся как две физические сущности, являющиеся определёнными неуничтожаемыми количествами. Из анализа результатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же, чтобы связать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принципов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практически безразлично; можно воспользоваться принципом Гамильтона».

В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего, она охватывает значительно больше особенностей движения, чем классическая, основанная на понятии силы.

Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматривает в том, что разность между кинетической и

единственном определении однозначно воспроизводит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с неголономными связями.

Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы. Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа (1824— 1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития механики. Вместо понятия силы и энергии, исключаемых Герцем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.

Основной закон, связывающий фундаментальные понятия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обычным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей».

Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утверждение.

Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В качестве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вводится скорость изменения направления при изменении положения. Из всех возможных путей, в тех случаях, когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это, прежде всего пути, которые во всех положениях искривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие. При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают. Так как система n точек выражает Зn многообразие движения, которое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то

59

в результате возникает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так далеко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там.

Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит, прежде всего, в том, что он устраняет искусственное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопоставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.

Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический, и наоборот. Геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины любого другого бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).

Кратчайший путь между двумя положениями есть геодезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любыми двумя достаточно близкими соседними его положениями, находящимися на конечном удалении друг от друга.

Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их дифференциалы удовлетворять уравнениям

— условия системы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, чтобы его вторая вариация была положительно определённой. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.

Уже из этого изложения можно видеть две особенности механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя понятиями, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона). Во-первых, отсутствие среди основных понятий понятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конкретных задач. Во-вторых, особо важная роль отводится геометрическим образам. Если первая особенность ограничивала практическое значение его механики, то вторая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.

Далее Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая аналогия его механики с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица. Теорема Герца гласит: если построить во всех положениях некоторой поверхности прямейшие пути (а, следовательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.

Таким образом, в самой сердцевине механики Герца заключаются геометрические соотношения, которые связывают ее с общей теорией поверхностей. Поэтому пространственные формы механического движения материальных тел играют у Герца основную роль.

Естественно возникает вопрос об отношении принципа Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, которую указал Якоби, и к принципу Гамильтона. Герц посвятил этому вопросу несколько разделов своей книги. Так как в голономной системе прямейший путь между двумя достаточно близкими положениями является одновременно

60

кратчайшим, то естественный путь такой системы между указанными положениями короче, чем какой-нибудь другой возможный путь между теми же положениями. Эта теорема сразу приводит к принципу наименьшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная теорема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют. Однако, «по нашему мнению, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой выражения нашей теоремы». Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наименьшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить время, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби, в отличие от принципа Герца, справедливо лишь для голономных систем.

Легко показать далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит систему из данного начального в достаточно близкое конечное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии. В этом случае энергия и скорость одинаковы, и время перехода пропорционально длине пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энергии на промежуток времени перехода. Таким образом, получается принцип наименьшего действия Эйлера — Лагранжа. Отношение этого принципа к принципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якоби.

Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для принципа Гамильтона. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы. Для своего геометрического рассмотрения Герц должен был считать все массы как кратные некоторой условной единичной массе.

Зоммерфельд справедливо отметил, что «Механика Герца построена в высшей степени увлекательно и последовательно, но в силу сложности замены сил связями оказалась малоплодотворной».

Механику Герца часто называют «механикой без силы». Понятие силы, хотя и вводится Герцем, однако оно не является основным, исходным понятием его механики. В этом состоит, прежде всего, резкое отличие механики Герца от обычного ее изложения. Сложность понятия силы в классической механике, абсолютизация его многими крайними ньютонианцами и заманчивая возможность объяснить силу движением некоторых (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попыткам пересмотреть смысл и место понятия силы в системе механики. Важнейшим стимулом в этом отношении было развитие физики поля, в первую очередь электромагнитного. Классическое понятие силы, которое возникло из изучения непосредственного контакта (удара) двух масс, постепенно стало рассматриваться не как выражение взаимодействия тел в процессе движения, а как нечто не зависящее от движения материи. Физика поля, напротив того, по самому своему характеру подсказывала возможность рассматривать силу как вторичное понятие, выражающее взаимодействие среды (эфира) и весовых тел.

Герц был не первым ученым, разрабатывавшим во второй половине XIX в. «механику без силы». До него это в наиболее отчетливой форме пытался сделать Кирхгоф, который не отвергал совершенно понятие, силы, а только отказывал ему в первичности. Однако всесторонне развил и последовательно изложил эту точку зрения только Герц.