4. Статический расчет рамы

Статический расчет рамы выполним методом перемещений. Неизвестным является горизонтальное перемещение верха колонны Δ₁. Основная система двухпролетная рама с горизонтальной связью, препятствующей горизонтальному смещению. Основная система подвергается единичному перемещению, т.е. Δ=1. При этом в колоннах возникают моменты и реакции R_Δi (для двухпролетного здания R_Δ1, R_Δ2, R_Δ3). Затем рама загружается постоянными и временными нагрузками и определяются основные усилия.

Каноническое уравнение метода перемещений

c_dimr₁₁ Δ₁+R_1p=0

Здесь r₁₁ = ∑R_Δi – сумма реакций колонн рамы от единичной нагрузки,

R_1р = ∑ R_рi - сумма реакций верха колонн от внешней нагрузки,

Δ – перемещение от внешнего воздействия,

c_dim- коэффициент, учитывающий пространственную работу каркаса и принимаемый при шаге рам 12м c_dim=3,5; при шаге рам 6м c_dim=4,0. Коэффициент c_dim учитывается только при действии крановых нагрузок.

Порядок расчета.

• Определяется R_Δi – реакция верха каждой колонны от единичного перемещения Δ=1 (по таблицам приложения)

• Определяетсяr₁₁ – суммарная реакция связи от единичного смещения

• Определяется реакция каждой колонны R_i от силовых воздействий M, N, T, P, по формулам, приведенным в таблице приложения.

• Находится суммарная реакция связи от силового воздействия

1. Определяется горизонтальное смещение от конкретного воздействия

2. Вычисляются упругие реакции колонн R_ie для каждой колонны

3. Строятся эпюры моментов от каждого вида загружения.

Геометрические характеристики

Крайние колонны.

Для верхней части крайней колонны

I^в_к=bh_в³/12=0,5·0,5³/12=0,0052м⁴

Для нижней части крайней колонны

I^н_к=bh_в³/12=0,5·0,9³/12= 0,0304м⁴, α= Н_в/Н=4,95/13,35= 0,371,

k= α³(I^н_к/ I^в_к -1)= 0,371³(0,0304/0,0052 – 1)= 0,247. k₁=0.

Определяется R_Δ1 – реакция верха крайней колонны от перемещения Δ=1.

Средние колонны.

Для верхней части средней колонны

I^в_ср=bh_в³/12=0,5·0,6³/12=0,009м⁴

Для нижней части средней колонны

I^н_ср=2(bh_ст³/12 + bh_ст (с/2)²)=2(0,5·0,3³/12+ 0,5·0,3(0,9/2)²) =0,063м⁴.

Для ветви нижней части колонны (стойки)

I_ст=bh_ст³/12=0,5·0,3³/12=0,001125 м⁴.

α= Н_в/Н=4,95/13,35=0,371,

k₁= (1- α)³I^н_ср/8n²I^н_ст=(1-0,371)³0,063/8·3²·0,001125=0,194.

k= α³(I^н_ср/ I^в_ср-1)= 0,371³(0,063/0,009 – 1)= 0,306.

R_Δ1 – реакция верха средней колонны от единичного перемещения Δ=1

Суммарная реакция колонн

r₁₁=ΣR_Δ= 2·845,3+1456,3=3146,9кН/м².

Усилия в крайней колонне от постоянных нагрузок.

Правило знаков. Моменты, действующие по часовой стрелке и силы, действующие слева направо положительны и вводятся со знаком «+».

От покрытия М₁^в=95,49кНм, М₁^н= -109,13кНм, N₁=545,63кН.

От панелей и остекления М₂^ст =-133,62кНм, N₂^в=222,7кН, N₂^н=252,8кН

От веса подкрановых балок М₃= 66,1кНм, N₃=120,2кН.

От веса надкрановой части колонны М₄^в = -6,47кНм. N₄=32,33кН.

От веса подкрановой части колонны М₄^н =0, N₄^н=98,75кН.

В уровне головы колонны действует момент от покрытия М₁= 95,49кНм.

В уровне уступа колонны действует суммарный момент от покрытия, стеновых панелей, остекления, подкрановых балок и надкрановой части колонны.

М₂= М₂+М₂^ст + М₃+ М₄^в =-109,13-133,62+66,1-6,47= -183,12кНм.

Вычисляем реакцию верхнего конца колонны от действия моментов М₁и М₂.

Реакция правой колонны равна 0,105 кН.

Реакция средней колонны равна нулю, так как колонна загружена центрально.

Суммарная реакция связи в основной системе

R_1p=ΣR_i = 0,105-0,105=0.

Из основного канонического уравнения r₁₁ Δ₁+R_1p=0 следует, что Δ₁=0.

Упругая реакция левой колонны R_e=R₁+ Δ₁R_Δ=-0,105кН.

Изгибающие моменты в крайней колонне от постоянных нагрузок.

В голове колонны (сечение 0-0). М_0-0= М₁=95,49 кНм.

Выше уступа (сечение 1-1). М_1-1= М₁+R_eH_в=95,49 -0,105·4,95=94,97 кНм.

Ниже уступа (сечение 2-2). М_2-2= М_1-1 +М₂ =94,97–183,12=-88,15 кНм.

По обрезу фундамента (сечение 3-3).

М_3-3=М₁+М₂ +R_eH=95,49-183,12-0,105·13,35=-89,09 кНм.

Продольные силы в крайней колонне от постоянных нагрузок.

В голове колонны (сечение 0-0). N_0-0=N₁= 545,63кН .

В сечение 1-1. N_1-1= N₁ +N₂^в =545,63 +222,7 =768,33 кН.

В сечение 2-2. N_2-2= N₁ +N₂^в+N₄^в+ N₃= 545,63+222,7 +120,2+32,33 =920,86кН.

Сечение 3-3. N_3-3=N_2-2 +N₂^н + N₄^н = 920,86+252,8+ 98,75=1272,41 кН.

Усилия в средней колонне от постоянных нагрузок.

Изгибающие моменты в средней колонне от постоянных нагрузок равны нулю.

Продольные силы в средней колонне от постоянных нагрузок.

В голове колонны (сечение 0-0). N_0-0=2N₁=2·545,63=1091,26кН.

Выше уступа (сечение 1-1). N_1-1= N₁ +N₂^в,ср = 1091,26+40,84 =1132,1кН.

Ниже уступа (сечение 2-2). N_2-2= N_1-1+2N₃= 1132,1+2·120,2 =1359,66кН.

Сечение 3-3. N_3-3=N_2-2 + N₄^н,ср = 1359,66+79,94 =1439,6кН.

Усилия в крайней колонне от временной (снеговой) нагрузки.

Расчетные усилия, передаваемые на крайнюю колонну

N₅^кр=190,34кН; М₅^в=33,31кНм; М₅^н= -38,07кНм. Реакцию верхнего конца колонны от действия моментов М₁= М₅^в и М₂=М₅^н.

Реакция средней колонны равна нулю, так как колонна загружена центрально.

Суммарная реакция связи в основной системе R_1p=ΣR_i = 2,04+0-2,04=0.

Из уравнения r₁₁ Δ₁+R_1p=0 следует, что при R_1p=0, упругая реакция левой колонны R_e=R₁+ Δ₁R_Δ=-2,04кН. Упругая реакция правой колонны R_e=2,04 кН.

Изгибающие моменты в крайней колонне от снеговой нагрузки.

В голове колонны (сечение 0-0). М_0-0= М₁=33,31кНм.

Выше уступа (сечение 1-1). М_1-1= М₁+R_eH_в=33,31 -2,04·4,95=23,21 кНм.

Ниже уступа (сечение 2-2). М_2-2= М_1-1 +М₂ =23,21 – 38,07=-14,86 кНм.

По обрезу фундамента. М_3-3=М₁+М₂ +R_eH=33,31-38,07-2,04·13,35=-31,99 кНм.

Продольные силы в крайней колонне от снеговой нагрузки

N_0-0=N_1-1=N_2-2=N_3-3= N₅^кр=190,34кН.

Изгибающие моменты в средней колонне от снеговой нагрузки равны нулю.

Продольные силы в средней колонне от снеговой нагрузки.

N_0-0=2N_1-1=2N_2-2=2N_3-3= 2N₅^кр=380,68кН.