elemen_teorija

Доказательство. Как и при доказательстве предложения 5.3.3 имеем, что

χA×B[X × Y ](x, ·) = χ(A×B) x [Y ]

при x X. Тогда с очевидностью имеем, что

( ) ( )

χA×B[X×Y ](x, ·) = χB[Y ] x A & χA×B[X×Y ](x, ·) = OY x X\A .

В итоге получаем для функции φ в левой части (5.3.25), что

∫(el)

( )

φ(x) = χB[Y ] dν(x, ·) = ν(x, B) x A & (φ(x) = 0 x X \ A).

Y

Иными словами, для всякого x X имеет место равенство

Доказательство. С учетом (5.2.1) подбираем U X и V Y так, что L = U × V. Тогда в силу предложения 5.3.4 имеем для функции φ в левой части (5.3.26) равенство

φ = ν(·, V )χU [X],

Предложение 5.3.5. Если f Bo(X × Y, X{×}Y) и ν Fo, то

Доказательство вытекает из следствия 5.3.2 с учетом линейности ЭИ (см. предложение 3.2.2), а также предложения 2.7.5; используем, конечно, и соотношения (2.7.2), (2.7.3). Наконец, в случае, когда n N , (αi)i 1,n Rn

и

(fi)i 1,n : 1, n −→ RX×Y

330

имеет место следующее очевидное равенство функций

Предложение 5.3.5 позволяет реализовать операцию повторного интегрирования. Здесь, однако, нам потребуется естественное соглашение, касающееся обозначений (см. определение 3.3.1): если E — непустое множество, L π[E], f B(E, L) и µ A(L), то наряду с (3.3.11) используем

С учетом (5.3.27) и предложения 5.3.5 имеем, в частности, f Bo(X × Y,

X{×}Y) µ A(X) ν Fo

∫ ∫(el)

f(x, ·) dν(x, ·) µ( dx) R.

X Y

Предложение 5.3.6. Если f Bo(X × Y, X{×}Y), µ A(X) и ν Fo,

то

При этом (см. предложение 5.3.2) µ ν (add)[X{×}Y]. Из (3.2.7) и (5.3.28) вытекает равенство

Отметим, что (X × Y ) x = Y x X. С учетом (5.3.12) имеем поэтому

(Li x )i 1,n ∆n(Y, Y) x X.

331

В частности, Li x Y i 1, n x X. Из (5.3.28) имеем

При этом χLi x [Y ] Bo(Y, Y) для i 1, n. С учетом (5.3.30) и предложения 3.2.2 получаем, что

где ν(·, Lj·) B(X, X) j 1, n; см. (5.3.9). С учетом предложения 3.4.1 и (5.3.33) получаем равенство

Наконец, используя предложение 5.3.1 получаем из последнего равенства,

332

Из предложения 5.3.6 следует, в частности, что

Последний случай интересен, однако, в том отношении, что в его рамках можно представить в виде, подобном (5.3.36), ЯИ, а не только ЭИ. В этой связи отметим одно полезное обстоятельство, связанное с предложением 5.3.3.

Предложение 5.3.7. Если f B(X × Y, X{×}Y) и x X, то

sup −нормы пространства B(X × Y ) (мы сохраняем в (5.3.39) обозначение, подобное (2.6.7), что не приводит к двусмысленности: мы действуем в условиях, когда в (2.6.7) E = X × Y ; данная конкретизация множества E § 2.6 очевидна, коль скоро именно X ×Y является областью определения функции fj − f). При этом (см. (2.6.11), (5.3.38))

333

(в левой части (5.3.41) используем другую конкретизацию (2.6.7), а именно: конкретизацию, отвечающую случаю E = Y ; какой-либо двусмысленности не возникает, т. к. Y есть область определения каждой из функций φj − φ, j N ). Из (5.3.40) и (5.3.42) вытекает свойство сходимости:

В силу предложения 5.3.3, (5.3.37) и определения φj, j N , имеем очевидное свойство

(φi)iN : N −→ Bo(Y, Y).

Но тогда из (2.7.25) и (5.3.43) получаем, что

334

Доказательство. Выберем последовательность

для которой имеет место сходимость

(fi)iN f.

Тогда в силу предложения 5.3.3 имеем свойство

fi(x, ·) Bo(Y, Y) i N x X.

Данное свойство позволяет определить интегралы

С учетом свойств ЯИ, установленных в главе 3, и (5.3.46) рассмотрим свой-

корректность определения которой мы уже проверили перед доказательством предложения. Легко видеть, что (см. (3.4.29))

|φj(x) − φ(x)| 6 fj(x, ·) − f(x, ·) ν(x, Y ) j N x X; (5.3.47)

разумеется, в (5.3.47) используется sup −норма пространства B(Y ), что легко восстанавливается по области определения используемых (в (5.3.47)) функций. При этом, конечно, с учетом (2.6.7)

335

здесь в правой части неравенства в (5.3.48) используется sup −норма пространства B(X×Y ), что опять-таки легко устанавливается по области определения функций, норма которых вычисляется. Однако по выбору последовательности (5.3.44) имеем (см. (2.6.11)) сходимость

С учетом того, что ν(·, Y ) B+(X, X) имеем, в частности, что для некоторого числа c [ 0, ∞[:

В итоге φ B(X), а тогда непременно φj − φ B(X) j N . С учетом (5.3.50) получаем, что

φj − φ 6 c fj − f j N .

Следовательно, согласно (5.3.49) имеет место сходимость

С учетом предложения 5.3.9 мы получаем возможность для конструирования повторного интеграла. Будем при этом придерживаться соглашения

(5.3.27); если f B(X × Y, X{×}Y), µ A(X) и ν F+o , то

∫ ∫

f(x, ·) dν(x, ·) µ(dx) R.

X Y

336

Предложение 5.3.9. Если µ A(X) и ν F+o , то µ ν A(X{×}Y).

Доказательство. С учетом (4.11.8), (4.11.9) и (5.3.2) имеем равенство

где µ+ (add)+[X] и µ− (add)+[X]; см. также [28, c. 103]. Тогда в силу следствия 5.3.1

Далее, отметим, что в силу предложения 5.3.1 при H X{×}Y для функции ν(·, H · ) B(X, X) имеем

∫ ∫ ∫

(µ ν)(H) = ν(·, H · ) dµ = ν(·, H · ) dµ+ − ν(·, H · ) dµ− =

X X X

= (µ+ ν)(H) − (µ− ν)(H) = (µ+ ν − µ− ν)(H);

(см. предложение 3.4.1, (5.3.52)). Поскольку выбор H был произвольным, установлено равенство

X×Y

Теорема 5.3.1. Если f B(X × Y, X{×}Y), µ A(X) и ν F+o , то

∫∫ ∫

Доказательство. Выберем последовательность (fi)i N Bo(X × Y, X{×}Y)N , для которой

(fi)i N f.

337

см. также предложение 3.3.1. Отметим, что в силу предложения 5.3.3

fj(x, ·) Bo(Y, Y) j N x X.

Кроме того, имеем f(x, ·) B(Y, Y) x X; см. предложение 5.3.7. Легко видеть, что (см. (2.6.7))

fj(x, ·) − f(x, ·) 6 fj − f j N x X.

В этом случае реализуется следующая оценка близости интегралов (см. (3.4.29))

При этом ν(·, Y ) B (X, X), а потому для некоторого значения c [ 0, ∞[ имеем цепочки неравенств

Рассмотрим теперь следующие функции (см. предложения 5.3.5, 5.3.8)

338

т. е. (φi)iN φ; см. (2.6.7), (2.6.11). Но в этом случае (см. (3.5.2), (5.3.59))

Заметим, однако, что согласно (5.3.27) и (5.3.36)

Среди наиболее важных частных случаев теоремы 5.3.1 отметим следующий (для которого, конечно, (5.3.54) справедливо):

( ) ( )

µ P(X) & ν(x, ·) P(Y) x X ;

см. (2.2.11). В этом случае реализуется полезное представление математического ожидания в его к.-а. версии.

339