elemen_teorija

Это означает, что Ao Mo [A](Φ), а тогда в силу (4.8.14) имеем для

где µ(Ao ∩ Mo) [ 0, ∞[ в силу неотрицательности µ. Поэтому из (4.8.22) вытекает неравенство

µ(Ao Mo) 6 w.

Как следствие, получаем следующее неравенство

µ( )(Φ) 6 w.

Поскольку выбор w был произвольным, установлено, что

()

ν1 [B](Φ) [µ( )(Φ), ∞[,

откуда с учетом (4.8.13) мы получаем, что

µ( )(Φ) 6 µ< >(Φ).

С учетом (4.8.8) имеем следующее равенство

µ< >(Φ) = µ( )(Φ).

Коль скоро выбор Φ был произвольным, установлено равенство

Предложение 4.8.2. Если µ (add)+[A], то µ[ ](A) = µ(A) A A.

Доказательство легко следует из того очевидного факта, что Nµ (см. также определение 4.7.2). Из предложения 4.8.2 вытекает, что

В свою очередь, из предложения 4.7.12 и (4.8.23) следует, что определение 4.7.2 доставляет продолжение неотрицательной к.-а. меры на алгебре п/м E до аналогичной меры на некоторой более обширной алгебре п/м E (см. предложение 4.7.10).

260

Предложение 4.8.3. Если µ (add)+[A], то A{ }Nµ (Car)[E; µ( )].

Доказательство. Фиксируем µ (add)+[A]; пусть B = A{ }Nµ и

[ ]

η= µ . Тогда B (alg)[E] и в силу (4.8.1), а также предложения 4.7.12

Согласно (4.8.5) и предложению 4.8.1 имеем равенство µ( ) = η( ), где µ( )

( )

Ψ P(E) . Тогда (см. предложение 4.7.4)

(Car)[E; µ( )] = (Car)[E; η( )] (alg)[E].

С учетом предложения 4.7.8 и (4.8.24) получаем требуемое вложение

Предложение 4.8.4. Если A (σ − alg)[E], то

µ (add)+[A] H P(E) A [A](H) : µ(A) = µ( )(H).

Доказательство. Итак, пусть A (σ − alg)[E], µ (add)+[A] и H

P(E). Рассмотрим семейство

Используя (счетную) аксиому выбора (см. (1.2.22)), получаем свойство:

∏

An = {(An)nN [A](H)N | Ak Ak k N} ̸= .

nN

261

С учетом этого свойства выберем последовательность

∏

(Λn)nN An;

nN

тогда (Λn)nN : N → [A](H) и при этом Λk Ak k N . С учетом

nN

Кроме того, из (4.8.25) – (4.8.27) имеем по выбору (Λn)nN следующее свойство: H Λ. В итоге (см. (4.8.25))

При этом согласно (4.2.21) и (4.8.27) µ(Λ) 6 µ(Λn) n N . Стало быть, в силу (4.8.26)

Итак, в стандартном ИП с неотрицательной к.-а. мерой любое п/м «единицы» обладает измеримой оболочкой, на которой реализуется соответ-

262

˜

Из (4.7.2) и (4.8.31) вытекает, что U N [A](U), а тогда (см.(4.7.3))

˜

здесь µ(N) = 0 по выбору N. В итоге имеем из (4.8.36) равенство µ(U) =

˜

= µ(U N), которое с учетом (4.8.35) реализует следующую цепочку равенств

С другой стороны, из (4.8.31) вытекает вложение

˜

E \ (U N) E \ U.

˜

В силу (4.7.2) получаем теперь с очевидностью, что E \ (U N) A и

˜

E \ (U N) L L [A](E \ U).

263

264

по выбору Γ. Это означает, что Q (E \ Θ) Γ. Как следствие, в силу (4.8.49)

( ) ( )

Γ = Γ ∩ E = Γ ∩ Θ (E \ Θ) = Q Γ ∩ (E \ Θ) = Q (E \ Θ),

265

чем и завершается обоснование (4.8.48), где Q Θ. При этом

Из (4.2.3), (4.8.48) и (4.8.50) вытекает следующее равенство

Введем множество G = V \ (E \ Θ) P(E), G Γ \ (E \ Θ) = Q. Из (4.8.47) и (4.8.51) вытекает, что µ(Q) = 0, т. е. Q Nµ, а тогда G Nµ в силу (4.7.47). Напомним, что E \ Θ V, а тогда по выбору G имеем равенство

В связи с предложением 4.8.5 отметим также следующее общее

Предложение 4.8.6. Если µ (add)+[A], то справедливо равенство

(Car)[E; µ( )] = {H P(E) | µ( )(H) + µ( )(E \ H) = µ(E)}. (4.8.53)

Доказательство. С учетом предложения 4.7.1 и (4.7.18) имеем для семейства C в правой части (4.8.53) следующую оценку

Выберем произвольно M C. Тогда M P(E) и при этом

µ( )(M) + µ( )(E \ M) = µ(E) = µ( )(E).

Пусть S P(E); рассмотрим µ( )(S) [ 0, ∞[ (см. (4.7.4)). Поскольку S = = (S ∩ M) (S \ M), имеем из предложения 4.7.2 неравенство

266

В силу определения 4.7.1 имеем следующее равенство

Отметим также, что определены (непустые) семейства

[A](M) = {A A | M A} P′(A),

[A](E \ M) = {A A | E \ M A} P′(A).

Как следствие, получаем следующие непустые множества

()

µ1 [A](M) = {µ(A) : A [A](M)} P′([ 0, ∞[),

()

µ1 [A](E \ M) = {µ(A) : A [A](E \ M)} P′([ 0, ∞[),

для которых согласно определению 4.7.1 реализуются равенства

267

вложения

(S ∩ M U) & (S \ M V );

в последнем случае учитываем равенство S \ M = S ∩ (E \ M). Легко видеть, что U [A](S ∩ M) и V [A](S \ M), откуда по определению 4.7.1 вытекают неравенства

С учетом (4.2.18) и (4.8.60) получаем, что для U V A имеет место неравенство

Отметим, что по построению U ∩ V Do ∩ Do, откуда в силу (4.2.21) вытекает неравенство

µ(U ∩ V ) 6 µ(Do ∩ Do).

Вместе с тем согласно (4.2.18) имеем, что

µ(Do Do) + µ(Do ∩ Do) = µ(Do) + µ(Do).

Отметим, что Do Do = E, откуда имеем с учетом предыдущего равенства, что

Вместе с тем, из (4.8.58) и (4.8.59) вытекает неравенство

µ(Do) + µ(Do) < (µ( )(M) + µ( )(E \ M))+23κ.

По выбору M имеем, однако, из последнего неравенства следующее

µ(Do) + µ(Do) < µ(E) + 23κ.

Учитывая (4.8.62) и только что установленную оценку, приходим к выводу,

что

µ(U ∩ V ) 6 µ(Do ∩ Do) < 23κ,

268

откуда, в свою очередь, следует неравенство (см. (4.8.61))

µ( )(S ∩ M) + µ( )(S \ M) < µ(U V ) + 23κ,

где (по способу построения) U V D. Последнее означает с учетом (4.2.21), что µ(U V ) 6 µ(D). Стало быть,

µ( )(S ∩ M) + µ( )(S \ M) < µ(D) + 23κ.

С учетом (4.8.57) имеем теперь неравенство:

µ( )(S ∩ M) + µ( )(S \ M) < µ( )(S) + κ.

Поскольку выбор κ, κ > 0, был произвольным, установлено, что

µ( )(S ∩ M) + µ( )(S \ M) − µ( )(S) < ε ε ]0, ∞[.

Это означает, что справедливо неравенство

µ( )(S ∩ M) + µ( )(S \ M) 6 µ( )(S),

что с учетом (4.8.55) означает справедливость равенства

µ( )(S) = µ( )(S ∩ M) + µ( )(S \ M).

Поскольку выбор S был произвольным, установлено, что

µ( )(H) = µ( )(H ∩ M) + µ( )(H \ M) H P(E).

С учетом (4.7.18) мы получили, что M (Car)[E; µ( )], чем и завершается обоснование вложения

Теорема 4.8.1. Если A (σ−alg)[E] и µ (add)+[A], то (Car)[E; µ( )] = = A{ }Nµ.

Итак, в случае стандартного ИП схема Каратеодори, применяемая в условиях заданной неотрицательной к.-а. меры, реализует «обычное» расширение исходной σ−алгебры множеств относительно данной меры. Заметим, что упомянутое расширение иногда называют также пополнением, имея в виду, например, построения [23, c. 34]. В этой связи заметим, что справедливо следующее

269