elemen_teorija

Выберем произвольно z (X × Y ) \ Λ. Тогда z X × Y и при этом

(x , y ) / A × B.

Тогда (x X \ A) (y Y \ B). Вместе с тем полезно заметить, что для x X истинно:

Обе упомянутые возможности рассмотрим отдельно.

1) Пусть x X \ A. Используя (5.2.10), подберем i 1, m такое, что x Ai. Тогда z Wi в силу (5.2.16) и, тем более, в случае 1) имеем включение

Y \ B. С учетом (5.2.11) подберем j 1, n так, что y Bj. Тогда m + j m + 1, m + n и, в силу (5.2.16), имеет место равенство

Wm+j = A × Bj.

При этом z = (x , y ) A × Bj и, стало быть, z Wm+j; как следствие, (5.2.19) имеет место и в случае 2). Итак, установлена импликация

Из (5.2.18), (5.2.20) и (5.2.21) получаем во всех возможных случаях справедливость включения (5.2.19). Поскольку выбор z был произвольным,

вложение

m+n

(X × Y ) \ Λ Wk

k=1

установлено, откуда с учетом (5.2.17) вытекает равенство

320

Выберем произвольно p 1, m + n и q 1, m + n \ {p}. Тогда имеем для p и q следующие свойства

Рассмотрим отдельно обе возможности в (5.2.23). 1′) Пусть p 1, m. Тогда Ap X в силу (5.2.16),

Wp = Ap × Y.

Если q 1, m, то Aq X и в силу (5.2.10) и (5.2.25), Ap ∩ Aq = ; поскольку (см. (5.2.16))

Wq = Aq × Y,

то Wp ∩ Wq = (Ap ∩ Aq) × Y в силу (5.2.2) и, как следствие, Wp ∩ Wq = = . Итак, установлена (в рассматриваемом случае 1′), т. е. при p 1, m)

Если же q m + 1, m + n, то q − m 1, n и Wq = A × Bq−m,

а тогда (см. (5.2.2), (5.2.10)) имеем, что

Wp ∩ Wq = (Ap ∩ A) × Bq−m = ,

т.к. Ap X \ A. Итак, установлена (в рассматриваемом сейчас случае 1′),

т.е. при p 1, m) импликация

Из (5.2.24), (5.2.26) и (5.2.27) имеем в случае 1′) равенство Wp ∩ Wq = . Стало быть,

где (см. (5.2.11)) Bp−m Y \ B. Если (при этих условиях) q 1, m, то в силу (5.2.10) и (5.2.16)

Wq = Aq × Y (X \ A) × Y,

321

а тогда согласно (5.2.2) и (5.2.29)

()

Wp ∩ Wq A ∩ (X \ A) ×Bp−m = .

Итак, установлена (в случае 2′), т. е. при p m + 1, m + n) импликация

где p −m ≠ q −m и, следовательно (см. (5.2.11)), Bp−m ∩Bq−m = ; в итоге (см. (5.2.2), (5.2.29))

Wp ∩ Wq = A × (Bp−m ∩ Bq−m) = .

Итак, установлена (при условии 2′), т. е. при p m + 1, m + n) ) импликация

(q m + 1, m + n) = (Wp ∩ Wq = ).

С учетом (5.2.24), (5.2.30) получаем, что в случае 2′) непременно Wp ∩ Wq = = . Этим обоснована истинность импликации

(p m + 1, m + n) = (Wp ∩ Wq = ).

С учетом (5.2.23) и (5.2.28) имеем теперь во всех возможных случаях ра-

Итак, для кортежа (5.2.15) имеем (см. (5.2.22), (5.2.33)) свойства

( m+n ) ( )

(X×Y )\Λ = Wk & Wk1 ∩Wk2 = k1 1, m + n k2 1, m + n\{k1} .

k=1

Последнее означает (см. (1.7.2)), что справедливо свойство

( )

(Wk)k 1,m+n ∆m+n (X × Y ) \ Λ, X{×}Y .

Поскольку выбор Λ был произвольным, последнее означает, что

( )

L X{×}Y N N : ∆N (X × Y ) \ L, X{×}Y ≠ . (5.2.34)

322

С учетом (1.7.3), (5.2.8) и (5.2.34) получаем требуемое свойство: X{×}Y

Π[X × Y ]. 2

Мы возвращаемся к общему определению (1.5.12), поскольку нам потребуется использовать индикаторы множеств в различных ИП. Всюду в дальнейшем следуем соглашению: если H P(X × Y ) и x X, то

в (5.2.35) определено сечение бинарного отношения H, соответствующее

значению x X. Отметим очевидные свойства: если x X, то

( ) (

( x = ) & (X × Y ) x = Y & (H1 ∩ H2) x =

)

= H1 x ∩ H2 x H1 P(X × Y ) H2 P(X × Y ) &

(( ) )

& (X × Y ) \ H x = Y \ H x H P(X × Y ) &

Мы ограничиваемся в (5.2.36) только свойствами, нужными в дальнейшем. Отметим еще одно важное соглашение общего характера. Если A, B и C — непустые множества, а f CA×B, то

(5.2.37) Тем самым в (5.2.37) определены сечения функции двух переменных, отве-

чающие ситуации, когда фиксируется одно из этих переменных; разумеется

( ) ( ) f(a, ·) CB a A & f(·, b) CA b B .

Отметим, что в (5.2.37) множества A и B однозначно восстанавливаются по f : A × B = Dom(f), A = Dom(A × B), B = Im(A × B).

Сначала совсем кратко рассмотрим простейшую к.-а. версию повторного интегрирования, опуская по возможности достаточно простые доказательства. Речь пойдет о построении к.-а. мер на ИП

Ограничиваемся при этом, как уже отмечалось, простейшими конструкциями, основанными на идее построения ЯИ.

323

В самом деле, при H ≠ множества A и B, удовлетворяющие условию посылки в (5.3.5) вообще определяются однозначно (см. § 1.1)

( ) ( )

A = Dom(H) & B = Im(H) .

Если же H = , а A X и B Y реализуют равенство H = A × B, то

A = или B = ; в обоих случаях (см. [28, c. 90])

∫

ν(·, B) dµ = 0.

A

С учетом (5.3.5) можно утверждать (см. главу 1), что µ A(X) ν

Fo !γ RX{×}Y : H X{×}Y A X B Y

( ∫ )

(H = A × B) = γ(H) = ν(·, B) dµ .

X{×}Y x X. Это позволяет при ν Fo и H X{×}Y рассматривать функцию

( )

ν(·, H·) = ν(x, H x ) x X RX ;

если A X и B Y реализуют (см. (5.2.1)) равенство H = A × B, то в силу (5.3.4) и (5.3.7) получаем, что

С учетом (5.2.1) и (5.3.8) мы получаем очевидное свойство

Это свойство позволяет интегрировать функции в левой части (5.3.9) относительно µ A(X). Вполне очевидно

325

X

Доказательство. Воспользуемся свойством (5.3.8), подбирая с учетом (5.2.1) A X и B Y так, что при этом H = A × B. В этих условиях реализуется (5.3.8) и интеграл в правой части (5.3.10) принимает следующий

С учетом (1.7.2) и (5.2.36) получаем, в частности, что H X{×}Y n

Предложение 5.3.2. Если µ A(X) и ν Fo, то µ ν (add)[X{×}Y].

Доказательство. Фиксируем H X{×}Y, n N и (Hi)i 1,n

∆n(H, X{×}Y). Тогда реализуется (5.3.12). С учетом (2.2.4), (5.2.37), (5.3.4) и (5.3.12) имеем при x X для H x Y, H1 x Y, · · · , Hn x Y следующее равенство

Поскольку выбор x был произвольным, получаем из (1.5.7) и (5.3.13), что

Подчеркнем, что в (5.3.14) речь идет о равенстве в/з функций. Последние ярусны (см. (5.3.9)). С учетом линейности ЯИ (см. § 3.4) и предложения 5.3.1

326

Поскольку H, n и (Hi)i 1,n выбирались произвольно, имеем из (2.2.4) и (5.3.15) требуемое свойство

Отметим, что в силу (2.2.10) и предложения 3.5.2 определяется к.-а. мера

Следствие 5.3.1. Если µ (add)+[X] и ν F+o то µ ν (add)+[X{×}Y].

Доказательство. Напомним, что ν(·, L) B+(X, X) L Y. Поэтому (см.(5.3.9))

ν(·, H · ) B+(X, X) H X{×}Y.

Сучетом (3.4.33) и предложения 5.3.1 получаем, что (µ ν)(H) [ 0, ∞[

Предложение 5.3.3. Если f Bo(X × Y, X{×}Y) и x X, то f(x, ·)

Bo(Y, Y).

Доказательство. С учетом (2.7.1), (2.7.2) подберем

n N , (Li)i 1,n ∆n(X × Y, X{×}Y), (αi)i 1,n Rn

так, что при этом выполнено равенство

Далее, с учетом взаимно однозначного соответствия между множествами и индикаторами этих множеств мы получаем, что

327

Проверим справедливость данного свойства, фиксируя r 1, n. Тогда Lr X{×}Y и, в частности, Lr P(X × Y ). При этом согласно (5.2.35)

С другой стороны, по выбору y имеем с очевидностью (см. (1.5.12), (5.3.20)), что ψ(y ) = 0. С учетом (5.3.23) φ(y ) = ψ(y ). Поскольку выбор y был произвольным, установлено, что

φ(y) = ψ(y) y Y \ Lr x .

Комбинируя последнее соотношение с (5.3.22), получаем, что

φ(y) = ψ(y) y Y.

328

Тогда φ = ψ, что означает равенство

χLr [X × Y ](x, ·) = χLr x [Y ].

Поскольку выбор r был произвольным, система равенств (5.3.18) установлена. С учетом (5.3.17) и (5.3.18) имеем равенство

В силу (5.3.12) (Li x )i 1,n ∆n(Y, Y), где учтено очевидное равенство

Из определения 3.2.1 и предложения 5.3.3 вытекает, что определены значения

∫(el)

f(x, ·) dν(x, ·) R f Bo(X × Y, X{×}Y) ν Fo x X.

Y

Иными словами, при f Bo(X × Y, X{×}Y) и ν Fo мы располагаем функцией

∫(el)

x −7→ f(x, ·) dν(x, ·) : X −→ R.

Y

В частности, такая функция определена в случае, когда ν F+o . Отметим также, что в силу предложения 5.2.2 в качестве f можно использовать индикатор любого множества из X{×}Y. Поэтому (см.(5.2.1)) при A X, B Y и ν Fo определена функция

Y

329