elemen_teorija

предложения 4.7.12 ν (add)+[B]. Тогда

Nν = {B B | ν(B) = 0}

и, в силу (4.7.3), справедливо равенство

Выберем произвольно N Nν, после чего подберем N Nν так, что при этом N P(N). Тогда N B и ν(N) = µ[ ](N) = 0. По свойствам B (см. § 4.7) для некоторых множеств

(A A) & (N Nµ)

имеет место равенство: N = A N. Далее, по по определению 4.7.2 имеем равенство ν(N) = µ(A), а тогда µ(A) = 0 и, как следствие, A Nµ. С другой стороны, N P(M) для некоторого M Nµ; см. (4.7.33). Тогда M A и µ(M) = 0. Итак, у нас

(A A) & (M A),

а тогда A M A и при этом в силу (4.2.18)

0 6 µ(A M) 6 µ(A M) + µ(A ∩ M) = µ(A) + µ(M) = 0.

Стало быть, µ(A M) = 0 и, следовательно, A M Nµ. Кроме того, N N = A N A M, т. е. N Nµ. Тем самым установлено вложение

Nν Nµ.

Пусть, напротив, P Nµ. При этом P = P B и, с учетом определения 4.7.2 ν(P ) = µ( ) = 0, т. е. P Nν и, в частности, P Nν. Итак, вложение Nµ Nν, а, следовательно, и равенство Nµ = Nν установлены.

2

Возвращаясь к построениям § 4.7 и учитывая, что множество содержится в любой алгебре множеств, получаем, в частности, очевидное

пространство (E, A{ }Nµ, ν) является полным в смысле [23, c. 34].

В самом деле,имеем в условиях следствия, что (см. предложение 4.8.7)

Nν = Nµ A{ }Nµ.

270

§4.9. Продолжение по Жордану

Внастоящем разделе рассматривается один весьма традиционный вариант продолжения к.-а. меры, в основе которого лежит идея заключения п/м E в «вилку» измеримых множеств. Этот способ продолжения сравнивается с уже рассмотренным вариантом продолжения по схеме Каратеодори.

Всюду в пределах настоящего раздела фиксируем алгебру L п/м множества E; иными словами, в данном параграфе предполагаем выполненным соотношение (4.7.1). Если µ (add)+[L], то множество H P(E) называем

(alg)[E] совпадает с семейством всех п/м E, µ−измеримых по Жордану:

Доказательство. Обозначим через X семейство в правой части (4.9.1). Пусть M (Car)[E; µ( )]. В силу предложения 4.8.5 имеем, что M P(E) обладает свойством

В связи с (4.9.2) напомним, что (см. (4.7.2)) [L](M) P′(L), [L](E \ M) P′(L); при этом в силу (4.7.3)

271

Отметим, что в силу (4.9.5), (4.9.6) для множеств Ao L и Bo L имеем свойства:

µ(Ao) + µ(Bo) < µ(E) + κ,

откуда в силу (4.9.8) следует неравенство µ(Ao ∩ Bo) < κ. Поэтому

272

Коль скоро выбор κ, κ > 0, был произвольным, установлено, что

( ) ( ( ) )

ε ] 0, ∞[ h L × L : pr1(h) M pr2(h) & µ pr2(h) \ pr1(h) < ε .

Это означает, что M X, чем и завершается проверка вложения

ε ] 0, ∞[ h L × L : pr1(h) W pr2(h) & µ pr2(h) \ pr1(h) < ε .

(4.9.11)

E \ W E \ A ,

273

означающее включение E \ A [L](E \ W ), из которого вытекает включение

()

µ( )(E) = µ( ) W (E \ W ) 6 µ( )(W ) + µ( )(E \ W ),

где µ( )(E) = µ(E) в силу предложения 4.7.1. Поэтому

µ(E) 6 µ( )(W ) + µ( )(E \ W ).

С учетом (4.9.17) µ( )(W ) + µ( )(E \ W ) = µ(E). В силу предложения 4.8.6

получаем включение

W (Car)[E; µ( )].

Поскольку выбор W был произвольным, вложение

X (Car)[E; µ( )]

274

установлено, что с учетом (4.9.10) доставляет требуемое утверждение. 2 С учетом предложений 4.7.4, 4.7.6 и 4.9.1 условимся называть, при всяком выборе µ (add)+[L], семейство (Car)[E; µ( )] алгеброй п/м E, µ−измеримых по Жордану-Каратеодори. Сейчас мы установим несколько

важных свойств данной алгебры.

Если µ (add)+[L], то рассмотрим множество

Итак, в (4.9.18), (4.9.19) имеем непустые множества (точнее, семейства), составленные из алгебр п/м E. Напомним далее свойство: если µ (add)+[L], то (см. предложения 4.7.4, 4.7.6)

(Car)[E; µ( )] (alg)[E]

и при этом справедливо (4.7.30). В силу (4.9.19) имеем свойство:

Итак, всякий раз алгебра п/м E, µ−измеримых по Жордану-Каратеодори (µ — неотрицательная к.-а. мера на L), оказывается такой, что след µ( ) на эту алгебру обладает свойством аддитивности, что очень важно, в частности, с точки зрения рассмотренных ранее конструкций интегрирования. Вполне очевидна следующая

Теорема 4.9.1. Если µ (add)+[L] и A (µ − alg) [E], то непременно

A (Car)[E; µ( )].

Доказательство. Пусть µ и A соответствуют условиям теоремы. Тогда

( )

для ν = (µ | A) имеем в силу (4.9.19) свойство

ν (add)+[A],

275

где A (alg)[E]. С учетом (4.2.3) при всяком выборе A1 A и A2 A для множества A1 A2 A истинна импликация

При этом в силу предложения 4.7.1 µ(E) = µ( )(E) = ν(E). Поэтому в силу

(4.9.22)

µ(E) = µ( )(A) + µ( )(E \ A) A A.

Сучетом предложения 4.8.6 получаем теперь, что A (Car)[E; µ( )]. 2 Из (4.9.21) и теоремы 4.9.1 вытекает очевидное теперь

Следствие 4.9.1. Если µ (add)+[L], то (Car)[E; µ( )] есть наибольший по вложению элемент множества (µ − alg) [E] :

((Car)[E; µ( )] (µ − alg) [E])& (A (Car)[E; µ( )] A (µ − alg) [E]).

Заметим, что при µ (add) [L] в виде L имеем непустое подсемейство

( + )

(Car)[E; µ( )], т. е. L P′ (Car)[E; µ( )] , а потому при

[]

ν(add)+ (Car)[E; µ( )]

определено (см. глава 1) сужение (ν | L) ФМ ν на алгебру L.

[ ]

Теорема 4.9.2. Если µ (add)+[L] и ν (add)+ (Car)[E; µ( )] , то

Тогда в силу (4.9.21), (4.9.23) имеем включение

F (µ − alg) [E].

Это означает в силу (4.9.19), что F (alg)[E] и при этом

( )

η= (µ | F) (add)+[F].

276

277

а тогда (см. (4.9.26)) µ(U) 6 µ( )(F ). С учетом (4.9.29) получаем неравен-

Кроме того, из (4.9.24) имеем , в частности, равенство µ(U) = ν(U). Отметим также, что в силу (4.2.21) имеем по выбору ν неравенство ν(U) 6 ν(F ). С другой стороны, ν(F ) 6 ν(V ) = µ(V ); см. (4.9.24), где, как уже фактически отмечалось,

|η(F ) − ν(F )| < ε ε ] 0, ∞[

Стало быть, η(F ) = ν(F ). Поскольку и выбор F был произвольным, установлено совпадение двух ФМ: η = ν; итак,

В теореме 4.9.2 (она известна; см., например, [14]) мы получаем утверждение о свойстве единственности продолжения неотрицательной к.-а. меры на алгебру п/м E, измеримых по Жордану-Каратеодори. В конечном итоге мы получили следующий факт (см. также (4.7.30)): если µ

278

(add)+[L], то к.-а. мера (4.7.30) является единственным продолжением µ

на алгебру

(Car)[E; µ( )] (alg)[E],

которая, к тому же, является наибольшей по вложению в множестве (µ − alg) [E] (см. следствие 4.9.1). Элементы последнего, а это — алгебры п/м E, характеризуют (см. (4.9.19)) потенциальные возможности к.-а. продолжений µ на основе µ( ) (см. определение 4.7.1). В связи с µ( ) уместен и еще один взгляд на (Car)[E; µ( )].

Если µ (add)+[L], то полагаем, что ρ(µ ) есть def отображение

()

z 7−→µ( ) pr1(z) pr2(z) : P(E) × P(E) −→ [ 0, ∞[;

иными словами, ρ(µ ) : P(E) × P(E) −→ [0, ∞[ и при этом

( )

ρ(µ )(˜z) = µ( ) pr1(˜z), pr2(˜z) z˜ P(E) × P(E).

Предложение 4.9.2. Если µ (add)+[L], то ρ(µ ) есть псевдометрика

множества P(E) :

ρ(µ ) (p − Dist)[P(E)].

Доказательство. Из определения симметрической разности имеем, что

см. предложение 4.7.1. Далее, при A P(E) и B P(E) имеем равенство A B = B A, а тогда

Заметим, что предложение 4.9.2 подобно в идейном отношении свойству (4.7.46).

279