Предложение 4.9.3. Если µ (add)+[L], то справедливо равенство
(Car)[E; µ( )] = {H P(E) | ε ] 0, ∞[ L L : µ( )(L H) < ε}.
(4.9.36)
Доказательство. Обозначим через A семейство в правой части (4.9.36). Сравним (Car)[E; µ( )] и A. Пусть M (Car)[E; µ( )], т. е. M P(E) есть множество, измеримое по Жордану-Каратеодори. Выберем произвольно κ ] 0, ∞[ и с учетом предложения 4.9.1 подберем Ao L и Bo L такие, что
(4.9.37)
При этом Ao \ Bo = , а потому справедливо (см. § 1.1) равенство
Ao Bo = Bo \ Ao.
Поэтому µ(Ao Bo) = µ(Bo \ Ao) < κ. Нам, однако, будет полезнее другое свойство. Отметим, что в силу (4.9.37)
Ao M = (Ao \ M) (M \ Ao) = M \ Ao Bo \ Ao. |
(4.9.38) |
Тогда Bo \ Ao [L](Ao M) в силу (4.7.2) и, как следствие (см. (4.7.3)),
( )
µ(Bo \ Ao) µ1 [L](Ao M) ,
откуда согласно определению 4.7.1 следует неравенство
µ( )(Ao M) 6 µ(Bo \ Ao) < κ.
Коль скоро выбор κ, κ > 0, был произвольным, имеем, что
ε ] 0, ∞[ L L : µ( )(L M) < ε.
Тогда M A (см. правую часть (4.9.36)), чем и завершается обоснование вложения
(Car)[E; µ( )] A. |
(4.9.39) |
Пусть Ω A, т. е. Ω P(E) и при этом
ε ] 0, ∞[ L L : µ( )(L Ω) < ε. |
(4.9.40) |
Пусть γ ] 0, ∞[. С учетом (4.9.40) подберем W L, для которого
µ( )(W Ω) < |
γ |
(4.9.41) |
2. |