elemen_teorija

(σ − add)+[σEo (L)] обладает тем свойством, что

L L.

Из предложения 4.11.3 и (4.11.19) вытекает, что справедливо равенство

Отметим этой связи очевидное (см. (4.2.21)) вложение

(σ − add)+[L] (σ − add)[L] ∩ B(L).

Поэтому λo[µ] = EL(µ) (σ − add)[σEo (L)] µ (σ − add)+[L]. Напомним теперь, что в силу (2.2.16) H Π[E] µ (add)+[H] H H

Следовательно, vµ = µ H Π[E] µ (add)+[H]; см. (4.11.42). В частности, получаем при ν (σ − add)+[L], что vν = ν и согласно (4.11.8)

Предложение 4.11.6. Если µ σ − add)+[L], то λo[µ] = λo[µ].

Доказательство. Из (4.11.24), (4.11.41) и (4.11.43) получаем, что

λo[µ] = λo[µ+] − λo[µ−] = λo[µ] − λo[OL] = λo[µ] − OσEo (L) = λo[µ]. 2

300

Доказательство. Учитываем (1.5.11) и предложение 2.5.3. Пусть

µ 5 ν.

Тогда µ(L) 6 ν(L) L L. Поэтому

()

ν− µ = ν(L) − µ(L) L L (σ − add)+[L].

Сучетом (4.11.17), предложений 4.11.5 и 4.11.6 имеем теперь, что

λo[ν − µ] = λo[ν − µ] = λo[ν + (−µ)] = λo[ν] + λo[−µ] =

= λo[ν] − λo[µ] (σ − add)+[σEo (L)].

В результате, λo[ν](A) − λo[µ](A) [ 0, ∞[ A σEo (L). Стало быть,

λo[µ](A) 6 λo[ν](A) A σEo (L).

Иными словами, λo[µ] 5 λo[ν], чем и завершается доказательство импликации (4.11.45). 2 Из (4.11.28), предложений 4.11.4, 4.11.5 и (4.11.7) следует, что EL есть порядковый изоморфизм (σ −add)[L] ∩ B(L) и (σ −add)[σEo (L)] : EL — линейная биекция, сохраняющая отношение порядка. Мы ограничимся этим

свойством в вопросах характеризации EL в терминах порядка.

Отметим, что посредством полной вариации меры определяется норма; см. предложение 3.6.1. Здесь же следует учитывать (4.11.6). Ранее отмечалось, что (σ − add)[L] ∩ B(L) и (σ − add)[σEo (L)] суть линейные подпространства RL. С учетом (4.11.6) получаем, что

Конечно, (4.11.45) и (4.11.46) можно «объединить», учитывая общее свойство:

(σ − add)[A] ∩ B(A) (LIN)[A(A)] A (alg)[E].

Как следствие, мы получаем положение (см. предложение 3.6.1): если A

(alg)[E], то

(v)

· A = (Vµ)µ (σ−add)[A]∩B(A)

301

есть норма линейного пространства (σ − add)[A)] ∩ B(A). Учитывая это свойство, а также (4.11.45), (4.11.46) и предложение 3.6.1, получаем, что

· (Lv) = (Vµ)µ (σ−add)[L]∩B(L)

есть норма (линейного) пространства (4.11.45), а

(v)

· σEo (L) = (Vν)ν (σ−add)[σEo (L)]

есть норма (линейного) пространства (4.11.46). Итак, имеем следующую пару нормированных пространств

В частности, имеем из (4.11.50) свойство: µ (σ − add)[L] ∩ B(L)

Если ν (σ − add)[σEo (L)], то в силу (4.11.13)

(ν| L) (σ − add)[L] ∩ B(L),

а потому определена мера λo[(ν| L)] (σ−add)[σEo (L)]. Учтем теперь предложение 4.11.3: имеем

Предложение 4.11.8. Если µ (σ−add)[L] ∩ B(L) и ν (σ−add)[σEo (L)],

то ( )

µ(L) 6 ν(L) L L (λo[µ] 5 ν).

302

Доказательство. Фиксируем µ и ν в согласии с условиями; полагаем, что

При этом для (ν| L) (σ − add)[L] ∩ B(L) из (4.11.53) вытекает свойство

µ 5 (ν| L).

Тогда с учетом предложения 4.11.7 имеем, что λo[µ] 5 λo[(ν| L)] и, как следствие, в силу (4.11.52),

Пусть λo[µ] 5 ν. Тогда λo[µ](A) 6 ν(A) A σEo (L). В частности, имеем λo[µ](L) 6 ν(L) L L. Но тогда в силу (4.11.25)

Предложение 4.11.9. Если µ (σ−add)[L] ∩ B(L), то (λo[µ])+ 5 λo[µ+].

Доказательство. Имеем (4.11.24). При этом µ+ (σ − add)+[L] и (λo[µ])+ (σ − add)+[σEo (L)] (см. (4.11.23)). Фиксируем M σEo (L). Для этого случая используем положение, являющееся аналогом (4.11.30), (4.11.31) и соответствующее построению [28, c. 106] (мы имеем в виду тот факт, что σEo (L) является, в частности, алгеброй п/м E). Именно, {λo[µ](A) : A σEo (L) ∩ P(M)} P′([ 0, c]) для некоторого c [ 0, ∞[, что позволяет определить точную верхнюю грань, причем

Если же A σEo (L) ∩ P(M), то в силу (4.11.24)

λo[µ](A) = λo[µ+](A) − λo[µ−](A) 6 λo[µ+](A) 6 λo[µ+](M).

Мы учли здесь (4.2.21), (4.11.17). С учетом (4.11.55) получаем неравенство

(λo[µ])+(M) 6 λo[µ+](M).

303

Поскольку выбор M был произвольным, установлено, что

Из (4.11.56) и предложения 4.11.9 получаем с учетом линейности пространства (σ − add)[L] ∩ B(L), что для µ (σ − add)[L] ∩ B(L)

Из (4.11.57) и предложения 4.11.9 вытекает в качестве следствия важное положение: если µ (σ − add)[L] ∩ B(L), то для меры

(считаем, что 5 разделяет сильнее, чем +). С другой стороны, в силу (4.11.5) и (4.11.23) имеем меру

304

Предложение 4.11.10. Если µ (σ − add)[L] ∩ B(L), то

vλo[µ] = λo[vµ].

Доказательство. Фиксируем L L. Тогда, в частности, L σEo (L) и

Из (4.11.61) вытекает, что справедливо следующее неравенство

vµ(L) 6 vλo[µ](L)

(мы используем определение ФМ (4.11.7) и свойство (4.11.13). Поскольку выбор L был произвольным, установлено, что

Напомним (4.11.17), (4.11.23) и (4.11.58). Тогда, в частности, vµ (σ − add)[L] ∩ B(L), vλo[µ] (σ − add)[σEo (L)].

С учетом (4.11.62) и предложения 4.11.8 получаем свойство:

λo[vµ] 5 vλo[µ].

В силу (4.11.22) и предложения 4.11.6 имеем, однако, равенство λo[vµ] = = λo[vµ], а тогда λo[vµ] 5 vλo[µ]. С учетом (4.11.60) получаем теперь требу-

Предложение 4.11.11. Если µ (σ − add)[L] ∩ B(L), то

Vµ = Vλo[µ].

Доказательство. Фиксируем µ в согласии с условиями. Тогда имеем

(4.11.22), а потому

λo[vµ] (σ − add)+[σEo (L)].

При этом в силу (4.11.18) имеем систему равенств:

λo[vµ](L) = vµ(L) L L.

305

В силу (4.11.24) имеем также λo[µ] (σ−add)[σEo (L)], а тогда (см. (4.11.13)), в частности,

Однако согласно предложению 4.11.12 имеем из (4.11.64), в частности, что

Используя определение норм в (4.11.47), предложения 4.11.5, 4.11.6 и (4.11.13), а также (4.11.28), получаем, что справедлива следующая

Теорема 4.11.2. Оператор EL есть изометрический изоморфизм нормированных пространств (4.11.47).

Из теорем 4.11.1 и 4.11.2 имеем, что пространства (σ − add)[L] ∩ B(L) и (σ − add)[σEo (L)] можно во многих вопросах просто не различать. Мы отсылаем заинтересованного читателя к работам [29, 30] за некоторыми дополнительными сведениями на этот счет.

§4.12. Добавление: пополнение стандартного пространства с мерой

Внастоящем разделе в краткой форме обсуждается вопрос о пополнении (расширении) стандартного ИП, оснащенного с.-а. мерой. Имеется в виду случай, когда исходная σ−алгебра множеств не содержит, вообще говоря, всех нуль-множеств (имеются в виду множества из семейств Nµ § 4.7). Мы приведем простой пример такого пространства. Однако предварительно отметим следующее совсем простое положение.

306

Предложение 4.12.1. Если X и Y — множества, а X (σ − alg)[X],

то

Доказательство. Обозначим для краткости через S семейство в левой

( )

части (4.12.1). Тогда S P′ P(X × Y ) и при этом:

1)A × Y S A X;

2)S S B X : S = B × Y.

Из 1) следует, что = × Y S и X × Y S (учитываем, что X и X X; см. § 1.7). Если S1 S и S2 S, то в силу 2) S1 = A1 × Y и S2 = A2 × Y для некоторых A1 X и A2 X, а тогда

Следовательно, (см. (1.7.1)), S π[X × Y ]. Пусть S S; с учетом 2) подберем X X такое, что S = X × Y. Легко видеть, что

(X × Y ) \ S S.

Коль скоро выбор S был произвольным, установлено, что(X × Y ) \ S

iN

307

Из 1), (4.12.5) и (4.12.6) следует с очевидностью равенство

S(i) = T × Y S.

iN

Поскольку выбор (S(i))iN был произвольным, установлено, что

Si S (Si)iN SN .

iN

С учетом предложения 4.12.1 рассмотрим следующий

Пример. Пусть X = Y = N (натуральный ряд). Тогда (в данном примере)

E = X × Y = X × X = N × N

есть непустое множество, для которого zo = (1, 1) E. Пусть σ−алгебра X (см. предложение 4.12.1) является семейством всех п/м X = N , т. е.

X = P(X) = P(N ).

ем 4.12.1 имеем:

E = {A × Y : A X} = {A × N : A P(N )} (σ − alg)[E].

Тогда νo = (µo| E) Tσ(E) и, в частности, (E, E, νo) — стандартное пространство с мерой ((E, E) — стандартное ИП, νo есть с.-а. неотрицательная мера на E, не равная нулю тождественно). Если A X \ { } и при этом 1 / A, то (см. § 4.7) A × Y = A × N Nνo (в частности, A × Y E),

В связи с (4.12.7) заметим, что можно выбрать n A (т. к. A ≠ ) и при этом (n, 1) / A × A. Если допустить, что A × A = Xo × Y при некотором Xo X, то A × A = Xo × N , причем n Xo (коль скоро (n, n) A × A), а тогда (n, 1) Xo × N и, стало быть, (n, 1) A × A, что невозможно. Итак, по определению E имеем свойство A×A / E и, следовательно, справедливо (4.12.7). При этом, конечно,

A × A N \ Nν ,

νo o

308

т. к. A×A A×Y, где A×Y Nνo. Мы видим, что в нашем примере можно указать большое число неизмеримых в смысле E множеств, содержащихся

Фиксируем до конца настоящего параграфа множество E произвольной природы, алгебру L (alg)[E] (п/м E) и к.-а. меру µ (add)+[L]. Полагаем

(следует использовать рассуждение по индукции). В свою очередь, из (4.12.8) вытекает, что (см. § 4.7)

Итак, в (4.12.12) определена последовательность в N и, в частности, после-

довательность

k

k −7→ Li : N −→ L.

i=1

При этом, конечно, имеет место свойство монотонной сходимости:

309