elemen_teorija

Подберем, кроме того, G Nµ такое, что Γ P(G); такая возможность следует из (4.7.35). Тогда G L и при этом µ(G) = 0; напомним также, что Γ G. С учетом (4.7.37) имеем:

Однако G \ W P(G), откуда в силу (4.7.35) имеем, что G \ W Nµ. Поскольку (см. (4.7.39))

()

E \ W = E \ (D G) (G \ W ),

то в силу (4.7.36) E \ W A. Поскольку выбор W был произвольным, установлено, что

Выберем произвольно P A и Q A. Подберем с учетом (4.7.36) U L и V Nµ так, что при этом P = U V. Кроме того, с учетом (4.7.36) подберем X L и Y Nµ так, что при этом Q = X Y. Тогда множества

С учетом (4.2.18) имеем очевидную цепочку неравенств для значения меры µ на множестве Σ Ξ L :

0 6 µ(Σ Ξ) 6 µ(Σ) + µ(Ξ) = 0

250

(мы учли также, что µ — неотрицательная ФМ). Итак, µ(Σ Ξ) = 0 и потому

Σ Ξ Nµ.

Поэтому Θ Nµ в силу (4.7.35) и с учетом (4.7.36) и (4.7.41) имеем: P Q A. Поскольку выбор P и Q был произвольным, установлено, что

Из (4.7.40), (4.7.43) и замечаний в начале доказательства следует, что A (alg)[E]; см. [27, c. 93]. 2 Сейчас уместно коснуться также одного подхода к продолжению к.-а. меры, в котором используется понятие симметрической разности множеств

(см. глава 1). В этой связи отметим несколько простых свойств.

Если A и B — множества, то A B = B A (коммутативность). Если A, B и C — три произвольных множества, то

(A ∩ B) (A ∩ C) = A ∩ (B C),

(A B) C = A (B C),

A C (A B) (B C).

Обоснование упомянутых легкопроверяемых свойств предлагается читателю в качестве упражнения. Кроме того, из определения алгебры множеств легко следует (см. также [27, c. 93]), что

Свойство (4.7.44) позволяет развить еще одну полезную конструкцию. В самом деле, из (4.7.44) следует, что µ (add)+[L] A L B L

Теперь пару (A, B) в (4.7.45) можно изменять, получая неотрицательную в/з функцию на L × L. Более того, из вышеупомянутых свойств симметрической разности вытекает (см. § 1.7), что получающаяся таким образом

Способ, указанный в (4.7.46), не реализует, вообще говоря, метрику на множестве L (проверьте это самостоятельно), но это легко поправимо при надлежащей факторизации (введение классов эквивалентности). Сейчас отметим, что псевдометрики, упомянутые в (4.7.46), «хорошо» оценивают изменение к.-а. мер на множествах из L : если µ (add)+[L], A L и B L,

251

то

Свойства (4.7.46), (4.7.47) будут полезны при рассмотрении продолжения к.-а. меры по Жордану. Сейчас вернемся к (4.7.46), рассматривая L{ }Nµ при µ (add)+[L], как µ−пополнение или µ−расширение L.

Предложение 4.7.11. Если µ (add)+[L] и M L{ }Nµ, то !c

[ 0, ∞[ L L

( )

( N Nµ : M = L N) = µ(L) = c .

Доказательство. Фиксируем µ и M в согласии с условиями. Тогда M P(E) и для некоторых L L и N Nµ справедливо равенство

Пусть c = µ(L). Тогда, в частности, c [ 0, ∞[. Пусть X L. Тогда µ(X) [ 0, ∞[. Допустим, что

Пусть z1 L \ X. Тогда, в частности, z1 M \ X. С учетом (4.7.50) имеем включение z1 Y. Итак,

Если z2 X \ L, то, в частности, (см. (4.7.50)), z2 M \ L и согласно (4.7.48) z2 N. Стало быть,

X \ L N.

Сучетом (4.7.52) имеем теперь требуемое свойство (4.7.51). Используя (4.7.36), подберем Γ Nµ и Θ Nµ, для которых

252

При этом Γ L и Θ L таковы, что µ(Γ) = 0 и µ(Θ) = 0. С учетом (4.2.18) получаем для множества Γ Θ L свойство

µ(Γ Θ) 6 µ(Γ Θ) + µ(Γ ∩ Θ) = µ(Γ) + µ(Θ) = 0,

т. е. µ(Γ Θ) = 0 и, стало быть, Γ Θ Nµ. В силу (4.7.53) имеем N YΓ Θ, т. е.

N Y P(Γ Θ).

Из (4.7.51) вытекает вложение L X Γ Θ. Поэтому (см. (4.2.21))

µ(L X) 6 µ(Γ Θ) = 0,

т. е. µ(L X) = 0. Из (4.7.47) имеем теперь, что |µ(L) − µ(X)| 6 µ(L X) и, стало быть,

Поскольку выбор X был произвольным, установлено, что число c [ 0, ∞[ обладает свойством: L L

= L N) = (µ(L) = c˜). Из этой импликации по выбору N получаем, (т. к. N Nµ удовлетворяет (4.7.48)) равенство µ(L) = c˜, откуда по определению c имеем равенство c = c˜. Итак,

253

)) ))

(µ(L) = c) = (c = c) .

Стало быть, установлено требуемое утверждение, т. е. установлено, что

Из предложения 4.7.11 вытекает, что при каждой фиксированной к.-а. мере µ (add)+[L] алгебра

будем полагать, что X = L{ }Nµ, где µ (add)+[L], Y = [ 0, ∞[ и

{ (( )

Z = z X × Y | L L N Nµ : pr1(z) = L N =

())}

= µ(L) = pr2(z) =

{ (( )

= z (L { }Nµ) × [ 0, ∞[ | L L N Nµ : pr1(z) = L N =

())}

= µ(L) = pr2(z) .

Тогда из (4.7.58) мы получаем, что (в упомянутой конкретизации X, Y и Z)

x X !y Y : (x, y) Z.

Итак, истинна посылка импликации (1.1.34). Поэтому

()

!ν Y X : x, ν(x) Z x X.

Конкретизируя в последнем соотношении X, Y и Z, мы приходим к (4.7.59).

2

Вернемся к (4.7.59), принимая следующее

254

Предложение 4.7.12. Если µ (add)+[L], то µ[ ] (add)+[L{ }Nµ].

Доказательство. Фиксируем µ (add)+[L] и полагаем для краткости

A L { }

= Nµ.

Тогда в силу предложения 4.7.10 имеем свойство: A (alg)[E], причем L A. Выберем произвольно U A и V A так, что при этом

255

Напомним, что Q Nµ и Θ Nµ. С учетом (4.7.33) подберем Q Nµ и Θ Nµ так, что

( ) ( )

Q P(Q ) & Θ P(Θ ) .

В частности, имеем Q L и Θ L. При этом µ(Q ) = 0 и µ(Θ ) = 0. Тогда Q Θ L. При этом согласно (4.2.18)

06 µ(Q Θ ) 6 µ(Q Θ ) + µ(Q ∩ Θ ) = µ(Q ) + µ(Θ ) = 0.

Витоге Q Θ Nµ и при этом Q Θ P(Q Θ ). Тогда в силу (4.7.35)

Из (4.7.61), (4.7.62) имеем, что

P Γ L : U V = ( P Γ) ( Q Θ).

С учетом (4.7.65) и определения 4.7.2 получаем, что

µ[ ]( U V ) = µ( P Γ),

откуда с использованием (4.7.64) получаем при условии (4.7.60) равенство

µ[ ]( U V ) = µ[ ]( U) + µ[ ]( V ).

Тем самым установлена импликация

( )

( U ∩ V = ) = µ[ ]( U V ) = µ[ ]( U) + µ[ ]( V ) .

Поскольку выбор U и V был произвольным, установлено (см. предложение 4.3.3) включение µ[ ] (add)[A]. Неотрицательность µ[ ] следует из

§4.8. Сравнение конструкций продолжения конечноаддитивной меры

Внастоящем разделе мы продолжаем рассмотрение построений , приводящих к расширению области определения к.-а. меры без потери ее основного свойства. Подчеркнем, что на выбор алгебры L (4.7.1) (п/м E) никаких ограничений не накладывалось. Поэтому положения, установленные в предыдущем разделе, применимы к исследованию любого ИП с алгеброй множеств. Сейчас фиксируем

256

Напомним, что согласно определению 4.7.1 (при замене L на A (4.8.1)) при всяком выборе µ (add)+[A] определена ФМ (4.7.4), т. е.

µ( ) : P(E) −→ [ 0, ∞[.

С другой стороны, имеем в силу предложения 4.7.10 алгебру

Возникает вопрос: как связаны µ( ) и ν( )? Этот вопрос мы представим сейчас в общем виде, полагая в согласии с (4.8.3), (4.8.4), что

венство:

µ( ) = µ< >.

Доказательство. Фиксируем µ (add)+[A]. Будем понимать B в согласии с (4.8.2), а ν — в согласии с (4.8.3). Тогда в соответствии с (4.8.5) имеет место равенство

Итак, в силу (4.8.6) имеем, что µ< > есть ФМ (4.8.4). Напомним, что для исходной к.-а. меры µ семейство Nµ определено в (4.7.33), а алгебра B является семейством п/м E, для которого:

1′) A N B A A N Nµ;

′ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

2 ) B B A A N Nµ : B = A N.

Кроме того, ν (4.8.3) следует конструировать в соответствии с опреде-

257

Заметим наконец, что в силу (4.7.2)

Разумеется, в (4.8.9) мы следуем определению 4.7.1 при очевидном изменении обозначений. Заметим, что в силу (4.8.8) у нас в (4.8.9) определены значения ФМ µ< > : если S P(E), то

Что же касается ФМ µ( ), то ее значения указаны в определении 4.7.1. Итак, если S P(E), то в силу (4.7.2)

для множества (4.8.11) определена точная нижняя грань и при этом (см. определение 4.7.1)

Фиксируем Φ P(E) и сравним значения µ( )(Φ) и µ< >(Φ). С этой целью проведем нужную конкретизацию ранее упомянутых общих конструкций. Итак, согласно (4.8.8)

258

Кроме того, [A](Φ) = {A A | Φ A} P′(A) и (см. (4.8.11))

Напомним, что (см. § 4.7) A B в силу (4.8.2). Поэтому для A A определено значение ν(A) [ 0, ∞[; см. (4.8.3) Имеем вложение

по определению образа множества; см. глава 1. С учетом (4.8.13), (4.8.14) и (4.8.17) получаем, что

Пусть (см. (4.8.19)) Ao A и No Nµ таковы, что W = Ao No. Тогда согласно (4.8.20) имеем цепочку равенств

С учетом (4.7.33) имеем, однако, что No P(Mo) для некоторого множества Mo Nµ. При этом Mo A и µ(Mo) = 0; No Mo. По аксиомам алгебры множеств имеем, что (см. (4.8.1))

Ao Mo A : Φ Ao Mo.

259