Тема 10. Функции комплексного переменного

Литература.[6], т.I, гл.VII, § 1-3, [8], ч.II, гл.VII, § 1,2,4-6.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется комплексным числом?

2. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.

3. Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?

4. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

5. Что называется алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа?

6. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

7. П о каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами?

8. Запишите формулу Муавра.

9. Дайте определение производной и дифференциала функции комплексного переменного.

10. Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и достаточные условия для аналитической функции.

11. Дайте определение гармонической функции. Какие функции являются сопряженными гармоническими функциями? Приведите пример.

12. Каков геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного?

13. Дайте определение интеграла от функции комплексного переменного и сформулируйте основные его свойства.

14. Сформулируйте основную теорему Коши и приведите примеры ее приложения.

15. Дайте определение ряда Лорана. Что является областью сходимости ряда Лорана? Каковы условия разложимости функции в ряд Лорана?

16. Дайте классификацию изолированных особых точек аналитической функции. Приведите примеры.

17. Дайте определение вычета функции относительно изолированной особой точки. Приведите примеры вычисления вычетов функции.

18. Сформулируйте теорему Коши о вычетах. Приведите примеры приложения теории вычетов.

Тема 11. Элементы функционального анализа

Литература [8]

Вопросы для самопроверки

1. Понятие о функционале.

2. Понятие о вариации функционала.

3. Экстремумы функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков.

5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной.

6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных.

7. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала.

Тема 12. Теория вероятностей

Литература [3],[8],[9],[10],[11]

События и их классификация

Результат некоторого опыта или наблюдения называется событием.Так, опыт, состоящий в подбрасывании игральной кости, может иметь своим результатом событие, состоящее в том, что выпавшее число очков - четно.

Элементарным исходомназывается элементарное, неразложимое событие.

Любое событие может быть разложено на элементарные исходы; иначе говоря, событие есть совокупность элементарных исходов.

Случайнымназываетсясобытие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти. Пример случайного события – выпадение 3 очков при бросании одной игральной кости.

Достовернымназывается событие,которое обязательно произойдет в данном опыте. Пример достоверного события - выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости.

Невозможное событие- это то, которое в данном опыте произойти не может. Пример невозможного события - выпадение 10 очков при бросании одной игральной кости.

Вероятность события и ее свойства.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события.

Вероятность события- есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятностисобытия формулируют следующим образом:

Вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта m, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опытаn:

.

Пример. Подбрасывание игральной кости один раз.Событие А состоит в том, что выпавшее число очков - четно. В этом случаеn= 6 -число граней куба;m= 3 - число граней с четными номерами; тогда.

Вычисление вероятности по формуле вызывает в некоторых случаях затруднения при определении значенийmиn. Эти затруднения связаны, в частности, с тем, что при решении ряда задач требуется применение формул из комбинаторики. Поэтому полезными являются нижеследующие комбинаторные формулы.

Число всевозможных перестановок из nразличных элементов равноn! (читается "эн факториал" и обозначает произведение всех целых чисел от 1 доn, т.е.n!=1·2·З...n, по определению 0! =1).

Например, число способов рассадить 4-х человек на 4-х местах равно 4! = 1·2·3·4 =24.

Число всевозможных способов выбрать mэлементов изnэлементов (порядок, в котором выбирались элементы, роли не играет) называют числом сочетаний изnпо m, обозначают.

Справедлива формула .

Например, число способов выбрать трех дежурных из группы в 20 человек равно .

Число всевозможных способов выбрать m элементов из nв определенном порядке называют числом размещений изnэлементов по m, обозначают.

Справедлива формула .

Например, число способов выбрать председателя и секретаря собрания, если в нем участвуют 20 человек, равно .

Пример.Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберет эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Решение.Обозначим А - событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно.m- число правильных вариантов, очевидно, чтоm= 1;n- число различных цифр,.

Таким образом, .

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называют суммой(или объединением) событий А и В и обозначают А + В.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называют разностью событий А и В и обозначают А – В.

Событие называют противоположным событию А,если событие А не происходит.

Два события называют несовместными,если их одновременное появление невозможно.

Если события А и В несовместны, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для произвольных событий А и В верно Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А·В), т.е.вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей двух событий без вероятности их пересечения.

Произведение событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называют произведением(или пересечением) событий А и В и обозначают А·В.

Понятие условной вероятности является основным инструментом теории вероятностей.

Вероятность события А в предположении, что уже произошло событие В, называют условной вероятностью события А при условии Ви обозначают Р(А|В)

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А|В).

Из теоремы умножения следует формула для вычисления условной вероятности события Р(А|В)=.

События А и В называют независимыми,если вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Если события А и В независимы, то условная вероятность равна Р(А|В) безусловной Р(А),а условная вероятность Р(В|А) равна безусловной вероятности Р(В).

Пример.Студент пришел сдавать зачет, зная из 30 вопросов только 20. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на первый вопрос, преподаватель задает еще один?

Решение.Обозначим события:

А - студент сдал зачет;

В - студент ответил на первый вопрос преподавателя;

С - студент ответил на второй вопрос преподавателя.

Ясно, что - т.е. студент сдаст зачет, если либо он ответит на первый вопрос, либо не ответит на первый, но ответит на второй.

По теореме сложения

,

По условию задачи .

По теореме умножения Р(·С)=Р(С|)·Р().

Р(В)=0,6+0,1-0,4 =0,3.

Далее, Р()=1–Р(В)=;

Р(С|) - вероятность ответить на второй вопрос при условии, что студент не ответил на первый.

Р(С|)=, так как осталось 29 вопросов, из них студент знает 20.

Таким образом, .