- •Министерство сельского хозяйства рф
- •Тема 1. Аналитическая геометрия 9
- •Общие методические указания
- •Тема 1. Аналитическая геометрия Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2 линейная алгебра
- •Матрицы
- •Основные действия над матрицами.
- •Определители
- •Свойства определителей
- •Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 3. Функции и пределы Функция одной независимой переменной
- •Постоянные и переменные величины
- •Понятие функции. Область её определения. Способы задания
- •Сложнаяфункция
- •Обратная функция
- •Основные элементарные функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Числовая последовательность
- •Предел числовой последовательности
- •Предельный переход в неравенствах
- •Признак существования предела последовательности
- •Предел функции в точке
- •Односторонние пределы
- •Предел функции при X →
- •Бесконечна большая функция (б.Б.Ф.)
- •Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •Основные теоремы о пределах
- •Признаки существования пределов
- •Замечательные пределы Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •Применение эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функции в точке, на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства непрерывных функций Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке:
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной
- •Определение производной; ее механический и геометрический смысл
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функции
- •Производные основных элементарных функций
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Производная неявно заданной функции
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков Производные высших порядков явно заданной функции
- •Механический смысл производной второго порядка
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Дифференциал функции
- •Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл
- •Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.
- •Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функций
- •Экстремум функции
- •Выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 5. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Пример. . Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла.
- •Вычисление определенного интеграла
- •Замена переменных в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги кривой
- •Тема 6. Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7. Ряды
- •Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Вопросы для самопроверки
- •Функциональные и степенные ряды
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 8.Векторный анализ
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 9. Численные методы
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 10. Функции комплексного переменного
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 11. Элементы функционального анализа
- •Тема 12. Теория вероятностей
- •События и их классификация
- •Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •Повторные испытания. Формула Бернулли
- •Локальная и интегральная теоремы Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Формула Пуассона
- •Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 14. Статистическое оценивание и проверка гипотез
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 15. Статистические методы обработки экспериментальных данных Основные понятия и методы математической статистики
- •Математическая статистика
- •Статистическое распределение выборки
- •Геометрическое изображение статистического распределения
- •Выборочные характеристики статистического распределения
- •Выборочная средняя
- •Выборочная и исправленная дисперсия
- •Доверительный интервал
- •Вопросы для самопроверки
- •Литература
Асимптоты
Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:
а) если при х=а кривая имеет бесконечный разрыв, т.е. еслипри, то прямая х=а является вертикальной асимптотой;
б) если при существует конечный предел функции, т.е., то прямаяy=bгоризонтальная асимптота графика функции;
3) если существуют конечные пределы и, то прямая у =kx+bявляется наклонной асимптотой графика функции.
Общая схема исследования функций и построения их графиков
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти область определения функции.
2. Исследуем функцию на непрерывность.
3. Установим, является ли заданная функция четной, нечетной.
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найдем асимптоты кривой.
Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Пример.Исследовать функциюи построить ее график.
Решение.Реализуем указанную схему.
Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х = 1.
Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (-∞; 1) и (1; +∞).
В точке х = 1 функция терпит разрыв второго рода.
Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда- четная функция) или( для нечетной функции) для любых х и –х из области определения функции:Следовательно,и, то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
при х = 0 и- не существует при х = 1. Тем самым имеем две критические точки: х1= 0 и х2= 1. Но точка х2= 1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.
Разобьем числовую ось на 3 интервала:
В первом и третьем интервалах функция отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна, и данная функция возрастает. При переходе через точку х = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, А(0; -1) – точка минимума.
Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: прии- не существует при х = 1. Разобьем числовую ось на три интервала:На первом интервале вторая производнаяотрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах> 0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку,меняет свой знак, поэтому- абсцисса точки перегиба. Следовательно, Вточка перегиба графика функции.
x= 1 – точка разрыва функции, причем
.
Поэтому прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:
.
Тогда
,.
Значит, прямая у = 0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рисунке.