- •Свойства операции умножения матриц:
- •5.1.2. Уравнения линии
- •5.2.2. Неполные уравнения плоскостей
- •5.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •5.2.4. Нормальное уравнение плоскости
- •5.2.5. Расстояние от точки до плоскости
- •5.2.7. Угол между двумя плоскостями
- •5.3.1. Векторное уравнение прямой
- •5.3.2. Параметрические уравнения прямой
- •5.3.3. Канонические уравнения прямой
- •5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •5.3.5. Общие уравнения прямой
- •5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости
- •6.1.1. Расстояние между двумя точками
- •6.1.2. Деление отрезка в данном отношении
- •6.2.1. Общее уравнение прямой
- •6.2.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •6.2.5. Уравнение прямой в отрезках
- •6.2.6. Нормальное уравнение прямой
- •6.2.7. Расстояние от точки до прямой
- •6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых
- •6.2.9. Угол между двумя прямыми
- •6.3.1. Эллипс
- •6.3.2. Окружность
- •6.3.4. Парабола
- •6.4.1. Параллельный перенос
- •6.4.2. Поворот координатных осей
- •6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей
- •6.5.1*. Полярные координаты на плоскости
- •6.5.2*. Связь полярных координат с декартовыми
- •6.5.3*. Уравнения линий в полярной системе координат
- •6.6*. Параметрическое задание линий
- •6.6.1*. Окружность
- •6.6.2*. Циклоида
- •6.6.3*. Астроида
- •7.5.1. Эллипсоид
- •Гиперболоиды
- •7.5.2. Однополостный гиперболоид
- •7.5.3. Двуполостный гиперболоид
- •Параболоиды
- •7.5.4. Эллиптический параболоид
- •7.5.5. Гиперболический параболоид
- •7.5.6. Конус
- •Цилиндры
- •7.5.7. Эллиптический цилиндр
- •7.5.8. Гиперболический цилиндр
- •7.5.9. Параболический цилиндр
- •Примеры числовых множеств:
- •8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах
- •8.1.2. Параметрическое задание линий
- •8.1.4. Полярные координаты на плоскости
- •8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми
- •Метод Лагранжа
- •16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента
- •16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой
- •16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение
- •16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Функции нескольких переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
349 |
|||||||||||
16.2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Найдем экстремум функции z = f (x, y) , |
если переменные x и y |
связа- |
||||||||||||||||||||||||
ны условием ϕ(x, y) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Исследуйте на |
экстремум |
функцию |
z = x |
2 |
+ y |
2 |
z |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
при условии x + y =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Условие связи позволяет исключить из функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z(x, y) переменную y =1− x , что сводит задачу к |
|
y |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
исследованию функции одной переменной |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
z = 2x2 −2x +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dz |
|
= 4x − 2 = 0 |
в |
|
точке |
|
x0 = 1 , |
при |
|
этом |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
d 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y0 |
|
= |
1 |
|
. Так как |
= 4 > 0 , то эта точка является точкой минимума. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
dx2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Таким образом, |
|
z(x, y) |
достигает минимума на прямой x + y =1 в точке |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
, |
1 |
|
, при этом |
|
|
1 |
, |
1 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
zmin |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Метод Лагранжа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , то критические |
|||||||||
|
Если из уравнения связи трудно выразить y |
|
через |
точки можно найти методом множителей Лагранжа. В предположении о его существовании найдем экстремум функции z(x, y) при условии ϕ(x, y) = 0 .
При этом z(x, y) = z(x, y(x)) и необходимое условие экстремума принимает вид:
dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx = 0 .
Продифференцируем уравнение связи, тогда ddxϕ = ∂∂ϕx + ∂∂ϕy dydx = 0 .
Умножим второе уравнение на неопределенный множитель λ и сложим его с первым, получим, что
∂z |
+ λ |
∂ϕ |
+ |
dy |
∂z |
+ λ |
∂ϕ |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂x |
∂x |
|
∂y |
||||||
|
|
dx |
|
∂y |
|
350 |
|
|
|
Лекции 15 - 16 |
|
Выберем коэффициент λ таким, чтобы |
∂z |
+ λ |
∂ϕ |
= 0 , тогда необходимыми |
|
∂y |
∂y |
||||
|
|
|
∂∂yz +λ
условиями экстремума являются ∂∂xz +λ
ϕ( x, y
Если ввести функцию Лагранжа:
∂∂ϕy = 0, ∂∂ϕx = 0, ) = 0.
L(x, y) = f (x, y) + λϕ(x, y) , то задача
нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа и необходимые условия экстремума принимают вид:
|
′ |
( x, y ) = 0, |
|
′ |
′ |
( x,y ) = 0, |
|||
L |
f |
x |
( x,y ) |
+λϕ |
|||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+λϕ′y( x,y ) = 0, |
|||
Ly′( x, y ) = 0, f y′( x,y ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ( x,y ) = 0 |
ϕ( x,y ) = 0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда находятся критические точки (x0 , y0 ) . |
|||||||||
Пусть (x0 , y0 ) |
- координаты критической точки, λ0 - любое из решений |
||||||||
системы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ'x (x0 ,y0 ) |
ϕ'y (x0 ,y0 ) |
|
|
|||
|
|
0 |
|
||||||
∆=− |
ϕ'x (x0 ,y0 ) L''xx (x0 ,y0 ,λ0 ) L''xy (x0 ,y0 ,λ0 ) |
|
. |
||||||
|
|
ϕ'y (x0 ,y0 ) L''xy (x0 ,y0 ,λ0 ) L''yy (x0 ,y0 ,λ0 ) |
|
|
Заметим, что d 2 L = L''xxdx2 + 2L''xydxdy + L''yydy2 .
Достаточные условия в методе Лагранжа формулируются следующим образом:
если ∆> 0 ( d 2 L > 0 ) , в точке условного экстремума – минимум, если ∆< 0 ( d 2 L < 0 ) – максимум, если d 2 L не сохраняет знак, то в критической точке экстремума нет.
Пример:
Исследуйте на экстремум функцию z = x2 + y2 −3xy при условии x + y +1 = 0 .
L(x, y) = x2 + y2 −3xy +λ(x + y +1) .
Lx′ = 2x −3y + λ , L′y = 2 y −3x + λ .
Функции нескольких переменных |
351 |
2x −3y + λ = 0,2 y −3x + λ = 0,x + y +1 = 0
2λ = x + y,
x − y = 0, x0 = − 12 ; y0 = −12 , λ0 =−12 .x + y +1 = 0
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
−3 |
|
1 |
2 |
|
= 5 +5 =10. |
|
|
|
|
||||||||
∆= − |
1 |
2 |
−3 |
= |
− |
|
|||||
|
1 |
−3 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке (−12 ,−12 ) ∆> 0 , т.е. в этой точке – минимум z(x, y).
Пример:
Исследуйте на экстремум функцию z = 6 −4x −3y
при условии, что x2 + y2 −1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
L(x, y) = 6 −4x −3y +λ(x2 + y2 −1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂L |
|
= −4 + 2λx ; |
|
∂L |
|
= −3 + 2λy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Необходимые условия экстремума: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2λx −4 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2λy −3 |
= 0, |
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
, |
откуда λ = ± |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
+ y |
=1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критические точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ = |
5 |
|
M |
|
(x , |
y ) = M |
|
4 |
; |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
5 |
5 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
= − |
5 |
|
M |
|
|
|
(x |
|
, y |
|
|
) = M |
|
− |
4 |
;− |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Проверим выполнение достаточных условий:
∂2 L |
= 2λ ; |
∂2 L |
= 2λ ; |
∂2 L |
= 0 |
, |
|
∂x2 |
∂y 2 |
∂x∂y |
|||||
|
|
|
|
d 2 L = 2λ(dx2 + dy 2 ) , d 2 L(M1 ) = 5(dx2 + dy 2 ) > 0 ,
d 2 L(M 2 ) = −5(dx2 + dy 2 ) < 0 , значит, |
|
|
||||||||||||
M |
|
4 |
; |
3 |
|
– точка минимума, z(M |
|
) =1, |
||||||
1 |
|
5 |
5 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M |
|
|
− |
4 |
;− |
3 |
|
z(M |
|
) =11. |
||||
2 |
|
5 |
5 |
– точка максимума |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
352 |
Лекции 15 - 16 |
16.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в области
ТНаибольшее и наименьшее значение функции (глобальный экстремум) достигается либо в критических точках функции внутри области, либо на границах области определения функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z(x, y) в области (x, y) D следует:
1)найти критические точки внутри D , вычислить в них z(x0 , y0 ) ;
2)найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x, y) на границе;
3)сравнить найденные значения и выбрать среди них наибольшее и наименьшее.
Пример:
Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции z = 2x3 −6xy +3y2 в области, ограниченной осью Oy ,
прямой y = 2 |
и параболой y = |
x2 |
|
y |
|
|
|
||
2 . |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
M 2 |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
∂z |
= 6x2 |
−6 y = 0, |
|
|
M1 |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
2 x |
|||
1). |
∂z |
|
|
|
|
||||
|
= −6x |
+6 y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 (0,0) , M 2 (1,1) .
Точка M 2 (1,1) – внутренняя точка области, z1 (1,1) = −1 . 2). Рассмотрим поведение функции на границе области.
|
y [0,2], |
|||||
2.1) x = 0, |
|
|
|
|
||
|
|
= 3y |
2 |
- возрастающаяфункция, |
||
|
z |
|
|
|||
z2 (0,0) = 0 ; |
|
|
z3 (0,2) =12 . |
|||
|
x [0,2], |
|
||||
2.2) |
|
= 2, |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
= 2x |
3 |
−12x +12, |
||
|
z |
|
|
|||
dz |
= 6x2 −12 = 0 ; x = 2 [0, 2] . |
|||||
dx |
|
|
|
|
|
|
Найдем значения z4 ( 2,2) =12 −8 2 ; z5 (2,2) = 4 .