12. Преобразование координат базисных векторов при повороте прямоугольной системы координат
Пусть векторы e1 ={1, 0, 0}, |
e2 ={0, 1, 0} и e3 ={0, 0, 1} |
образуют |
ортонормированный базис прямоугольной системы координат.1 |
|
|
Условия ортогональности единичных векторов можно представить |
||
единой формулой |
|
|
ei e j |
=δi j , |
(16) |
где δi j – дельта символ Кронекера.2 |
|
|
Перейдем к новой прямоугольной системе координат, полученной поворотом исходной системы вокруг начала координат.
Пусть векторы e1′ ={1, 0, 0} , |
e2′ ={0, 1, 0} и e3′ ={0, 0, 1} |
образуют |
ортонормированный базис новой системы координат. Тогда |
|
|
ei′ e′j |
=δij . |
(17) |
Согласно теореме о направляющих косинусах координаты векторов |
||
e1 , e2 и e3 в базисе e1′, e2′ , e3′ равны направляющим косинусам этих
векторов.
Для удобства последующего изложения введем универсальные обозначения, используя символы un1 , un2 и un3 для обозначения
направляющих косинусов вектора en (n = 1, 2, 3).
Тогда разложение векторов старого базиса по новому базису описывается выражениями
e = u e′ |
+u e′ |
+u e′, |
|
||||||||||
|
1 |
|
11 |
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
|
|
|||
e |
2 |
= u |
21 |
e′ |
+u |
22 |
e′ |
+u |
23 |
e′ |
, |
(18) |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||||
e |
3 |
= u |
31 |
e′ |
+u |
32 |
e′ |
+u |
33 |
e′. |
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||
Можно использовать и более компактную форму записи:
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
en = ∑unk ek′ |
(n = 1, 2, 3). |
(19) |
||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
Подставим эти выражения в равенство (16): |
|
|
||||
|
ei e j =δi j |
3 |
3 |
|
|
|
|
∑∑uik u jmek em =δi j . |
|
||||
|
|
|
|
|
′ ′ |
|
|
|
|
k =1 m=1 |
|
|
|
Учитывая условия (17), получаем соотношения |
|
|
||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
∑uik u jk =∑ukiukj =δi j (i, j =1, 2, 3). |
(20) |
|||
|
|
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|||||
1 Напомним, что термин “ортонормированный базис” означает базис, образованный единичными |
||||||
взаимно перпендикулярными векторами. |
|
|
|
1, если i = j |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Числа δi j являются элементами единичной матрицы: и определяются выражением δi j = |
|||||
|
|
|
|
|
|
0, если i ≠ j |
27
Например,
cosα1 cosα2 + cos β1 cos β2 + cosγ1 cosγ2 = 0 , cosα1 cosα3 + cos β1 cos β3 + cosγ1 cosγ3 = 0 , cos2 α1 + cos2 β1 + cos2 γ1 =1,
cos2 α2 + cos2 β2 + cos2 γ2 =1
и т.д.
Полученные соотношения имеют наиболее простой вид в матричной форме записи.
Введем матрицу U =|| uij ||, элементами которой являются направляющие косинусы векторов en (n = 1, 2, 3).
Тогда соотношения (20) эквивалентны матричным равенствам
|
U U T |
= I , |
|
|
|
|
U T U = I , |
|
|
||
где U T – транспонированная матрица; |
I =|| δi j || |
– единичная матрица. |
|||
Очевидно, что матрица U T является обратной для матрицы U : |
|||||
|
U T |
=U −1 . |
|
|
|
В таких случаях про матрицу U говорят, что она является унитарной. |
|||||
Введем еще две матрицы, |
|
|
|
~ |
|
e |
|
|
|
|
|
|
~ |
e |
|||
1 |
|
и |
~1 |
|
|
E = e2 |
|
E |
= e2 |
. |
|
|
|
|
|
~ |
|
e3 |
|
|
|
e3 |
|
Обратите внимание на то, что в этом разделе символ E не имеет ни малейшего отношения к единичной матрице и используется для обозначения матрицы, составленной из базисных векторов.
Тогда соотношения (19) можно представить в виде
E =U E′.
Отсюда сразу же следует формула обратного преобразования, т.е. формула перехода от старого базиса к новому:
U −1E =U −1U E′ |
E′=U −1E =U T E . |
Это матричное соотношение эквивалентно следующим трем векторным равенствам:
или в подробной записи,
e1′ e′2 e3′
3
en′ = ∑uknek
k=1
=u11 e1 +u21 e2
=u12 e1 +u22 e2
=u13 e1 +u23 e2
(n = 1, 2, 3)
+u31 e3 ,
+u32 e3 , (21)
+u33 e3 .
28
13. Преобразование координат произвольного вектора при повороте системы координат
Представим произвольный вектор a в виде разложения по базису ортонормированных векторов e1 , e2 , e3 :
3 |
|
a = a1 e1 +a2 e2 + az e3 = ∑ai ei . |
(22) |
i=1 |
|
Затем перейдем к новому базису, соответствующему |
системе |
координат, полученной поворотом исходной системы вокруг начала координат. Разложение вектора a по базису e1′, e2′ , e3′ имеет вид
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
a = a1′e1′ +a2′ e2′ |
+ a′z e3′ |
= ∑ai′ei′. |
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∑ai ei = ∑ak′ ek′ . |
|
|
|
||
|
|
|
|
i=1 |
k =1 |
|
|
|
|
Используя формулы преобразований (19), получаем |
|
|
|||||||
3 |
3 |
′ |
3 |
′ ′ |
|
3 |
3 |
′ |
|
∑ai ∑uik ek |
= ∑ak ek |
∑ ∑uik ai ek |
|||||||
i =1 |
k =1 |
|
k =1 |
|
|
k =1 |
i=1 |
|
|
(23)
3
= ∑ak′ ek′ .
k =1
Следовательно,
|
3 |
|
ak′ |
= ∑uik ai = u1k a1 +u2k a2 +u3k a3 . |
(24) |
i =1
Аналогично получаются формулы перехода от нового к старому базису:
3 |
|
ak = ∑ukiai′ = uk1a1′ +uk 2a2′ +uk 3a3′. |
(25) |
i=1
Взаключение покажем, что скалярное произведение векторов не
зависит от выбора системы координат.
Теорема. Скалярное произведение векторов инвариантно относительно поворота системы координат.
Доказательство. Пусть a ={ax , ay , az } и b ={bx ,by ,bz } – два произвольных
вектора. По определению скалярного произведения и с учетом формул преобразования (24) имеем
3 |
|
|
3 |
3 |
3 |
|
ab = ∑ak′bk′ |
= ∑∑uik ai ∑u jk bj |
|
||||
k=1 |
|
|
k=1 i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
= ∑ |
∑uik u jk |
aibj = ∑δij ai a j = ∑aibi . |
||||
i, j |
k=1 |
|
|
i, j |
i=1 |
|
29
14. Поворот плоскости x,y вокруг оси z
Дана прямоугольная система координат, заданная своими базисными векторами i, j . Рассмотрим другую систему координат, полученную из
исходной поворотом плоскости x,y вокруг оси z на угол θ .
Выберем произвольную точку M (x, y) и запишем разложение ее радиусвектора r двумя способами, используя различные базисные наборы:
r = x i + y j |
и |
r = x′i′+ y′ j′. |
|
Отсюда следует, что |
x i + y j = x′i′+ y′ j′. |
(26) |
|
|
|||
Выпишем все скалярные произведения единичных базисных векторов: |
|||
|
i i = j j =1, |
|
|
|
i j = j i = 0 , |
|
|
|
i i′= cosθ , |
|
|
|
j j′= cosθ , |
|
|
i j′= cos(90°+θ) = −sinθ , |
|
||
j i′= cos(90°−θ) =sinθ . |
|
||
Умножая обе части равенства (26) скалярно на вектор i , получаем |
|||
x = x′cosθ − y′sinθ |
|
(27) |
|
Теперь умножим равенство (26) скалярно на вектор |
j : |
||
y = x′sinθ + y′cosθ . |
(28) |
||
Формулы преобразования (27) и (28) осуществляют переход от координат точки в новом базисе к ее координатам в старом базисе.
Аналогично выводятся формулы обратного преобразования – от старого базиса к новому. Нужно лишь поочередно умножить равенство
(26) на векторы i и j : |
|
x′= x cosθ + y sinθ , |
(29) |
y′= −x sinθ + y cosθ . |
(30) |
Нетрудно проверить, что формулы (27) и (28) представляют собой частный случай общих формул преобразования (24).
30
Пример. Пусть новая система координат получена поворотом исходной двухмерной прямоугольной системы на угол θ = 45°. Выразить произведение x′y′ координат точки в новой системе через координаты
точки в исходной системе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Применяя формулы (29) |
|
и |
(30) |
|
и учитывая, что |
|||||||||
sinθ = cosθ = |
2 |
, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x′= |
( x |
+ y) , y′= |
(−x + y) , |
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
′ |
|
′ |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
) . |
|
x y |
|
= |
2 2 |
( y + x)( y − x) = |
2 |
( y |
|
− x |
|
||||
31
Литература
1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М. Наука, 1987.
2.Бугров Я. С. Никояьский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М. Наука, 1988.
3.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.
Наука, 1979.
4.Ильин В.Л., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М. Наука, 1984.
5.Сборник задач по математике под ред. Ефимова А.В. и Демидовича Б.П. Часть 1. – М. Наука, 1988.
6.Беклемишева Л.А., Петрович АЮ.. Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М. Наука, 1987.
7.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980.
8.Каплан Н.А. Практические занятия по высшей математике.(в 3-х томах). – Харьков: Изд-во ХГУ, т. 1–1965.
9.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.
Наука, 1987.
Разложение по базису
a = a1 e1 + a 2e2 + a 3e3
a = ax i +ay j +az k
Скалярное произведение векторов: a b =(a,b)
1.a b = axbx + ayby + azbz
2.a b = a b cosθ
3.a b = a Pr ojab = b Pr ojba
4.a b = b a
5.(a +b) c = a c +b c
6. |
a b |
|
|
a b =0 |
|
7. |
cosθ = |
a b |
= |
axbx +ayby +azbz |
|
a b |
ax2 +a2y +az2 bx2 +by2 +bz2 |
||||
|
|
|
Векторное произведение векторов: a ×b =[a,b]
|
|
|
i |
j |
k |
|
1. |
a ×b = |
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.a ×b = −b ×a
3.(a +b) ×c = a ×c +b ×c
Смешанное произведение векторов: ([a, b], c) =(a ×b) c
|
|
ax |
ay |
az |
1. |
(a ×b) c = |
bx |
by |
bz |
|
|
cx |
cy |
cz |
2. |
a (b ×c) =(a ×b) c |
3. |
abc = cab = bca |
4. |
abc = – bac = – acb |
Преобразование координат точки при повороте системы координат
x= x′cosθ − y′sinθ
y= x′sinθ + y′cosθ x′= x cosθ + y sinθ y′= −x sinθ + y cosθ