Векторы
Формула (5) является обобщением разложения вектора по ортогональному базису {i, j, k} на случай произвольного базиса, образованного некомпланарными векторами {a1 , a2 , a3}.
8. Переход от одного векторного базиса к другому
Пусть произвольный вектор d задан своим разложением по некоторому базису в трехмерном пространстве векторов:
3 |
|
d = d 1 a1 + d 2a2 + d 3a3 = ∑d k ak . |
(6) |
k =1
Перейдем к новому базису векторов b1 , b2 , b3
виде разложения по этому базису: |
~ |
~ |
~ |
||
d = d 1 b1 |
+ d 2b2 |
+ d 3b3 . |
и представим вектор d в
(7)
Чтобы установить взаимосвязь между координатами вектора d при переходе от старого базиса к новому, произведем разложение векторов b1 , b2 и b3 по базису a1 ,a2 ,a3 :
b1 =b11a1 +b12a2b2 =b21a1 +b22a2b3 =b31a1 +b32a2
+b13a3 , |
|
+b23a3 , |
(8) |
+b33a3. |
|
Заметим, что коэффициенты ai j представляют собой координаты векторов
bi в базисе a1 ,a2 ,a3 .
Подставив выражения (8) в равенство (7) и приведя подобные члены, мы вновь получаем разложение вектора d по базису векторов a1 ,a2 ,a3 :
|
|
3 |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
(9) |
d = ∑(b1k d1 +b2k d2 +b3k d3 )ak . |
|||||||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из сравнения равенств (6) и (9) вытекают формулы преобразования |
|||||||||||||||
координат вектора при переходе от одного базиса к другому: |
|
||||||||||||||
d |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
, |
|
||||
1 |
=b d |
|
+b d |
2 |
+b d |
3 |
|
||||||||
|
11 |
1 |
21 |
|
31 |
|
|
|
|
||||||
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
(10) |
||||||
d |
2 |
=b12d1 |
+b22d2 |
+b32d3 , |
|||||||||||
|
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|
. |
|
|||||
d |
3 |
=b d |
1 |
+b d |
2 |
+b d |
3 |
|
|||||||
|
13 |
|
23 |
|
|
33 |
|
|
|
||||||
Представим систему (10) в матричном виде: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
BT D~ = D . |
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь B – матрица, составленная из координат векторов нового базиса в |
|||||||||||||||
старом базисе; BT – матрица, |
|
получена транспонированием матрицы B ; |
|||||||||||||
~
элементами матриц-столбцов D и D являются координаты вектора d в старом и новом базисах, соответственно:
14
b |
b |
11 |
12 |
B = b21 |
b22 |
b |
b |
31 |
32 |
b13 b23 , b33
d1 D = d2 ,d3
Векторы
~d1 D~ = d~2 .~d3
Совершенно аналогично можно получить формулы преобразования координат вектора при переходе от старого базиса к новому. Для этого нужно сначала произвести разложение векторов старого базиса по новому базису:
a |
= a b |
+ a b |
+ a b , |
|
||||
|
1 |
11 |
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
|
a2 = a21b1 + a22b2 + a23b3 , |
(11) |
|||||||
|
|
= a31b1 + a32b2 |
+ a33b3. |
|
||||
a3 |
|
|||||||
Затем подставляем выражения (11) в равенство (6):
d= (a11d1 + a21d 2 + a31d 3 )b1 +
+( a12d1 + a22d 2 + a32d 3 )b2 +
+(a13d1 + a23d 2 + a33d 3 )b3
Врезультате получаем следующие формулы обратного преобразования координат:
d~ |
= a |
d |
|
+ a |
|
|
d |
|
|
|||
|
~1 |
11 |
|
1 |
|
21 |
|
|
2 |
|||
d |
2 = a12d1 + a22d2 |
|||||||||||
|
~ |
= a |
d |
+ a |
|
|
d |
|
||||
d |
3 |
23 |
2 |
|||||||||
|
|
13 1 |
|
|
|
|
||||||
+ a31d3 , |
|
+ a32d3 , |
(12) |
+ a33d3. |
|
В матричном виде полученные формулы имеют вид
T |
~ |
A |
D = D , |
где
a |
a |
11 |
12 |
A = a21 |
a22 |
|
a32 |
a31 |
a |
|
|
|
a |
|
13 |
|
, |
T |
11 |
|
a23 |
|
A |
= a12 |
||
a |
33 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
13 |
|
a21 a22 a23
a31 a32 , a33
d1 D = d2 ,d3
~d1 D~ = d~2 .~d3
Пример. Найти координаты вектора d = 4 i +7 j +k |
в базисе векторов |
||||||||||
b1 ={3, 0, 5}, b2 ={1, 1,−8}, b3 ={7,−2, 0} . |
|
|
|
|
|
||||||
4 = |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3d1 +d2 |
+7d3 |
|
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|||
|
= |
~ |
~ |
~ |
|
= 3 and |
= −2 . |
||||
Решение. 7 |
0 d1 |
+d2 −2d3 |
d 1 =5, |
d 2 |
d 3 |
||||||
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
=5d1 −8d2 |
+0 d3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
15