11. Смешанное произведение векторов

Скалярное произведение и векторное произведение векторов можно скомбинировать в смешанное произведение вида

([a, b], c) = (a ×b) c .

Доказательство. Умножим скалярно вектор

a ×b = (aybz −azby )i +(azbx −axbx ) j +(axby −aybx )k

на вектор

c= cx i +cy j +cz k .

Врезультате получаем выражение,

(a ×b) c =(aybz − azby )cx + (azbx − axbx )cy + (axby − aybx )cz ,

элементам третьей строки.

Геометрическая интерпретация. Численное значение смешанного произведения (a ×b) c совпадает (с точностью до знака) с объемом параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c .

Доказательство. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Согласно теореме о скалярном произведении векторов,

23

(a ×b) c =| a ×b | | c |cosϕ .

Величина | a ×b | равна площади параллелограмма, а произведение | c |cosϕ равно высоте параллелепипеда.

Следствие 1. Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Следствие 2. Точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, если смешанное

→ → →

произведение ( AB × AC) AD равно нулю.

11.1. Свойства смешанного произведения векторов

Свойство 1.

Согласно свойству скалярного произведения, a (b ×c) =(b ×c) a . Однако

Следовательно,

a (b ×c) =(a ×b) c .

Заметим, что порядок следования точки скалярного произведения и креста векторного произведения оказывается несущественным. Поэтому представляется разумным опустить эти символы в выражении для смешанного произведения a (b ×c) и просто записывать его в виде abc.

Свойство 2. Преобразуем смешанное произведение, опираясь на свойства определителей:

abc = cab = bca.

Свойство 3. Аналогично,

и поэтому

abc = – bac = – acb.

24

Свойство 4. Теорема о линейной зависимости векторов устанавливает, что любые три линейно зависимые векторы являются компланарными. Следовательно:

Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю, если и только если векторы являются линейно зависимыми.

→→ →

Таким образом, векторы AB , AC и AD лежат в одной плоскости, что доказывает утверждение.

2) Найти объем V тетраэдра с вершинами в точках A(1, 0, 2) , B(3, −1, 4) ,

C(1, 5, 2) и D(4, 4, 4) .

Решение. Объем тетраэдра составляет 1/6 часть объема параллелепипеда,

25

3) Тетраэдр задан своими вершинами A(1, 0, 2) , B(3, −1, 4) , C(1, 5, 2) и

D(4, 4, 4) .

Найти высоту, опущенную из вершины D на основание ABC.

Решение. Воспользуемся известной из элементарной математики формулой для объема пирамиды:

V = 13 S h .

Очевидно, что для нахождения высоты h пирамиды достаточно вычислить объем V тетраэдра и площадь S его основания ABC.

В Примере 2 было показано, что объем данного тетраэдра равен 53.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью операции векторного произведения:

→→

Найдем координаты векторов AB и AC :

26