Векторы
Суммой двух векторов a ={a1 , a2 , a3} и b ={b1,b2 , b1} является вектор c, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов a и b :
c = a +b ={a1 +b1, a2 +b2 , a3 +b3}.
Вычитание из одного вектора другого представляет собой операцию
обратную сложению: |
|
|
|
c = a – b = a + (– b) |
c + b = a. |
||
|
c |
= a |
−b , |
Другими словами, c = a −b |
1 |
1 |
1 |
c2 = a2 −b2 , |
|||
|
|
= a3 −b3. |
|
|
c3 |
||
3. Геометрическая интерпретация векторов
3.1. Вектор как направленный отрезок
Пусть вектор |
a ={a1 , a2 , a3} задан |
в прямоугольной |
системе |
|
координат. Выберем такие две точки P1 и P2 |
с координатами ( x1, y1, z1 ) и |
|||
( x2 , y2 , z2 ) , соответственно, чтобы выполнялись условия |
|
|||
a1 = x2 − x1 , |
a2 = y2 − y1 , |
a3 = z2 − z1 . |
(1) |
|
Проведем из точки P1( x1, y1, z1 ) в точку P2 ( x2 , y2 , z2 ) направленный отрезок
→
P1P2 :
→
Координатами отрезка P1P2 являются разности между соответствующими
координатами конца и начала отрезка:
→
P1P2 ={x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}.
С учетом условий (1) получаем, что
→
P1P2 ={a1 , a2 , a3}.
Таким образом, вектор a можно интерпретировать как направленный
→ →
отрезок P1P2 : a = P1P2 .
Под длиной вектора a понимается длина соответствующего ему
→
отрезка P1P2 , которая обозначается как | a | или просто символом a .
Для наглядного представления векторной величины используется изображение в виде стрелки, длина которой пропорциональна числовому значению, а направление стрелки отображает направление вектора.
6
Векторы
С точки зрения геометрии два вектора рассматриваются как равные, если их можно совместить друг с другом параллельным переносом:
При умножении вектора a на число λ длина вектора становится
равной | λ| a .
Если λ >0 , то направление вектора остается неизменным.
Если же λ < 0 , то вектор b = λa направлен противоположно вектору a.
→
Для каждого вектора AB существует противоположный вектор
→ →
BA = − AB :
Под единичным вектором (или ортом) понимается вектор, длина которого равна единице. Чтобы получить единичный вектор e в
направлении a, нужно вектор a разделить на его длину: e = aa .
Приведенные ниже рисунки иллюстрируют правила геометрического сложения и вычитания векторов.
7