danilov-izgib

УДК 539.384.001.24(075.5)

Данилов, А.В., Флат, М.Х. Прямой изгиб. Расчѐт на прочность [Текст]: Методические указания и варианты заданий для студентов строительных специальнстей/ А.В. Данилов, М.Х. Флат – Барнаул: АлтГТУ им.

И.И. Ползунова, 2011 – 44 с.

Методические указания предназначены для студентов строительных специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов». Включают в себя варианты решений домашних заданий по расчѐту на прочность при плоском изгибе.

Рецензент:

Кикоть А.А., к.т.н., доцент

Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры «Прикладная механика».

Протокол № 7 от 20.04.2011 г.

2

Определение напряжений в балках при изгибе. Расчёт на прочность.

При прямом изгибе балки в плоскости YOZ в еѐ поперечных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения.

Рисунок 1 – Нормальные и касательные напряжения в попереч-

где Mx – изгибающий момент относительно оси x; Qy – поперечная сила;

Sотс – статический момент отсечѐнной площади Aотс относительно нейтральной линии;

3

b(y) – ширина поперечного сечения на уровне точки, в которой определяется касательное напряжение;

Ix – осевой момент инерции относительно оси x;

y – расстояние от рассматриваемой точки до нейтральной линии. В формуле (1) знак минус позволяет автоматически получать знак

напряжения, при учѐте знака момента и знака координаты точки.

Рисунок 2 – Эпюры напряжений

Из формулы (1) следует, что нормальные напряжения ζz принимают наибольшее значение в наиболее удалѐнных от нейтральной линии волокнах, что проиллюстрировано на рисунке 2. Если материал балки неодинаково сопротивляется растяжению-сжатию, то необходимо принимать во внимание не только абсолютные значения напряжений, но и знаки этих напряжений.

4

Рисунок 3 – Эпюры нормальных напряжений в симметричных сечениях

Для сечений, симметричных относительно нейтральной оси (сечения на рисунке 3):

ymax ymin h2 ,

В балках прямоугольного сечения касательные напряжения ηyz изменяются по высоте сечения балки по закону квадратной параболы.

Рисунок 4 – Эпюры касательных напряжений

5

Наибольшие напряжения имеют место в точках на нейтральной оси, как показано на рисунке 4. Величина их может быть подсчитана по формуле:

где A = b∙h – площадь прямоугольного сечения.

В двутавровом поперечном сечении касательные напряжения η1 и ηmax подсчитываются по формуле (2). Для расчѐта η1 используется:

полусечения, значения которого приводятся в сортаментах для стандартных прокатных профилей (ГОСТ 8239-89 для двутавров).

При изгибе балки величины главных напряжений ζ1 и ζ2 и положение главных площадок определяются по формулам:

При расчѐте изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчѐта по предельным состояниям (по несущей способности). В случае изгиба условие прочности записывается в виде:

где R – расчѐтное сопротивление материала балки; γс – коэффициент условий работы.

Для хрупких материалов расчѐтное сопротивление при растяжении Rt существенно меньше, чем при сжатии Rс. В этом случае должны

6

выполняться условия прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям:

pmax Rt c ,

(10)

cmax Rc c .

Для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению (сжатию) с поперечным сечением, симметричным относительно нейтральной оси, условие прочности (9) запишется в виде:

где Мmax – наибольший изгибающий момент в опасном сечении балки от расчѐтных нагрузок.

В случае расчѐта на прочность по методу допускаемых напряжений используют формулы (9) и (10), в которых правую часть нужно заменить на допускаемые напряжения [ζ], [ζр], [ζс]. Так, для материала, неодинаково сопротивляющегося растяжению (сжатию), с учѐтом формул (3) и (4) запишем для рисунка 2(а):

Исходя из условий прочности решаются три типа задач:

1)проверочный расчёт – при котором проверяется выполнение условия прочности для известных нагрузок, формы и размеров поперечного сечения и свойств материала (условия (9) – (14));

2)проектировочный расчёт – сводится к определению надѐжных размеров сечения заданной формы при известных нагрузках и свойствах материала, из формулы (11):

где Wтреб – требуемый момент сопротивления сечения.

Из (12):

7

3) определение несущей способности конструкции (определение грузоподъёмности) – из условий (11) и (12) находят величину расчѐтного значения изгибающего момента:

затем из известного выражения Мmax определяют соответствующую величину параметра нагрузок.

При всех типах задач, если необходимо, нужно соблюдать усло-

где RS – расчѐтное сопротивление материала при сдвиге.

Работа балки за пределом упругости материала зависит от вида диаграммы ζ = f(ε). Примем, что для материала балки можно использовать диаграмму Прандтля, приведѐнную на рисунке 5а. Согласно этой диаграммы, при напряжениях, меньших предела текучести ζz < ζТ, справедлив закон Гука, а при ζz = ζТ пластические деформации неограниченно возрастают.

Рисунок 5 – Переход от упругих напряжений к предельным: а) диаграмма Прандтля, б) образование пластического шарнира

8

В случае изгиба балки при постепенном увеличении нагрузки напряжения в крайних волокнах опасного сечения достигают предела текучести ζТ и возникают пластические деформации, при MX = MТ. При дальнейшем увеличении нагрузки пластические деформации распространяются к нейтральному слою, а напряжения в пластической области не могут быть больше ζТ, что проиллюстрировано на рисунке 5б. Предельное состояние балки наступает при MX = MПР, когда напряжения во всех волокнах в нижней и верхней частях балки достигают значения ζz = ζТ. В опасном сечении балки возникает так называемый пластический шарнир, как показано на рисунке 6.

Рисунок 6 – Предельное состояние балки

Предельный момент в пластическом шарнире определяется по формуле:

Величина WПЛ называется пластическим моментом сопротивления, вычисляется по формуле:

где SР – статический момент растянутой части сечения;

SСЖ – статический момент сжатой части сечения относительно нейтральной оси сечения, положение которой определяется из условия:

Понятно, что для симметричных сечений:

Такой расчѐт называют расчѐтом по предельному моменту. Определив предельный момент, можно найти величину запаса

прочности как отношение предельного момента к наибольшему изгибающему моменту от действия нормативных нагрузок:

где MMAX – максимальный изгибающий момент в конструкции от действия нормативных значений нагрузок.

Если в опасном сечении Q≠0 (случай поперечного изгиба), величина MПРЕД уменьшается, т.к. должно выполняться условие пластичности в зонах развития пластических деформаций:

2 4 2 Т ,

откуда следует, что

Т ,

Т .

2

Подсчитав предельный момент для упруго-пластического состояния балки, получим:

где δ – ширина сечения в начале пластической области.

10