danilov-izgib

Рисунок 15 – Сечение «а»

Выбрав ось U в основании фигуры определим координату центра тяжести yC:

Нетрудно убедиться, что площадь сечения выше оси ХC больше, чем площадь сечения ниже оси.

Это обстоятельство необходимо иметь в виду в случае материала неодинаково сопротивляющегося растяжению/сжатию и располагать сечения таким образом, чтобы бОльшая часть площади сечения располагалась бы в растянутой зоне. Так в нашем случае по эпюре МX видим, что в заделке наибольший момент 0,3qa2 выше нулевой линии. Следовательно, растянуты верхние волокна и сечение располагаем так, чтобы полка была вверху. Таким образом, точка A будет наиболее удалѐнной от нейтральной линии сечения растянутой точкой, а точка B

– наиболее удалѐнной сжатой точкой.

Вычисляем осевой момент инерции относительно оси ХC:

21

13120 см 4 .

3.Записываем условия прочности по допускаемым напряжениям для растянутой и сжатой точек в опасном сечении:

Находим изгибающий момент из первого выражения:

На этом расчѐт заканчивать нельзя, так как на криволинейном участке точка A оказывается сжатой, а точка B растянутой, и в выражениях (23) и (24) правые части неравенств поменяются местами. По условию для растяжения, для точки B запишем:

0,18qa2 p IyXc ,

B

откуда получим:

22

Из двух значений интенсивностей нужно принять меньшее, а

именно [q] = 87,5 кН/м.

Эпюра напряжений в опасном сечении будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 16 – Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении

Напряжение ζmax = [ζР], следовательно, прочность балки обеспе-

чена.

23

Задача 2б. Расчёт балки несимметричного сечения из пластичного материала

Определяем геометрические характеристики сечения «б». Вычерчиваем сечение в масштабе и выписываем характеристики из сортамента. Материал балки – сталь ВСт3, R = 210 МПа, γC = 0,9, RS = 130 МПа.

Рисунок 17 – Сечение «б»

Двутавр № 27:

АД = 40,2 см2; h = 27 см; b = 12,5 см; s = 0,6 см; t = 0,98 см; IХД = 5010 см4; WХ = 371 см3; SX = 210 см3.

Швеллер № 30:

АШ = 40,2 см2; h = 30 см; b = 10 см; s = 0,65 см; t = 1,1 см; IХШ = 5810 см4; IYШ = 327 см4; SX = 178 см3, x0 = 2,52 см.

Затем определяем центр тяжести сечения. Взяв в качестве вспомогательной оси ось XД, запишем:

Записываем осевой момент инерции относительно оси XС. Расстоя-

24

5010 9,462 40,2 2 327 40,5 51,25 11557,629 см4 .

3.Обозначая растянутую точку буквой A, а сжатую буквой B, запишем условия прочности для каждой точки по предельному состоянию в опасном сечении:

где yA = HД/2 + sШ + bШ – yC; yВ = – (HД/2 + yC).

Так как материал одинаково сопротивляется растяжению/сжатию и правые части неравенств равны, очевидно, что опасная точка будет наиболее удалена от нейтральной линии, в данном случае это точка B,

Напряжение в точке B:

25

Эпюру напряжений ζz строим по вычисленным значениям.

Рисунок 18 – Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении

Так как сечение тонкостенное, необходимо проверить прочность по максимальным касательным напряжениям. Вычислим статический

касательное напряжение в сечении с наибольшей перерезывающей силой будет больше в 1,5 раза, т.е. 57,66 МПа, что также меньше γCRS.

26

Контрольные вопросы

1. Какой вид деформированной балки называется чистым изгибом? Какие внутренние усилия и напряжения действуют в поперечных сечениях балки при чистом изгибе и как они определяются?

2.Какие гипотезы принимаются при чистом изгибе?

3.Как определяются напряжения в поперечном сечении балки при поперечном изгибе?

4.По каким законам изменяются нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях балки?

5.Как определяется наибольшее напряжение в поперечных сечениях балки с одной и двумя осями симметрии?

6.Какое сечение называется опасными?

7.Как определяется момент сопротивления сечения?

8.Как записывается условие прочности при изгибе балки?

9.Как определяются главные напряжения при изгибе?

10.Что такое пластический шарнир?

Задание

Задача 1. Для двухопорной балки подобрать два указанных сечения из условия прочности по методу предельных состояний. Материал балки сталь ВСт3: предел текучести ζT = 230 МПа, расчѐтное сопротивление R = 210 МПа, расчѐтное сопротивление при сдвиге RS = 130 МПа, коэффициент условий работы γC = 0,9, коэффициент надѐжности по нагрузке γf = 1,2.

Значения нормативной нагрузки принять по таблице 1.

Задача 2. Для балки с жѐстко защемлѐнным концом определить грузоподъѐмность. В случае массивного сечения (задача 2а) – материал балки чугун: [ζР] = 80 МПа, [ζC] = 150 МПа; в случае тонкостенного стального сечения (задача 2б) – материал сталь ВСт3: R = 210 МПа, γC

= 0,9, RS= 130 МПа.

Параметры сечений взять из таблицы 2. Для сечения задачи 2б определить:

а) площадь A,

б) статический момент полусечения SX ПОЛУСЕЧ, в) моменты инерции IX и IY,

г) моменты сопротивления WX и WY, д) полярный момент инерции Iρ,

е) радиусы инерции iX и iY.

27

Таблица 1 – Варианты данных для задачи 1а и 1б

28

Таблица 2 – Варианты данных для задач 2а и 2б

29

30