Rogozin-fiz2

Единица измерения магнитного потока Вб получила свое название в честь немецкого физика Вильгельма Вебера (1804–1891) – профессора университетов в Галле, Геттингене, Лейпциге.

Как мы уже говорили, магнитный поток Ф через поверхность S – одна из характеристик магнитного поля (рис. 2.2.4):

dФB = BdScos(dnr,B) ; Ф = ∫BndS.

S

Рис. 2.2.4

Единица измерения магнитного потока в СИ:

[ФВ] =[B] [S] = Тл м2 = Вб; 1 Тл=1 мВб2 .

Напряженность магнитного поля Н измеряется в A м−1 .

2.2.5. Сила Лоренца

Электрический ток – это совокупность большого числа n дви-

жущихся со скоростью υ зарядов. Найдем силу, действующую на один заряд со стороны магнитного поля. По закону Ампера сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,

Сила Лоренца – сила, действующая со стороны магнитногоr поля на движущийся со скоростью υ положительный заряд (здесь υ – скорость упорядоченного движения носителей положительного заряда).

131

r

Из (2.2.11) видно, что на заряд, движущийся вдоль линии B, не действует сила (sin 0 = 0 ).

Направлена силаrЛоренца перпендикулярно к плоскости, в которой

лежат векторы υ и B. К движущемуся положительному заряду приме-

нимо правило левой руки, или «правило буравчика» (рис. 2.2.5).

Рис.2.2.5

Направление действия силы для отрицательного заряда – противо-

положно, следовательно, к электронам применимо правило правой руки. Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно движущемуся заряду, т.е. перпендикулярно υ, работа этой силы всегда равна нулю.

Следовательно, действуя на заряженную частицу, сила Лоренца не может изменить кинетическую энергию частицы.

Часто лоренцевой силой называют сумму электрических и магнитных сил:

здесь электрическая сила qE ускоряет частицу, изменяет ее энергию.

Контрольные вопросы. Упражнения

1.Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных одинаковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.

2.Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте им определения.

3.Определите числовое значение магнитной постоянной.

4.Почему движущийся заряд но своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?

5.Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический заряд, движущийся в магнитном поле?

132

6. Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обосновать.

7. . Проводник массой 10 г и длиной 20 см подвешен в горизонтальном положении в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. На какой угол (в градусах) от вертикали отклонятся нити, на которых подвешен проводник, если по нему пропустить ток силой 2 А? Массой нитей пренебречь.

8. . Проводник длиной 110 см согнули под углом 60o так, что одна из сторон угла равна 30 см, и поместили в однородное магнитное поле с индукцией 2 мТл обеими сторонами перпендикулярно линиям индукции. Какая сила (в мН) будет действовать на этот проводник, если по нему пропустить ток силой 10 A?

9. . Прямоугольный контур площадью 150 см2 с током силой 4 A, на который действует только однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, занял положение устойчивого равновесия. Какую после этого надо совершить работу (в мДж), чтобы медленно повернуть его на 90° вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон?

10. . Прямой проводник длиной 20 см и массой 50 г подвешен горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен горизонтально и перпендикулярно к проводнику. Какой ток надо пропустить через проводник, чтобы одна из нитей разорвалась? Индукция поля 50 мТл. Каждая нить разрывается при нагрузке 0,4 Н

11. . Максимальный момент сил, действующих на прямоугольную рамку с током силой 50 A в однородном магнитном поле, равен 1 Н•м. Какова индукция поля, если ширина рамки 0,1 м, а длина 0,2 м?

12. . Проволочная квадратная рамка массой 10 г со стороной 10 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. Рамка находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. При какой минимальной силе тока в рамке она будет неподвижна и наклонена к горизонту под углом 45°?

133

2.3.Циркуляция вектора магнитной индукции

2.3.1.Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Связь между током и магнитным полем, образованным этим током, устанавливает эмпирический закон Био – Савара – Лапласа. Еще одной из форм связи является теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Возьмем контур l (рис. 2.3.1), охватывающий прямой ток I, и вычис- r r

лим для него циркуляцию вектора магнитной индукции B, т.е. ∫Bldl .

Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярноr потоку (ток I направлен за чертеж). В каждой точке кон-

тура вектор B направленr по касательной к окружности, проходящей через эту точку (линии B прямого тока – окружности).

Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.

Bldl = BdlB , где dlB – проекция dl на вектор B, но dlB = Rdα, где R – расстояние от прямой тока I до dl;

Bldl = BdlB = 2μπ0RI Rdα = μ02Iπdα ,

отсюда

– это теорема о циркуляции вектора B: циркуляция вектора магнит-

ной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную.

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 2.3.2).

134

При обходе радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (1-2), а потом в другом (2-1). Поэтому ∫dα = 0 и, следовательно,

Рис. 2.3.3

Итак, циркуляция вектора магнитной индукции B отлична от нуля, если контур охватывает ток (сравните с циркуляцией вектора E :

∫Eldl = 0).

Такие поля называются вихревыми, или соленоидальными.

Магнитному полю нельзя приписывать потенциал, как электрическому полю. Этот потенциал не был бы однозначным: после каждого обхода по контуру он получал бы приращение μ0I .

Линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядахr . А магнитных зарядов в природе нет. Опыт показыва-

ет, что линии B всегдаr замкнуты. Поэтому теорема Гаусса для вектора магнитной индукции B записывается так:

∫BdS = 0.

S

135

2.3.2. Магнитное поле соленоида

Соленоид является устройством, находящим широкое применение в электрических, электронных и радиоэлектронных цепях. Соленоид обладает рядом замечательных свойств: поле достаточно длинного соленоида сосредоточено практически внутри соленоида и является однородным. Соленоид способен концентрировать энергию магнитного поля.

Применим теорему о циркуляции вектора B (∫Bdl = μμ0∑Ii ) для

вычисления простейшего магнитного поля – бесконечно длинного соленоида, представляющего собой тонкий провод, намотанный плотно (виток к витку) на цилиндрический каркас (рис. 2.3.4).

Рис. 2.3.4

Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круго-

вых токов с общей прямой осью.

Бесконечно длинный соленоид симметричен любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.3.5), симметричные

относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор B перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции име-

ют направление, параллельное оси соленоида внутри и вне его.

Рис. 2.3.5

Из параллельности вектора B оси соленоида вытекает, что поле,

как внутри, так и вне соленоида, должно быть однородным.

Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1-2-3-4-1 и разместим его в соленоиде, как показано на рис. 2.3.6.

136

Если же катушка короткая, что обычно и бывает на практике, то

магнитная индукция в любой точке А, лежащей на оси соленоида, направлена вдоль оси (по правилу буравчика) и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в точке А всеми витками. В этом случае имеем:

• в точке, лежащей на середине оси соленоида, магнитное поле будет максимальным:

где L – длина соленоида; R – радиус витков;

• в произвольной точке конечного соленоида (рис. 2.3.7) магнитную индукцию можно найти по формуле

Рис. 2.3.7

На рис. 2.3.8 изображены силовые линии магнитного поля Bдля некоторых случаев:

а) для намагниченного металлического стержня; б) для соленоида;

в) для железных опилок, рассыпанных на листе бумаги, над магни-

том.

Рис. 2.3.8

138

2.3.3. Магнитное поле тороида

Тороид представляет собой тонкий провод, плотно (виток к витку) намотанный на каркас в форме тора (рис. 2.3.9).

Рис. 2.3.9

Возьмём контур L в виде окружности радиуса r, центр которого совпадает с центром тора радиуса R.

В силу симметрии вектор B в каждом токе направлен по касательной к контуру.

Следовательно,

Контур вне тороида токов не охватывает, поэтому B = 0.

Для тороида, где радиус тора намного больше радиуса витка, отношение R / r ≈1, тогда магнитное поле В можно рассчитать по форму-

ле (2.3.3):

B= μμ0nI.

Второиде магнитное поле однородно только по величине, т.е. по

модулю, но направление его в каждой точке различно.

2.3.4.Работа по перемещению проводника с током

вмагнитном поле

Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длиной l (рис. 2.3.10).

139

Этот контур находится во внешнем однородном магнитном поле B, перпендикулярном к плоскости контура. При показанном на рисунке

направлении тока I вектор B сонаправлен с n .

Рис. 2.3.10

На элемент тока I (подвижный провод) длиной l действует сила Ампера, направленная вправо:

F = IlB.

Пусть проводник l переместится параллельно самому себе на расстояние dx. При этом совершится работа

Работа, совершаемая проводником с током при перемещении, чис-

ленно равна произведению тока на магнитный поток, пересечённый этим проводником.

Формула остаётся справедливой, если проводник любой формы движется под любым углом к линиям вектора магнитной индукции.

Выведем выражение для работы по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле.

Рассмотрим прямоугольный контур с током 1-2-3-4-1 (рис. 2.3.11). Магнитное поле направлено от нас перпендикулярно плоскости контура. Магнитный поток Ф1, пронизывающий контур, направлен по нор-

мали nr к контуру, поэтому Ф1 > 0.

Переместим этот контур параллельно самому себе в новое положение 1'-2'-3'-4'-1'. Магнитное поле в общем случае может быть неоднородным, и новый контур будет пронизан магнитным потоком Ф2 .

Площадка 4-3-2'-1'-4, расположенная между старым и новым контуром, пронизывается потоком Ф'.

140