Rogozin-fiz2

Условились за направление B принимать направление северного конца магнитной стрелки. Силовые линии выходят из северного полюса, а входят соответственно в южный полюс магнита (рис. 2.1.2, а).

Для графического изображения полей удобно пользоваться сило-

выми линиями (линиями магнитной индукции). Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым в каждой точ-

ке совпадают с направлением вектора B в этой точке.

Магнитные силовые линии всегда замкнуты – вихревое поле

(рис.2.1.2, б).

Рис. 2.1.2

2.1.2.3акон Био – Савара – Лапласа

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока:

B = ∑Bi.

Элемент тока длины dl (рис. 2.1.3) создает поле с магнитной индукцией:

Это и есть закон Био – Савара – Лапласа, полученный экспериментально.

Здесь I – ток; dl – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, куда течет ток; r – радиус-вектор,

проведенный от элемента тока в точку, в которой мы определяем dB ; r – модуль радиус-вектора; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц. r

Как видно из рисунка, вектор магнитной индукции dB направлен

перпендикулярно плоскости, проходящей через dl и точку, в которой вычисляется поле.

121

где n – число носителей заряда в единице объема; υ – дрейфовая скорость зарядов.

Обозначим dN = Sdln – число носителей заряда в отрезке drl . Раз-

делив (2.1.8) на это число, получим выражение для индукции магнит-

ного поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со скоростью υ:

Вскалярной форме индукция магнитного поля одного заряда

ввакууме определяется по формуле

υ<< c .

2.1.4. Напряженность магнитного поля

Силовой характеристикойr магнитного поля служит вектор магнитной индукции B поля, созданного одним зарядом в вакууме:

Br = μ0 q[υ, r].

4π r3

Еще одной характеристикой магнитного поля является напряжен-

ность.

Напряженностью магнитного поля называют векторную вели-

чину H , характеризующую магнитное поле и определяемую для вакуума следующим образом:

Это выражение показывает закон Био – Савара – Лапласа для H.

Напряженность магнитного поля H является как бы аналогом вектора электрического смещения D в электростатике.

123

2.1.5. Магнитное поле прямого тока

Применим закон Био – Савара – Лапласа для расчета магнитных полей простейших токов.

Рассмотрим магнитное поле прямого тока (рис. 2.1.4).

ют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей.

Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на

124

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему концентрических окружностей, охватывающих ток (рис. 2.1.3).

Аналогичным образом можно вычислить магнитное поле кругового тока.

2.1.6. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

В природеr нет магнитных зарядов. Это приводит к тому, что линии

вектора B не имеют ни начала, ни конца. Мы знаем, что поток любого вектора через поверхность равен разности числа линий, начинающихся у поверхности, и числа линий, оканчивающихся внутри поверхности:

Ф = Nнач − Nоканч.

В соответствии rс вышеизложенным можно сделать заключение,

что поток вектора B через замкнутую поверхность должен быть равен нулю.

Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие

S

Это теорема Гаусса для ФВ (в интегральной форме): поток век-

тора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Этот результат является математическим выражением того, что

в природе нет магнитных зарядов – источников магнитного поля, на которых начинались и заканчивались бы линии магнитной индукции.

Заменив поверхностный интеграл в (2.1.15) объемным, получим

где = ∂∂x + ∂∂y + ∂∂z .

Это условие должно выполняться для любого произвольного объема V, а это, в свою очередь, возможно, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обла-

В этом его отличие от электростатического поля, которое является потенциальным и может быть выражено скалярным потенциалом φ,

магнитное поле – вихревое, или соленоидальное.

125

Контрольные вопросы. Упражнения

1. Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников постоянного тока?

2. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током? 3. Чтоrназывают индукцией магнитного поля? Каково направление

вектора B? Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока?

4.Записав закон Био-Савара-Лапласа, объясните его физический смысл.

5.Рассчитайте, применяя закон Био-Савара-Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока; 2) в центре кругового проводника с током. r

6.Какойвыводможносделать, сравниваяциркуляциювекторов E и B?

7.Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулируется?

8.Почему магнитное поле является вихревым?

9.Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции B, рассчитайте магнитное поле тороида.

10.Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.

11.Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.

12.В магнитном поле с индукцией B поместили две параллельные металлические пластины, расстояние между которыми равно d. Поток электронов со скоростью v между пластинами движется прямолинейно параллельно плоскости пластин. Какова разность потенциалов между пластинами?

13.Какими магнитными свойствами может обладать вещество из атомов с нечетным числом электронов в оболочке в газообразном состоянии?

14.Рамка гальвонометра площадью 6 см 2, содержащая 200 витков тонкой проволоки, находятся в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Если по виткам рамки протекает ток силой 100 мА, то максимальный вращающий момент, действующий на рамку, равен:

15.Проводник массой 10 г и длиной 20 см подвешен в горизонтальном положении в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. На какой угол (в градусах) от вертикали отклонятся нити, на которых подвешен проводник, если по нему пропустить ток силой 2 А? Массой нитей пренебречь.

126

2.2.Силы, действующие на движущиеся заряды

вмагнитном поле

2.2.1.Закон Ампера

Всовременной записи в СИ закон Ампера выражается формулой

Если магнитное поле однородно и проводник перпендикулярен силовым линиям магнитного поля, то

где I = qnυS – ток через проводник сечением S. r

Направление силы F определяется направлением векторного произведения, или правилом левой руки: ориентируем пальцы по направле-

нию первого вектора, второй вектор должен входить в ладонь и большой палец показывает направление векторного произведения.

Закон Ампера – это первое открытие фундаментальных сил, зависящих от скоростей.

Из закона Ампера хорошо виден физический смысл магнитной ин-

дукции. В – величина, численно равная силе, с которой магнитное поле действует на проводник единичной длины, по которому течет единичный ток:

B = FIl .

Размерность индукции [B]= АНм.

2.2.2. Взаимодействие двух параллельных проводников с током

Пусть b – расстояние между двумя параллельными, бесконечно длинными проводниками (рис. 2.2.1). Задачу следует решать так: один из проводников с током I2 создаёт магнитное поле, второй проводник

с током I1 находится в этом поле.

127

где плечо h = bsin α. Так как lb = S – площадь рамки, тогда можно записать:

где M – вращающий момент силы; Pm – магнитный момент.

Рис. 2.2.2

Подr действием этого вращающего момента рамка повернётся так,

что nr || B (рис. 2.2.3).

На стороны длиной b тоже действует сила Ампера F2 , растягивая

рамку. Так как силы равны по величине и противоположны по направлению, рамка не смещается, в этом случае M = 0 – состояние устойчи-

вого равновесия.

Рис. 2.2.3

Когда nr и B антипараллельны, то снова M = 0 (т.к. плечо равно нулю). Это состояние неустойчивого равновесия. Рамка сжимается

129

и, если чуть сместится, сразу возникает вращающий моментr , возвращающий рамку в состояние устойчивого равновесия: nr || B.

В неоднородном поле рамка повернется и будет вытягиваться в область более сильного поля.

2.2.4. Единицы измерения магнитных величин

Закон Ампера используется для установления единицы силы тока – ампер.

Ампер – сила тока, неизменного по величине, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным на расстоянии один метр один от другого в вакууме, вызывает между этими проводниками силу в 2 10−7 H/м:

dF = μ0 2I1I2 . dl 4π b

Здесь dl =1 м; b =1 м; I1 = I2 =1 А; ddFl = 2 10−7 Нм.

Определим отсюда размерность и величину μ0 в СИ: 2 10−7 Нм = μ4π0 2А2 ,

следовательно, μ0 = 4π 10−7 АН2 , или μ0 = 4π 10−7 Гнм .

Из закона Био – Савара – Лапласа для прямолинейного проводника с током B = 4μπ0bI тоже можно найти размерность индукции магнитного

поля:

[B] = АН2 Ам = АНм =1 Тл.

Тесла – единица измерения индукции в СИ.

1 Тл равен магнитной индукции однородного магнитного поля, в котором на плоский контур с током, имеющим магнитный момент 1 А м2 , действует вращающий момент 1 Н м.

Другое определение: 1 Тл равен магнитной индукции, при которой магнитный поток сквозь площадку 1 м2, перпендикулярную направлению поля, равен 1 Вб.

130