ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Если цепь носит индуктивный характер ( BL > BC ), то B>0, φ>0 и комплексная проводимость Y = Ye− jϕ = G − jB ; если же цепь носит емкостной характер ( BL < BC ), то B<0, φ<0 и Y = Ye jϕ = G + jB .

Рис.2.26. Треугольники проводимостей в комплексной плоскости для случаев В>0 и B<0

Следовательно, комплексное действующее значение общего тока равно сумме этих составляющих:

а действующие значения общего, активного и реактивного токов в соответствии с законом Ома равны:

I =UY, Ia =UG, I p =UB.

Треугольники проводимостей и векторные диаграммы для индуктивного (φ>0, B>0) и емкостного (φ<0, B<0) характера цепи приведены соответственно на рис.2.26, 2.27 (для ψu = 0 ).

80

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.28. Векторные диаграммы для параллельного соединения R, L, C при

B>0 (a) и при B<0 (б)

Из диаграммы видно, что действующее значение общего тока равно:

2.18. Преобразование последовательного соединения активного и реактивного элементов в эквивалентное параллельное

При анализе и расчете электрических цепей может оказаться целесообразной замена последовательного соединения активного и реактивного элементов эквивалентным параллельным соединением. Для этого необходимо определить соотношения между параметрами этих цепей.

Предположим, что задана цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов (рис.2.28,а). Векторная диаграмма

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Таким образом, можно заменить последовательное соединение элементов с сопротивлениями R и XL эквивалентным параллельным

При переходе от параллельного соединения с активной и реактивной проводимостями к эквивалентному последовательному соединению элементов с активным и реактивным сопротивлениями (от рис.2.28,б к рис.2.28,а) следует пользоваться следующими выражениями, полученными из формулы (2.85):

где Y = G2 + BL2 – полная проводимость цепи.

Соотношения G = 1R , B = 1 X справедливы только в случае, когда элементы R, L или C рассматриваются в отдельности.

2.19. Комплексный (символический) метод анализа и расчета цепей синусоидального тока

При представлении синусоидальных величин комплексными значениями (комплексными действующими или комплексными амплитудными значениями) законы Ома для резистивных, индуктивных и емкостных элементов, первый и второй законы Кирхгофа записываются в виде алгебраических, а не дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений. Следовательно, все расчетные методы, методы преобразования схем, рассмотренные в цепях постоянного тока, применимы для цепей синусоидального тока, но уравнения должны быть записаны в комплексной форме.

83

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Метод называют также символическим потому, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС заменяют их комплексными изображениями или символами.

При расчете цепей синусоидального тока комплексным методом можно выделить следующие этапы:

1)синусоидальные ЭДС (напряжения) и (или) токи источников энергии, заданные мгновенными значениями (в тригонометрической форме), нужно представить комплексными значениями (обычно комплексными действующими значениями);

2)определить комплексные сопротивления (проводимости) для индуктивных и емкостных элементов;

3)составить комплексную схему цепи с учетом комплексных источников энергии и комплексных сопротивлений (проводимостей);

4)выбрать направления комплексных токов во всех ветвях схемы, указав их стрелками (направления напряжений на пассивных элементах совпадают с направлениями токов);

соответствующий расчетный метод (расчет по законам Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного генератора) и составить систему соответствующих уравнений в комплексной форме;

6)решить полученную систему уравнений, т.е. определить комплексные значения токов и необходимых напряжений;

7)по найденным значениям комплексных токов и напряжений определить их действующие и мгновенные значения (при необходимости).

Целесообразно расчет схем сопровождать построением векторных диаграмм токов и напряжений, которые являются графической иллюстрацией законов Кирхгофа в комплексной форме.

При последовательном соединении приемников с комплексными

емкостные сопротивления имеют разные знаки.

Пример 1

Для схемы (рис.2.30) определить эквивалентное сопротивление и ток.

84

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.30. Последовательное соединение элементов в цепи синусоидального тока

Эквивалентное сопротивление цепи равно:

Напряжения на соответствующих элементах схемы (рис.2.30) определяются по закону Ома в комплексной форме.

При последовательном соединении индуктивностей (емкостей) эквивалентная индуктивность в цепи возрастает, а эквивалентная емкость уменьшается:

Пример 2

Определить эквивалентную проводимость цепи для схемы (рис.2.31).

Рис.2.31. Схема с параллельным соединением проводимостей

Эквивалентная проводимость равна

85

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Y Э = G1 +G2 − jBL1 + jBC 2 = G1 +G2 − j(BL1 − BC 2 ) = G − jB,

где G=G1+G2, B=BL1-BC2.

При параллельном соединении индуктивных проводимостей BL1 и BL2 эквивалентная индуктивная проводимость цепи возрастает:

ω1LЭ = ω1L1 + ω1L2 ,

следовательно, при параллельном соединении индуктивностей эквивалентная индуктивность цепи уменьшается:

При параллельном соединении емкостных проводимостей BС1 и BС2 эквивалентная емкостная проводимость цепи возрастает:

ωCЭ =ωC1 +ωC2 ,

следовательно, при параллельном соединении емкостей С1 и С2 эквивалентная емкость увеличивается:

CЭ = C1 +C2 .

В случае двух параллельных ветвей с комплексными сопротивлениями Z1 и Z 2 (рис.2.32) эквивалентное комплексное сопротивление цепи равно

Z Э = Z1Z2 (Z1 + Z2 ).

Рис.2.32. Схема с параллельным соединением комплексных сопротивлений

86

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Общий ток цепи равен

а токи в параллельных ветвях определяются следующими выражениями:

Пример 3

Впоследовательно-параллельной схеме заданы синусоидальное

напряжение на входе u =Um sin(ωt +ψu ) , активные и реактивные сопротивления (рис.2.33). Требуется определить токи в ветвях.

Рис.2.33. Последовательно-параллельная схема

Определим комплексное действующее напряжение, являющееся изображением синусоидального напряжения:

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Токи в ветвях:

Токи в ветвях можно определить другим способом, рассчитав предварительно напряжение на параллельных ветвях:

Пример 4

Для схемы (рис.2.34) записать уравнения, необходимые для расчета токов в ветвях разными методами.

Рис.2.34. Схема с несколькими источниками энергии

Расчет токов по законам Кирхгофа

Определим число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

n −1 = 2 −1 =1; m −n +1 = 3 −2 +1 = 2.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла и уравнение по второму закону Кирхгофа для контуров, направления обхода которых показаны стрелками:

88

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Из системы уравнений определяются комплексные действующие токи:

При необходимости можно определить мгновенные значения токов в ветвях:

i1 = 2I1 sin(ωt +ψi1 ); i2 = 2I2 sin(ωt +ψi2 ); i3 = 2I3 sin(ωt +ψi3 ).

Для проверки правильности расчета токов необходимо составить баланс активных и реактивных мощностей:

Расчет токов методом контурных токов

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов