ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.1.8. Ветвь ав для расчета тока

1.4. Законы Кирхгофа

Режим работы электрической цепи определяется первым и вторым законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

В этом уравнении токи, входящие в узел, записываются со знаком плюс, а выходящие из узла – со знаком минус. Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника должен быть учтен по указанному выше правилу. Следовательно, в любом узле сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни расходоваться. Сумма электрических зарядов, входящих в узел, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Рис.1.9. Пример участка цепи для записи первого закона Кирхгофа

10

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Для схемы (рис.1.9) первый закон Кирхгофа записывается следующим образом:

I1 − I2 − I3 + I4 + J1 − J2 = 0 .

Так как токи источников тока обычно заданы, то их целесообразно записывать в правой части уравнения:

I1 − I 2 − I3 + I 4 = J 2 − J1 .

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам и может быть сформулирован следующим образом: алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях контура и алгебраической сумме напряжений в контуре в виде разности потенциалов:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для падений напряжений RI, напряжений U, ЭДС Е, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура. В противном случае соответствующая величина записывается со знаком минус. Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии.

Рис.1.10. Пример участка цепи для записи второго закона Кирхгофа

Для контура авсdа (рис.1.10) второй закон Кирхгофа записывается следующим образом:

R1I1 − R2 I2 + R3I3 − R4 I4 = E1 − E2 + E3 .

11

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Если нужно определить, например, напряжение между точками а,с, то направление напряжения Uас, равного разности потенциалов между этими точками, задается произвольно. Выбирается контур, в который входит напряжение Uас. Это может быть контур авса или асda. Если выбрать направление обхода контура авса по часовой стрелке, то второй закон Кирхгофа для этого контура будет иметь вид:

R1I1 − R2 I2 −Uас = Е1 − Е2 .

Можно считать, что фиктивная ветвь ас имеет бесконечно большое сопротивление. Таким образом, искомое напряжение равно:

Uас = R1I1 − R2 I2 − E1 + E2 .

Если напряжение Uас получится положительным, то это означает, что его направление выбрано правильно, т.е. потенциал точки а выше потенциала точки с. Если же Uас получится отрицательным, то его действительное направление противоположно выбранному.

1.5. Баланс мощностей

Баланс мощностей в электрической цепи является следствием закона сохранения энергии. Для цепи постоянного тока он формулируется следующим образом: алгебраическая сумма мощностей источников энергии равна арифметической сумме мощностей, расходуемых в сопротивлениях.

Если схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, то уравнение баланса имеет вид:

Мощность источника ЭДС (EI) положительна при совпадении направлений ЭДС Е и тока I, проходящего через источник, и отрицательна при встречных направлениях ЭДС и тока. В первом случае источник Е является генератором, а во втором случае – потребителем.

Мощность источника тока (UJ) положительна, если напряжение U на зажимах источника тока и ток J источника тока противоположны по направлению, в противном случае мощность источника тока отрицательна. При этом напряжение U и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока источника тока.

Баланс мощностей можно использовать для проверки правильности расчета токов в ветвях электрической схемы. В качестве примера для схемы рис.1.11 записано уравнение баланса мощностей:

12

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

UJ − I 2 E = R1 I12 + R2 I 22 ,

где U = R1I1 .

Рис.1.11. Схема с источниками ЭДС и тока

1.6. Преобразование схем электрических цепей

Расчет сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно упростить путем эквивалентного преобразования электрических схем одного вида в схемы другого вида. При такой замене токи и напряжения на участках схемы, которые не подвергались преобразованию, должны оставаться неизмененными. Преобразование электрической схемы приводит к уменьшению числа ветвей или узлов, а следовательно, и числа уравнений для ее расчета.

При последовательном соединении сопротивлений через них протекает один и тот же ток (рис.1.12).

Рис.1.12. Последовательное соединение резистивных элементов

Эквивалентное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений последовательно включенных резистивных элементов:

13

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

При параллельном соединении сопротивлений они должны быть присоединены к одной паре узлов (рис.1.13).

Рис.1.13. Параллельное соединение резистивных элементов

Расчет удобно провести через проводимости ветвей:

где RЭ – эквивалентное сопротивление цепи,

G1, G2, G3 – проводимости ветвей,

GЭ – эквивалентная проводимость цепи.

Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений эквивалентная проводимость равна:

Общий ток в схеме

I =UGЭ = U .

RЭ

Ток, в к-той параллельной ветви с проводимостью GK равен:

14

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.1.14. Последовательно-параллельное соединение резистивных элементов

В частном случае для двух параллельных ветвей (рис.1.14) ток в одной из параллельных ветвей можно рассчитать по формуле:

где R2 R3 /(R2 + R3 ) – эквивалентное сопротивление параллельного

соединения R2 и R3.

Смешанное соединение – это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, для схемы рис.1.14 эквивалентное сопротивление цепи равно:

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис.1.15,а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис.1.15,б) имеют вид:

15

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.1.15. Соединение резистивных элементов треугольником (а) и звездой (б)

При преобразовании звезды в эквивалентный треугольник:

На рис.1.16 приведен пример упрощения схемы рис.1.16,а путем преобразования треугольника в эквивалентную звезду. Упрощенная схема (рис.1.16,б) содержит только три ветви и два узла. После такой замены токи I1, I2, I3 в ветвях, не затронутых преобразованием, и напряжения U12, U23, U31 соответственно между точками 1,2,3 должны быть такими же, как и в исходной схеме.

Для расчета токов I1, I2, I3 в схеме рис.1.16,б удобно применить метод двух узлов (см. пример расчета схемы рис.1.20), приняв потенциал точки 4 за нуль. Сначала рассчитывается потенциал φ0 в точке 0 по формуле:

а затем по закону Ома определяются токи I1, I2, I3 в ветвях.

После этого необходимо перейти к исходной схеме (рис.1.16,а) и рассчитать оставшиеся токи I4, I5, I6.

Запишем второй закон Кирхгофа для контуров с напряжениями U12 и U23 и определим эти напряжения:

16

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Токи в ветвях:

Если в схеме имеются несколько параллельно включенных источников ЭДС с внутренними проводимостями GK, то их можно заменить эквивалентным источником ЭДС, параметры которого определяются следующим образом:

При расчете в последней формуле следует учесть полярность (направление) составляющих источников ЭДС.

Рис.1.16. Упрощение схемы с помощью преобразования треугольника (а)

вэквивалентную звезду (б)

1.7.Расчет цепей по законам Кирхгофа

Предположим, в схеме известны все источники ЭДС, источники тока и все сопротивления. Расчет сводится к определению токов в ветвях.

Пусть схема имеет т ветвей, п узлов и q источников тока. В этом случае число неизвестных токов равно m-q.

Для каждой ветви произвольно задаются направлением тока.

17

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Число взаимонезависимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно:

Количество взаимонезависимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равно:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источник тока. Контур называется независимым, если в него входит хотя бы одна новая ветвь, не входящая в другие контуры, для которых уже записаны уравнения второго закона Кирхгофа.

Общее число уравнений, составленных по законам Кирхгофа, равно числу (m-q) неизвестных токов.

В качестве примера приведен расчет токов для схемы рис.1.17.

Рис.1.17. Схема разветвлений электрической цепи

Выберем произвольно и обозначим стрелками направления токов в ветвях. Число уравнений по первому закону Кирхгофа n −1 = 3 −1 = 2 . Запишем систему уравнений для узлов а и в:

I1 − I2 + I3 + I5 = 0, − I1 − I3 − I4 = 0.

Выберем и обозначим стрелками направления обхода независимых контуров, для которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Число уравнений m − n +1 − q = 5 −3 +1 −0 = 3 , столько же должно быть независимых контуров I, II, III. Уравнения для контуров I, II, III имеют вид:

18

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

(R1 + RВТ1 )I1 −(R3 + RВТ3 )I3 = E1 + E3 ; (R3 + RВТ3 )I3 − R4 I4 −R5 I5 = −E3 ;

(R2 + RВТ2 )I2 + R5 I5 = E2 .

Решая полученную систему уравнений, находим токи в ветвях. Если в результате расчета какой-либо ток получится отрицательным, то это означает, что действительное направление этого тока противоположно принятому.

Пусть в данном примере I4<0, в этом случае действительное направление тока показано на схеме штриховой стрелкой.

Для проверки правильности расчета токов в ветвях составляется баланс мощностей.

Уравнение баланса мощностей:

E1 I1 + E2 I2 − E3 I3 = (R1 + RВТ1 )I12 + (R2 + RВТ2 )I22 + (R3 + RВТ3 )I32 + R4 I42 + R5 I52 .

1.8. Метод контурных токов

Метод позволяет уменьшить количество уравнений для расчета токов в ветвях, так как он основан только на втором законе Кирхгофа. Контурным током называется ток, протекающий по ветвям независимого контура. Удобно контурному току придать направление, совпадающее с направлением обхода контура. Для контурных токов составляются уравнения по второму закону Кирхгофа и определяются контурные токи.

Если в ветви протекает только один контурный ток, то ток ветви равен этому контурному току. Если в ветви протекают несколько контурных токов, то ток ветви равен алгебраической сумме этих контурных токов.

Общее число независимых контурных токов соответствует числу уравнений, которое необходимо составить для схемы по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

m − n +1 − q .

Если в схеме имеются источники тока, то целесообразно выбрать ток соответствующего источника тока в качестве известного контурного. Тогда число независимых контурных токов уменьшается на число q заданных токов источников тока.

Ниже приведен пример расчета токов в ветвях для схемы (рис.1.18). Количество уравнений, которое необходимо составить по методу

контурных токов:

m − n +1 − q = 6 − 4 +1 −1 = 2 .

Зададимся направлениями контурных токов I11, I22, как показано на рис.1.18. Там же показано направление известного контурного тока источника тока J.

19