ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.1.27. Схема для расчета токов по законам Кирхгофа

Произвольно задаемся направлениями токов в ветвях. Записываем уравнения по 1-му закону Кирхгофа:

I6 − I1 − I3 = 0; I1 −I2 − J2 = 0; I3 + I4 − I5 = 0; I5 + I7 −I6 = 0.

Выбираем три независимых контура, исключая ветвь с источником тока, и задаемся направлением их обхода. Записываем уравнения по 2-му закону Кирхгофа:

Для определения токов необходимо решить систему уравнений:

Решение этих уравнений дает следующие значения токов:

I1=0,5 A; I2=-0,2 A; I3=0,5 A; I4=0,25 A; I5=0,75 A; I6=1,0 A; I7=0,25 A.

Для проверки правильности расчета токов в ветвях составляется уравнение баланса мощностей:

E1 I1 +E2 I 2 +E6 I6 +E7 I7 +U 2 J 2 = R1 I12 +R2 I 22 +R3 I32 +R4 I 42 +R5 I52 +R6 I62 +R7 I72 ,

30

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

где U2 = E2 − R2 I2 =1 −(−5 0,2) = 2 В.

Подставляя числовые значения, получим:

4·0,5-1·0,2+5·1+2·0,25+2·0,7=12·0,52+5·0,22+2·0,52+ +4·0,252+4·0,752+1·12+24·0,252; 8,7 Вт=8,7 Вт.

1.13.3. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Задача 1

В схеме (рис.1.28) определить токи методом контурных токов.

Дано: R1=20 Ом; R2=30 Ом; R3=40 Ом; R4=80 Ом; R5=20 Ом; R6=20 Ом; E=16 B; J=0,3 A.

Рис. 1.28. Схема для расчета токов в ветвях методом контурных токов

Определяем число уравнений, которое необходимо составить для контурных токов по второму закону Кирхгофа:

m −n +1−q = 7 −4 +1−1 = 3.

В данной схеме идеальный источник тока нельзя преобразовать в эквивалентный источник ЭДС. Целесообразно в качестве одного из контурных токов выбрать ток источника J. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Таким образом, так как один контурный ток J известен (q=1), то число независимых контуров, для

31

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

которых составляются уравнения по методу контурных токов, равно трем (ветвь с источником тока входит в контур, в котором контурный ток

I44=J=0,3 А).

Произвольно задаемся направлением контурных токов I11, I22, I33. Запишем уравнения второго закона Кирхгофа для контурных токов:

(R1 + R6 + R4 )I11 − R6 I 22 − R4 I33 = R4 J ,

Для решения системы алгебраических уравнений воспользуемся методом Крамера.

После подстановки исходных данных уравнения имеют следующий

вид:

120I11 − 20I22 −80I33 = 24,

−20I11 +70I22 −20I33 = 6,

−80I11 − 20I22 +140I33 = −14.

Находим определитель системы уравнений. Запишем первый и второй столбцы после определителя и рассчитаем его (при умножении следует учитывать знаки чисел):

Можно было непосредственно к исходному определителю применить правило треугольников или разложить его по элементам строки или столбца.

Для определения контурных токов необходимо рассчитать

замены коэффициентов соответствующего столбца при контурных токах свободными членами:

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

I4=I33+J-I11=0,1+0,3-0,3=0,1 A; I5=I33+J-I22=0,1+0,3-0,2=0,2 A; I6=I11-I22=0,3-

0,2=0,1 A.

Задача 2

Определить методом узловых потенциалов токи в схеме рис.1.29, если

R1=R2=R3=10 Ом; R4=5 Ом; R5=10 Ом; R6=2 Ом; R7=1 Ом; R8=5 Ом; J=2 A; E1=200 B; E3=30 B; E4=80 B; E6=38 B; E7=60 B.

В схеме четыре узла, поэтому количество уравнений, которое необходимо составить по 1-му закону Кирхгофа методом узловых потенциалов равно:

n −1 = 4 −1 = 3 .

Принимаем потенциал ϕ4 = 0 , запишем систему уравнений для узлов

1,2,3:

ϕ1 (G1 +G4 +G7 ) −ϕ2G1 −ϕ3G4 = E4G4 − E1G1 + E7G7 + J;

ϕ2 (G1 +G3 +G5 +G8 ) −ϕ1G1 −ϕ3G5 = E1G1 − E3G3 − J;

ϕ3 (G4 +G5 +G6 ) −ϕ1G4 −ϕ2G5 = −E4G4 − E6G6 ,

где потенциалы узлов (1-4): ϕ1,ϕ2 ,ϕ3 ,ϕ4 ; проводимости ветвей:

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.1.29. Схема для расчета токов в ветвях методом узловых потенциалов Таким образом, система уравнений имеет вид:

1,25ϕ1 −0,05ϕ2 −0,2ϕ3 = 0,2 80 −0,05 200 + 2 +1 60 = 68;

−0,05ϕ1 +0,45ϕ2 −0,1ϕ3 = 0,05 200 −0,1 30 −2 =5;

−0,2ϕ1 −0,1ϕ2 +0,8ϕ3 = −0,2 80 −0,5 38 = −35.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме:

(ϕ)(A) = (B),

ϕ1

где (ϕ) = ϕ2 – столбцовая матрица неизвестных потенциалов в узлах,

ϕ3

потенциалах,

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Найдем определитель системы уравнений и матрицу, обратную матрице (А) : (А)-1.

Определитель системы уравнений:

Для получения обратной матрицы (А)-1 необходимо заменить в матрице (А) каждый элемент его алгебраическим дополнением, а затем у алгебраического дополнения поменять местами строки и столбцы. Полученную таким образом матрицу необходимо разделить на определитель .

Алгебраическое дополнение элемента рассчитывается по формуле:

Ai j = (−1)i+ j M i j ,

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

где (1) – единичная матрица, т.е. матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, а каждый элемент главной диагонали равен единице.

Умножение матрицы (φ) на единичную матрицу (1) не изменяет матрицу (φ). Таким образом, (φ)=(А)-1(В).

Следовательно,

Зададимся произвольно направлениями токов в ветвях и определим их по закону Ома:

I1 = (ϕ1 −ϕ2 + E1 )G1 = (50 −10 +200) 0,05 =12 А;

I5 =ϕ2G8 =10 0,2 = 2 А;

36

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

I 6 = (ϕ2 −ϕ3 )G5 = (10 +30) 0,1 = 4 А;

I 7 = (ϕ3 + E6 )G6 = (−30 +38) 0,5 = 4 А.

1.13.4. Метод наложения

Задача

Для схемы (рис.1.30) заданы параметры: Е1=25 В; J2=0,125 A; R1=100 Ом; R2=2000 Ом; R3=500 Ом. Определить токи в ветвях, применив метод наложения.

Рис.1.30. Схема для расчета токов в ветвях методом наложения

Исключим источник тока и определим составляющие токов от источника ЭДС (рис.1.31).

Рис.1.31. Схема после исключения источника тока

Токи в ветвях:

37

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

I3' = I1' − I2' = 0,05 −0,01 = 0,04 А.

Схема для расчета токов от источника тока J2 представлена на рис.1.32. При определении тока в одной из параллельных ветвей две других ветви с соответствующими сопротивлениями удобно заменить одной эквивалентной ветвью.

Составляющие токов от источника тока равны:

Искомые токи в ветвях исходной схемы:

I1 = I1'' −I1' = 0,1−0,05 = 0,05 А (ток I1 по направлению совпадает с I1'' );

I2 = I2' + I2'' = 0,01+0,005 = 0,015А;

I3 = I3' + I3'' = 0,04 +0,02 = 0,06 А.

Рис.1.32. Схема после исключения источника ЭДС

1.13.5. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Задача

В схеме (рис.1.33) определить ток I6 методом эквивалентного генератора, если R1=45 Ом; R2=30 Ом; R3=15 Ом; R4=36 Ом;

R5=18 Ом; R6=3 Ом; R7=5 Ом; E1=225 B; E4=180 B.

38

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.1.33. Схема для расчета тока методом эквивалентного генератора

Разомкнем ветвь с сопротивлением R6 и найдем напряжение UX (рис.1.34). Для этого определим необходимые токи:

Напряжение холостого хода:

U X − I3R3 − I5R5 = 0 (через R7 ток не течет),

U X = I3 R3 + I5 R5 =5 15 +10 18 = 255 В.

Рис.1.34. Схема для расчета напряжения холостого хода

Входное сопротивление пассивного двухполюсника между точками а,в при отключенном сопротивлении R6 (рис.1.35) равно:

39