ponomorenko
.pdfНАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Рис.1.18. Схема электрической цепи для расчета токов в ветвях методом контурных токов
Составим систему уравнений для первого и второго контуров:
I11 (R1 + R4 + R3 ) − I 22 R4 + JR3 = E1 ,
I 22 (R4 + R2 + R5 ) − I11 R4 + JR5 = −E2 .
Решая эти уравнения, найдем контурные токи I11, I22. Искомые токи в ветвях:
I1 = I11, I2 = I22 , I3 = I11 + J , I4 = I11 − I22 , I5 = I22 + J .
Для проверки правильности расчета токов можно составить баланс мощностей.
1.9. Метод узловых потенциалов
Метод основан на первом законе Кирхгофа, т.е. позволяет уменьшить количество расчетных уравнений до п -1.
При составлении уравнений по методу узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимают равным нулю. В этом случае токи в схеме не изменяются, так как никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи, не образуется. Для определения потенциалов оставшихся (п -1) узлов на основе первого закона Кирхгофа пользуются следующим правилом: потенциал рассматриваемого узла умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу; от этого слагаемого вычитаются произведения потенциалов соседних узлов на сумму проводимостей ветвей между рассматриваемым узлом и соответствующим соседним узлом; правая часть уравнения равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу;
20
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
произведение вида EG записывается с положительным знаком, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла. Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то токи источников тока учитываются также в правой части уравнения, причем с положительным знаком записываются токи источников тока, направленные к рассматриваемому узлу, с отрицательным – от узла.
Из полученной системы уравнений определяются потенциалы узлов. Затем произвольно задаются направлениями токов в ветвях и рассчитывают токи по закону Ома. Например, для узлов 1,2 и 3 схемы (рис.1.19) (при φ4 =0) получим соответственно следующие уравнения:
ϕ |
( |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
) −ϕ |
|
1 |
|
|
−ϕ |
|
1 |
|
|
= E |
1 |
|
|
+ J; |
|
|||||||||||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
1 R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
ϕ2 |
( |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
) −ϕ1 |
1 |
|
|
−ϕ3 |
1 |
|
|
= E2 |
1 |
|
|
; |
|
(1.18) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ϕ3 |
( |
1 |
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
) −ϕ2 |
|
|
1 |
−ϕ1 |
1 |
|
|
= E3 |
1 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
R3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R3 |
|
|
|
R4 |
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (1.18) определяются потенциалы φ1, φ2, φ3.
Рис.1.19. Схема электрической цепи для расчета токов методом узловых потенциалов
При выбранных направлениях токи в ветвях равны:
I1 = |
−ϕ1 + E1 |
; I2 |
= |
−ϕ2 + E2 |
; I3 |
= |
ϕ3 − E3 |
; I4 |
= |
ϕ1 −ϕ3 |
; |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R1 |
|
R2 |
|
|
R3 |
|
R4 |
|||||
|
|
I5 |
= |
ϕ1 −ϕ2 ; I6 = |
|
ϕ2 −ϕ3 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R5 |
|
|
R6 |
|
|
|
21
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Если в схеме имеется идеальный источник ЭДС и сопротивлений в этой ветви нет, то потенциал одного узла ветви принимается за нуль, тогда потенциал другого узла этой ветви будет определяться величиной ЭДС. Число уравнений для исходной схемы уменьшается.
Так, если в схеме (рис.1.19) сопротивление R2=0, то приняв φ4 =0, получим φ2 =Е2. Остается записать уравнения для узлов 1,3. Ток I2 в этом случае определяется по первому закону Кирхгофа.
Частным случаем метода узловых потенциалов является метод двух узлов, который удобно применять для схем, имеющих всего два узла (рис.1.20). Если принять потенциал точки в за нуль (φв=0), тогда потенциал точки а можно определить по общему правилу:
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
E E |
, откуда ϕa = |
E1 / R1 − E3 |
/ R3 |
= |
E1G1 − E3G3 |
|
||||||||
ϕa ( |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
) = |
1 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
G1 +G2 +G3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
R |
|
R |
|
R R |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
R |
+ |
R |
+ |
R |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||
где GК |
= |
|
1 |
|
– проводимость соответствующей ветви (к=1,2,3). |
|
||||||||||||||||||
RK |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.20. Схема с двумя узлами
В общем случае напряжение между двумя узлами может быть определено по следующей формуле:
Uав =ϕа = |
∑ЕКGK + |
∑J K |
, |
(1.19) |
∑GK |
|
|||
|
|
|
|
где – алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость ветви с соответствующей ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу а), ∑J K – алгебраическая сумма токов источников тока (с положительным знаком записывается ток источника, направленный к узлу а), ∑GK – арифметическая сумма проводимостей всех ветвей между двумя узлами.
22
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
1.10. Принцип и метод наложения
Для линейных электрических цепей справедлив принцип наложения, который формулируется следующим образом: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым источником энергии.
Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения.
Если в электрической цепи заданными являются ЭДС источников и токи источников тока, то расчет токов в ветвях состоит в следующем: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждого из источников энергии, мысленно удаляя остальные источники из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС или тока, то остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а источники тока – размыкаются.
Ток в каждой ветви определяется как алгебраическая сумма токов от всех источников энергии.
В качестве примера приведен расчет для схемы (рис.1.21,а).
а) |
б) |
в) |
Рис.1.21. Схема электрической цепи (а) для расчета токов в ветвях методом наложения (б,в)
Для схемы (рис.1.21,б) определим токи от источника ЭДС:
I ' |
= I ' |
= |
|
E1 |
, |
I ' |
= 0 |
(ток через R3). |
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
R1 |
+ R2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Для схемы (рис.1.21,в) определим токи от источника тока:
I1'' = I3'' |
|
R2 |
|
; |
I3'' = J; |
I2'' = J − I1'' . |
R |
+ R |
2 |
||||
1 |
|
|
|
|
Результирующие токи в ветвях схемы (рис.1.21,а) вычислим как алгебраическую сумму найденных токов:
23
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
I1 = I1'' −I1' ; |
I2 = I2'' + I2' ; |
I3 = I3'' = J . |
1.11. Метод эквивалентного генератора напряжения (активного двухполюсника)
Метод позволяет определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической схемы. Всю остальную схему относительно рассматриваемой ветви можно представить в виде активного двухполюсника (рис.1.22,а). Двухполюсник – это обобщенное название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви. Двухполюсник называется активным, если в нем есть источник энергии. В этом случае в прямоугольнике, изображающим двухполюсник, ставят букву А. Если в двухполюснике нет источников энергии, то его называют пассивным. В этом случае в прямоугольнике не ставят никакой буквы.
а) |
б) |
в) |
Рис.1.22. Схемы для определения тока в ветви (а) методом эквивалентного генератора (б,в)
По отношению к выделенной ветви ав, сопротивление которой R, активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, ЭДС Е которого равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви (рис.1.22,б), а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению RBX пассивного двухполюсника ( рис.1.22,в) со стороны точек ав.
Расчет схемы в режиме холостого хода для определения напряжения Uaвх=Е проводится любым расчетным методом.
Для определения RBX активный двухполюсник заменяется пассивным путем исключения источников энергии (источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока размыкаются).
Таким образом, исходная схема (рис.1.22,а) заменяется схемой рис.1.23, в которой искомый ток равен
|
Uавx |
|
|
I = |
|
. |
(1.20) |
RBX + R |
|||
|
24 |
|
|
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Рис.1.23. Схема для замены активного двухполюсника эквивалентным генератором
Рекомендуется следующая последовательность расчета:
1)найти напряжение Uавх на зажимах разомкнутой ветви ав,
2)определить входное сопротивление RВХ всей схемы по отношению к зажимам ав для пассивного двухполюсника,
3)подсчитать ток по формуле 1.20.
Ниже приведен пример расчета тока I1 методом эквивалентного генератора (рис.1.24,а).
а) |
б) |
в) |
Рис.1.24. Схемы для расчета тока методом эквивалентного генератора (а), напряжения Uавх (б) и RВХ (в)
Для определения напряжения Uавх воспользуемся схемой рис.1.24,б. Направление напряжения Uавх выбрано произвольно.
Определим ток через сопротивление R2:
I = |
|
E2 |
|
|
. |
||
R + R |
|||
|
2 |
3 |
|
Напряжение Uавх определим из второго закона Кирхгофа для контура, в который входит это напряжение:
25
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
E1 − E2 = −Uавх − IR2 , |
Uавх = Е2 − Е1 − IR2 . |
Входное сопротивление RВХ определим из схемы рис.1.24,в:
RBX = R2+R3 .
R2 R3
Искомый ток равен:
I1 |
= |
Uавх |
. |
||
R1 |
+ RBX |
||||
|
|
|
Если сопротивление ветви ав (рис.1.22,а) равно нулю (режим короткого замыкания), то протекающий по ней ток является током короткого замыкания IK. Из (1.20) при R=0 входное сопротивление равно:
RBX = |
Uавх |
. |
(1.21) |
|
|||
|
IK |
|
Из (1.21) следует простой метод экспериментального определения входного сопротивления активного двухполюсника (метод холостого хода и короткого замыкания).
1.12. Условие передачи максимальной мощности приемнику
Рассмотрим простейшую цепь, состоящую из источника ЭДС с внутренним сопротивлением Rвт и приемника с сопротивлением R (рис.1.5,б).
В соответствии с уравнением баланса мощностей:
|
|
|
P1 = PВТ + Р2 , |
|
||||
|
где P1 = ЕI |
– мощность источника ЭДС, PВТ = RВТ I 2 – потери мощности |
||||||
в |
источнике |
энергии, |
P2 = RI 2 |
|
– |
мощность, |
потребляемая |
|
электроприемником. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ток в схеме (рис.1.5,б) равен I = E /(RВТ + R) , поэтому |
|
||||||
|
|
P2 = R |
E2 |
|
|
=UI = EI − RВТ I 2 . |
(1.22) |
|
|
|
(RВТ + R) |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мощность, |
отдаваемая |
приемнику, равна нулю при |
холостом ходе |
||||
(I=0) |
и при коротком замыкании |
(U=0, |
I K = E / RВТ ). |
Следовательно, |
||||
|
|
|
|
|
26 |
|
|
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
зависимость Р2(I) при изменении тока от нуля до тока короткого замыкания IК (R=0) за счет изменения величины сопротивления R имеет максимум.
Для определения тока I, при котором мощность Р2 имеет максимум, найдем производную от Р2 по I из уравнения (1.22) и приравняем ее к нулю:
|
|
|
dP2 |
= E −2RВТ I = 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dI |
|
|
|
откуда |
искомый ток |
I = E / 2RВТ = 0,5IK . |
Нетрудно |
найти вторую |
||
производную |
и убедится, |
|
что она отрицательна |
(d 2 P / dI 2 < 0). |
Следовательно, при указанном токе мощность Р2 действительно имеет максимум.
Так как сопротивление цепи равно RВТ + R , то при передаче в нагрузку максимальной мощности получим:
|
RВТ + R = 2RВТ , |
|
откуда |
R = RВТ . |
(1.23) |
Таким образом, приемник потребляет максимальную мощность, если R = RВТ ; такой режим цепи называется согласованным.
Максимальная мощность в нагрузке равна:
P2 max = |
|
RE 2 |
|
= |
RE2 |
|
= |
E 2 |
. |
(1.24) |
|
(R |
ВТ |
+ R) |
2 |
(2R) |
2 |
4R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент полезного действия в согласованном режиме равен:
η = |
Р |
= |
E2 |
= |
E2 |
= 0,5, |
|
2max |
|
|
|||||
P |
4R EI |
4RE E / 2R |
|||||
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
где I = E 2R.
1.13. Примеры решения задач
1.13.1. Расчет цепей методами преобразования
Задача
Определить токи и напряжения на отдельных участках схемы
(рис.1.25), если U=240 B, R1=R2=0,5 Ом, R3=R5=10 Ом, R4=R6=R7=5 Ом.
27
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Рис.1.25. Схема для расчета токов методом преобразования
Путем постепенного упрощения найдем эквивалентное сопротивление RЭ схемы, что позволит определить ток I1. Преобразование начинаем с конца схемы:
R67 = R6 + R7 = 5 +5 =10 Ом,
Rвс = |
R5 R67 |
= |
|
10 10 |
= 5 Ом, |
|
10 +10 |
||||
|
R5 + R67 |
|
Rвса = R4 + Rвс = 5 +5 =10 Ом.
После указанных преобразований схема имеет вид, показанный на рис.1.26. Найдем эквивалентное сопротивление схемы:
Rва = |
R3 Rвса |
= |
|
10 10 |
= 5 Ом, |
|
|
10 +10 |
|||||
|
R |
+ R |
|
|
||
|
3 |
вса |
|
|
|
|
Rэ = R1 + Rва + R2 = 0,5 +5 +0,5 = 6 Ом.
Рис.1.26. Упрощенная исходная схема
Ток в неразветвленной части цепи рассчитывается по закону Ома:
28
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
I = U = 240 = 40 А.
RЭ 6
Токи I3 и I4:
I3 |
= I1 |
|
Rвса |
|
= 40 |
|
10 |
= 20 А, |
|
R |
|
|
10 +10 |
||||||
|
|
вса |
+ R |
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
I4 = I1 − I3 = 40 − 20 = 20 А.
Напряжение между точками в и а: |
|
Uва = I3 R3 = 20 10 = 200 В |
или |
Uва = I1Rва = 40 5 = 200 В, |
или |
Uва =U − I1 (R1 + R2 ) = 240 −40(0,5 +0,5) = 200 В.
Ток I4 является общим для параллельных ветвей R5 и R67 (рис.1.25), поэтому:
I5 |
= I4 |
|
R67 |
|
= 20 |
|
10 |
=10 А, |
|
R |
|
|
10 +10 |
||||||
|
|
|
+ R |
|
|
||||
|
|
67 |
|
5 |
|
|
|
|
I6 = I4 − I5 = 20 −10 =10 А.
Напряжения:
Uвс = I5 R5 =10 10 =100 В,
Uса = I4 R4 = 20 5 =100 В.
1.13.2. Расчет цепей по законам Кирхгофа. Баланс мощностей
Задача
Определить токи в ветвях схемы (рис.1.27), если R1=12 Ом; R2=5 Ом;
R3=2 Ом; R4=4 Ом; R5=4 Ом; R6=1 Ом; R7=24 Ом; Е1=4 В; Е2=1 В; Е6=5 В; Е7=2 В; J2=0,7 A.
Определим число уравнений, которые необходимо составить по законам Кирхгофа:
по 1-му закону n-1=5-1=4,
по 2-му закону m-n+1-q=8-5+1-1=3.
29