ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Сопротивления R1, R4, R5, как видно из схемы, «закорочены», т.е. равны

нулю.

Рис.1.35. Схема для расчета входного сопротивления Искомый ток равен:

Глава 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Синусоидальные электрические величины

Токи, электродвижущие силы (ЭДС) и напряжения, изменяющиеся с течением времени, называются переменными. В промышленности и в быту наибольшее применение получили переменные токи (ЭДС и напряжения), изменяющиеся по синусоидальному закону. Указанные электрические величины являются периодическими функциями времени.

В настоящее время практически вся электроэнергия, вырабатываемая на электростанциях, является энергией синусоидального тока. Это позволяет сравнительно просто осуществлять изменения уровней напряжения с помощью трансформаторов и делает возможным передачу электрической энергии на большие расстояния без существенных потерь (при этом временная зависимость напряжения остается синусоидальной).

Значения тока, напряжения, ЭДС в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают строчными буквами i, и, е соответственно. Для одного из двух возможных направлений тока в схеме мгновенное значение тока i считают положительным, а для другого – отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называют положительным направлением, оно указывается в

40

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

схеме стрелкой. Аналогично пользуются понятием о положительном направлении напряжения и и ЭДС е.

Мгновенные значения синусоидальных ЭДС, напряжения и тока определяются следующими выражениями:

где Ет, Um, Im – максимальное значение или амплитуда ЭДС, напряжения, тока соответственно; ωt +ψe , ωt +ψu , ωt +ψi – аргументы

соответствующих синусоидальных функций (фазы ЭДС, напряжения, тока); ω – угловая частота, имеющая размерность рад/с, характеризует скорость изменения соответствующей фазы; t – текущее время, с; ψe , ψu , ψi –

начальные фазы ЭДС, напряжения, тока, которые равны фазам соответствующих синусоидальных функций для момента времени t=0.

Начальная фаза является алгебраической величиной, т.е. она может быть равна нулю, больше нуля (положительная начальная фаза) или меньше нуля (отрицательная начальная фаза). Начальная фаза отсчитывается на графике от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее от отрицательных к положительным значениям), до начала координат (t=0).

Кроме указанного выше определения, под фазой также понимается часть цепи (или вся цепь), находящаяся под воздействием одной ЭДС. Отсюда понятия: однофазная цепь и трехфазная цепь.

Рис.2.1. График синусоидального напряжения

41

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

На рис.2.1 изображена синусоидальная функция напряжения и, которая смещена влево от начала координат. Начальная фаза ψu > 0 отсчитывается

вправо к началу координат. За аргумент функции может быть принято время t или соответственно угол ωt . Аргументу t соответствует период Т, а аргументу ωt – периодωT = 2π , откуда угловая частота

где f =1/T – частота, измеряется в герцах (Гц).

Частота определяется количеством периодов в секунду. Период изменения напряжения (тока, ЭДС) равен наименьшему интервалу времени, по истечении которого мгновенные значения напряжения (тока, ЭДС) повторяются. Промышленной частоте f=50 Гц соответствует период Т=0,02 с и угловая частота ω = 314 рад/с. Следует иметь в виду, что аргумент ωt выражается в радианах, поэтому в тех же единицах выражается и начальная фаза. Если угол, соответствующий начальной фазе, определяется в градусах,

то его можно при необходимости перевести в радианы (один радиан равен

57,30).

Таким образом, любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начальные фазы не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе. Сдвиг фаз измеряется разностью их начальных фаз. Если у синусоидальных функций одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, если разность их начальных фаз равна ±π , то говорят, что они противоположны по фазе.

Важным параметром при анализе цепей синусоидального тока является угол сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи. Угол сдвига фаз обозначается буквой φ и определяется разностью начальных фаз напряжения и тока:

Угол φ – величина алгебраическая. Если φ>0, то напряжение опережает ток по фазе; если же φ<0, напряжение отстает по фазе от тока или ток опережает напряжение. Если φ=0, то напряжение и ток совпадают по фазе.

2.2. Действующее и среднее значения синусоидального тока, напряжения, ЭДС

О величине синусоидальных токов и напряжений судят по их действующему значению. Действующее значение синусоидального тока

42

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Действующее значение синусоидального тока (действующий ток) обозначается той же прописной буквой, что и соответствующее амплитудное значение, но без индекса т (как постоянный ток).

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного, протекающего то же время по тому же сопротивлению. Исходя из этого действующее значение синусоидального тока I численно равно такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R, за период времени Т выделяет то же количество тепла, что и синусоидальный ток i.

Аналогично действующие значения синусоидальных напряжений и ЭДС равны:

Таким образом, действующие значения синусоидальных величин в

2 раз меньше их амплитудного значения.

Обычно приборы для измерения переменных токов и напряжений градуируют в действующих значениях. Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются действующими значениями.

Под средним значением синусоидальной величины понимают ее среднеарифметическое значение. Если определять среднее значение синусоидальных величин за период, то оно будет равно нулю, так как положительные и отрицательные полуволны синусоидальных кривых совпадают по форме. Поэтому под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за положительный полупериод:

Аналогично для напряжения и ЭДС:

Средние значения синусоидальных токов и напряжений измеряются приборами магнитоэлектрической системы с предварительным их выпрямлением.

43

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

2.3. Элементы в цепи синусоидального тока

К электрическим цепям синусоидального тока применимы такие понятия, как схема цепи, ветвь, узел, контур, которые ранее рассматривались для цепей постоянного тока. В то же время электромагнитные процессы в цепях переменного тока оказываются значительно более сложными, чем в цепях постоянного тока.

Для записи уравнений по законам Кирхгофа в цепи синусоидального тока, так же как и в цепях постоянного тока, необходимо предварительно выбрать положительные направления токов и напряжений, указав их стрелками. Синусоидальные напряжения и токи дважды за период изменяют свое направление. Считается, что действительное направление тока (напряжения) совпадает со стрелкой в моменты времени, когда i > 0(u > 0) , и

противоположно стрелке, если i < 0(u < 0) . На участках электрической цепи с пассивными элементами положительные направления тока и напряжения выбирают совпадающими.

При протекании тока в электрической цепи и в окружающей среде имеются магнитное и электрическое поля. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС самоиндукции, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках электрическая энергия преобразуется в тепло. С учетом сказанного в цепях синусоидального тока в качестве пассивных элементов применяются индуктивные катушки, конденсаторы и резисторы.

Для того чтобы упростить описание процессов в электрической цепи, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой, состоящей из идеализированных элементов, каждый из которых учитывает одно из указанных явлений. К пассивным элементам схемы при синусоидальном токе относятся резистивный элемент с сопротивлением R (активное сопротивление), индуктивный элемент с индуктивностью L (индуктивность), емкостной элемент с емкостью С (емкость). Сопротивление резистивного элемента в цепи синусоидального тока называется активным, а сопротивления индуктивного и емкостного элементов – реактивными. Индуктивность и емкость относятся к реактивным элементам.

В резистивном элементе с сопротивлением R электрическая энергия преобразуется в тепло и другие виды энергии (механическую, лучистую и т.д.). Резистивный элемент схемы, приближенно заменяющий в электрической цепи резистор, учитывает необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Если активное сопротивление R резистивного элемента не зависит от протекающего тока, то этот элемент является линейным. Напряжение на сопротивлении R и ток в нем (рис.2.2,а) связаны законом Ома:

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Индуктивный элемент или индуктивность – это элемент схемы, приближающийся по своим свойствам к идеализированной индуктивной катушке, в которой периодически накапливается энергия магнитного поля

(рис.2.2,б).

Рис.2.2. Резистивный (а), индуктивный (б) и емкостной (в) элементы в цепи синусоидального тока

Индуктивная катушка представляет собой проволочную обмотку на неферромагнитном сердечнике (линейный элемент). Индуктивный элемент учитывает только основной параметр катушки – индуктивность L.

Переменный ток i, протекающий в индуктивном элементе, создает вокруг него переменный магнитный поток Ф. Если этот поток сцепляется со всеми витками ω индуктивного элемента, то потокосцепление самоиндукции

ψ =ωФ.

Отношение потокосцепления самоиндукции индуктивного элемента к току i через него называется индуктивностью:

Если L не зависит от i, то индуктивный элемент является линейным. Единицей индуктивности является генри (Гн), на практике пользуются более мелкими единицами – миллигенри (1 мГн=10-3 Гн), микрогенри (1 мкГн=10-6 Гн).

При протекании переменного тока в индуктивном элементе изменяется потокосцепление самоиндукции, и в нем согласно закону электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла создается ЭДС самоиндукции, которая определяется формулой:

45

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Знак минус учитывает принцип электромагнитной инерции Ленца, согласно которому индуцированная ЭДС еL всегда имеет такое направление, при котором она противодействует изменению магнитного потока или тока в индуктивности (при увеличении тока ЭДС препятствует его росту, а при уменьшении – задерживает его убывание). При этом положительное направление еL принимается совпадающим с положительным направлением тока i.

Когда ток возрастает (уменьшается), энергия магнитного поля WM = Li2 / 2 индуктивного элемента увеличивается (уменьшается).

Таким образом, индуктивность в цепи учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. Напряжение на индуктивности равно

его направление совпадает с направлением тока.

Емкостной элемент или емкость – это элемент схемы, приближающийся по своим свойствам к идеализированному конденсатору, в котором периодически накапливается энергия электрического поля

(рис.2.2,в).

Конденсатор – это устройство, состоящее из двух металлических проводников (пластин), разделенных диэлектриком. По типу диэлектрика конденсаторы делятся на бумажные, слюдяные, керамические и др.

Под действием приложенного синусоидального напряжения иС на пластинах емкостного элемента возникают заряды q противоположных знаков; пластина с более высоким потенциалом зарядится положительным зарядом, а пластина с более низким потенциалом – отрицательным. Величина заряда на пластине пропорциональна величине напряжения между пластинами. При изменении полярности напряжения знак зарядов на пластинах изменится.

Отношение заряда q на пластине к напряжению иС определяет емкость элемента:

Единицей емкости является фарада (Ф), на практике пользуются более

мелкими единицами – микрофарада (1 мкФ=10-6 Ф) или пикофарада

(1 пФ=10-12 Ф).

Если емкость С не зависит от напряжения, то емкостной элемент является линейным. Изменение электрического заряда на пластинах емкостного элемента происходит по синусоидальному закону в соответствии

с приложенным напряжением. С изменением напряжения иС в присоединенной последовательно к емкостному элементу электрической

46

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

цепи создается ток, который определяется скоростью изменения заряда на пластинах элемента:

Переменное электрическое поле между пластинами емкостного элемента вызывает поляризацию диэлектрика, что приводит к упорядоченному смещению связанных в молекулах диэлектрика зарядов (ток смещения). В результате молекулы диэлектрика превращаются в электрические диполи, т.е. системы двух противоположных по знаку точечных зарядов. В результате ток проводимости в проводах, подключенных к емкости, переходит в ток смещения в диэлектрике емкостного элемента.

Таким образом, емкость в цепи учитывает энергию электрического поля WЭ = Cиc2 / 2 и явление поляризации диэлектрика между пластинами

конденсатора.

Из (2.12) можно определить напряжение на емкостном элементе:

При этом предполагается, что uc (0) = 0 (постоянная интегрирования

равна нулю, так как в установившемся режиме напряжение на емкости синусоидальное). Когда напряжение на емкости возрастает (уменьшается), то энергия электрического поля увеличивается (уменьшается).

В качестве идеальных активных элементов в схеме могут применяться источники синусоидальной ЭДС е(t) и источники синусоидального тока j(t).

2.4. Синусоидальный ток в активном сопротивлении

Если к линейному активному сопротивлению R подключить синусоидальное напряжение uR =URm (ωt +ψu ) (рис.2.2,а), то синусоидальный

ток можно рассчитать по закону Ома:

где I m = U Rm , ψu =ψi .

R

47

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Сдвиг фаз между напряжением и током, определяемый как разность начальных фаз напряжения и тока на сопротивлении R, равен:

Следовательно, напряжение и ток на активном сопротивлении совпадают по фазе (рис.2.3).

u,i

uR i

ωt

Рис.2.3. Графики мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока резистивного элемента

Законом Ома связаны между собой не только мгновенные значения напряжения и тока на сопротивлении, но и амплитудные и действующие напряжения и токи:

где ULm = ωLIm = 2πfLIm = X L Im – амплитуда напряжения,

48

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

ψu = (ψi + π2 ) – начальная фаза напряжения на индуктивности.

Величина X L = ωL , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением, оно прямо пропорционально частоте f и является реактивным сопротивлением.

С увеличением частоты синусоидального тока при неизменной его величине индуктивное сопротивление X L увеличивается. Физически это

объясняется тем, что скорость изменения тока возрастает, а следовательно, напряжение на индуктивном элементе увеличивается. Увеличение напряжения ULm при неизменной амплитуде тока Im может быть вызвано только ростом индуктивного сопротивления.

Сдвиг фаз между напряжением и током в индуктивности равен

Следовательно, напряжение на индуктивности иL опережает ток i на угол 900. Это объясняется тем, что ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока в индуктивности, поэтому ток отстает по фазе от приложенного напряжения.

Таким образом, индуктивный элемент реализует инерцию электромагнитных процессов, а индуктивность L является количественной мерой этой инерции. Фазовые соотношения между напряжением и током в

индуктивности показаны на рис.2.4. Когда ток i проходит через нуль, напряжение иL достигает положительного или отрицательного максимума, так как оно пропорционально скорости изменения тока di / dt , которая при i=0 максимальна. Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение иL обращаются в нуль.

Рис.2.4. Графики мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока индуктивного элемента

49