ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Амплитудные и действующие напряжения и токи в индуктивности связаны соотношением, по форме совпадающим с законом Ома:

2.6. Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рис.2.2,в) синусоидально:

uC = UCm sin(ωt +ψu ),

тогда ток через емкость равен

тока ψi =ψu +π / 2.

Величина XC =1/ωC , имеющая размерность сопротивления, называется

емкостным сопротивлением, оно обратно пропорционально частоте f и является реактивным.

С увеличением частоты синусоидального напряжения иС емкостное сопротивление X C уменьшается. Это объясняется тем, что возрастает

скорость изменения заряда dq / dt на пластинах емкостного элемента, а следовательно, увеличивается ток через него. Увеличение тока при неизменной амплитуде напряжения может быть связано только с уменьшением емкостного сопротивленияX C .

Сдвиг фаз между напряжением и током в емкости равен

следовательно, напряжение на емкости (рис.2.5) отстает от тока на 900 (ток опережает напряжение на 900). Физически это объясняется тем, что напряжение на емкости возникает за счет разделения зарядов на пластинах

элемента в результате прохождения тока. Следовательно, напряжение иС появляется только после возникновения тока. Из рис.2.5 видно, что нулевым значением тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения. Это объясняется тем, что когда

50

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

электрический заряд q и соответственно напряжение uC=q/C достигают максимального значения, ток i равен нулю ( duC / dt = 0 ).

Рис.2.5. Графики мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока емкостного элемента

Амплитудные и действующие напряжения и токи в емкости связаны соотношением, подобным закону Ома:

2.7. Мощности в цепи синусоидального тока

В цепях синусоидального тока для характеристики энергетических процессов вводят понятия мгновенной, активной, реактивной и полной мощностей, которые могут быть отнесены ко всей цепи или к участку цепи.

Мгновенная мощность обозначается строчной буквой р и является функцией времени. Она характеризует скорость поступления энергии от источника в пассивную электрическую цепь или возврата ее источнику в данный момент времени.

Мгновенное значение мощности любой пассивной цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и и тока i этой цепи. Если напряжение и ток совпадают по направлению (т.е. имеют одинаковые знаки), то p=ui >0; если же напряжение и ток имеют разные знаки, то р<0. В первом случае электрическая энергия передается от источника в пассивную цепь, а во втором – энергия возвращается из цепи к источнику. Возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитном и электрическом полях реактивных элементов цепи.

51

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рассмотрим участок электрической цепи, напряжение на котором u =Um sinωt , а ток i = I m sin(ωt +ψi ) = I m sin(ωt −ϕ) . Так как начальная фаза напряжения ψи равна нулю, то начальная фаза тока ψi =ψu −ϕ.

Мгновенная мощность, поступающая в цепь, равна:

где ϕ = (ψu −ψi ) – угол сдвига фаз между напряжением и током.

Таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную UIcosφ и переменную UI cos(2ωt −ϕ) ,

изменяющуюся периодически с угловой частотой 2ω. Поэтому мгновенная мощность р изменяется с двойной частотой по сравнению с частотой напряжения и тока.

Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее использовать среднее значение мощности, которая называется активной мощностью. Ее обозначают прописной буквой Р.

Активная мощность, поступающая в рассматриваемый участок цепи, равна среднему значению мгновенной мощности за период Т:

так как определенный интеграл от второго слагаемого равен нулю. Активная мощность в электрической цепи потребляется активными

сопротивлениями. Она определяет среднюю скорость необратимого преобразования электрической энергии в резистивных элементах цепи в другие виды энергии (тепловую, механическую, лучистую и т.д.). Активная мощность равна постоянной составляющей мгновенной мощности и определяется произведением действующих значений напряжения и тока на участке цепи и косинуса угла сдвига фаз между напряжением и током.

Единицей активной мощности является ватт (Вт), киловатт (кВт) и мегаватт (МВт).

Если цепь состоит из одного активного сопротивления R, то синусоидальные напряжение и ток совпадают по фазе (ϕ = 0, cosϕ =1) . Следовательно, знаки тока и напряжения в любой момент времени одинаковы, поэтому мгновенная мощность р всегда положительна. При нулевых начальных фазах мгновенная мощность для цепи с активным сопротивлением равна:

p = ui =U m sin ωt I m sin ωt =U m I m sin 2 ωt =U m I m (1−cos 2ωt) / 2 = =UI −UI cos 2ωt =UI (1 −cos 2ωt).

52

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Таким образом, мгновенная мощность в цепи с R изменяется с угловой частотой 2ω и колеблется в пределах от нуля до 2UI относительно уровня UI. Это указывает на то, что вся электрическая энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепловую или другие виды энергии.

Если известны действующие значения напряжения U и тока I на активном сопротивлении, то из (2.24) активная мощность цепи равна:

P =UI = RI 2 .

Если для цепи с индуктивностью принять начальную фазу тока за нуль, а для цепи с емкостью принять начальную фазу напряжения за нуль, то в обоих случаях мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой:

p = ui = U m Im sin ωt cos ωt = UI sin 2ωt.

Мгновенная мощность определяет скорость изменения энергии магнитного поля индуктивности или электрического поля емкости. Мгновенная мощность положительна при нарастании по абсолютному значению тока в цепи с индуктивностью или напряжения в цепи с емкостью.

Когда р>0, энергия источника поступает в индуктивный (емкостной) элемент и запасается в его магнитном (электрическом) поле. Когда р<0, запасенная энергия возвращается к источнику. Затем процессы повторяются. Таким образом, в течение одного периода электрическая энергия дважды поступает от источника в индуктивный (емкостной) элемент и обратно. При этом активная мощность у реактивного элемента равна нулю. Энергия обмена между источником и реактивным элементом, которая не преобразуется в другие виды энергии и возвращается источнику, называется реактивной. Процессы обмена такой энергией характеризуются реактивной мощностью, которая обозначается прописной буквой Q.

Единицей реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (вар), киловольт-ампер реактивный (квар) и т.д.

Реактивная мощность потребляется реактивными элементами и рассчитывается по формуле:

мощности в цепях с индуктивностью или емкостью соответственно равны:

QL =UI = xL I 2 , QC = −UI = −xC I 2 .

53

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Таким образом, реактивная мощность равна амплитуде мгновенной мощности реактивных элементов. Поэтому реактивная мощность численно равна максимальной скорости обмена энергией между реактивным элементом и источником энергии.

Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость – как ее генератор.

Если электрическая цепь имеет индуктивные и емкостные элементы, то реактивная мощность цепи равна разности реактивной индуктивной и реактивной емкостной мощностей:

отрицательна, если QC > QL . Разные знаки у QL и QС означают, что когда

индуктивность получает энергию от источника питания, запасая ее в своем магнитном поле, емкость отдает запасенную в электрическом поле энергию и наоборот. Следовательно, эти элементы могут обмениваться энергией не только с источником, но и друг с другом. Это означает, что мгновенные мощности в L и C изменяются в противофазе.

Полная мощность обозначается прописной буквой S, она равна произведению действующих значений напряжения и тока на участке цепи:

Полная мощность является амплитудой переменной составляющей мгновенной мощности (2.23). Полную мощность выражают в вольт-амперах (В·А), киловольт-амперах (кВ·А) и т.д.

Рис.2.6. Треугольник мощностей для φ>0

Графически связь между мощностями P, Q, S можно представить в виде прямоугольного треугольника (рис.2.6) – треугольника мощностей. Из треугольника видно, что S 2 = P2 +Q2 , tgϕ = Q / P .

54

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

В паспорте источника электрической энергии переменного тока (генератор, трансформатор) указывают значение номинальной полной мощности. Она определяет мощность, которую источник может отдавать потребителю, представляющему собой чисто активное сопротивление. Когда cosϕ =1, активная мощность Р=S. Однако для большинства потребителей

cosϕ <1. Поэтому даже при номинальных значениях напряжения и тока энергетические возможности источника используются не полностью, так как

P =UномIномcosϕ < Sном.

Косинус угла сдвига фаз между напряжением и током (2.24) называется коэффициентом мощности:

cosϕ = P /(UI ) = P / S,

который показывает, какую долю полной мощности составляет активная мощность или какая доля всей электрической энергии преобразуется в другие виды энергии. Коэффициент мощности характеризует степень использования предельной мощности источника энергии.

Низкое значение cosφ приводит к неполному использованию генераторов, линий передачи и другого электротехнического оборудования, которое бесполезно загружается реактивным (индуктивным) током приемников, что вызывает увеличение эксплуатационных расходов.

Коэффициент мощности является важным параметром электроприемников. Чем больше cosφ, тем меньшее значение тока генератора необходимо для передачи приемнику соответствующей активной мощности:

I = P/(Ucosϕ).

Уменьшение тока генератора приводит к уменьшению тепловых потерь электроэнергии в линиях передачи, ее экономии и удешевлению устройств электропередачи. Следовательно, для более полного использования номинальной мощности генераторов и уменьшения тепловых потерь электроэнергии необходимо повышать cosφ приемников.

Для увеличения cosφ активно-индуктивного приемника параллельно ему включают батарею конденсаторов, которая для приемника становится источником реактивной энергии. В результате реактивный (емкостной) ток батареи конденсаторов значительно уменьшает реактивную составляющую тока в линиях передачи, что приводит к уменьшению угла сдвига фаз φ и увеличению cosφ. Сдвиг фаз φ между напряжением и током, потребляемым от источника питания, доводят до значения, при котором cosϕ = 0,9 −0,95.

2.8. Схемы замещения пассивных элементов электрической цепи

Каждый элемент реальной электрической цепи на схеме замещения

55

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

может быть представлен определенной совокупностью идеализированных элементов схемы.

Непроволочный резистор (углеродистый) на низких и средних частотах можно представить одним резистивным элементом R (рис.2.7,а). На высоких частотах у резистора появляется небольшая паразитная индуктивность L, учитывающая магнитный поток, сцепленный с резистором, и небольшая паразитная емкость С, учитывающая протекание тока смещения между выводами резистора (рис.2.7,б). Конечно, основным параметром у резистора является активное сопротивление R.

а) , в) ,

б) , г) ,

д) , е) ,

ж)

Рис.2.7. Схемы замещения резистора (а,б), индуктивной катушки (в,г,д)

иконденсатора (е,ж)

Всхеме замещения индуктивной катушки на низких частотах (рис.2.7,в) активное сопротивление R учитывает тепловые потери энергии в обмотке катушки. Основным параметром является индуктивность L, учитывающая явление самоиндукции и накопление энергии в магнитном поле. Чем меньше R, тем выше добротность катушки:

При большой добротности индуктивную катушку приближенно можно представить одним индуктивным элементом L.

56

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

На постоянном токе нет явления самоиндукции и схема замещения индуктивной катушки учитывает только сопротивление R (рис.2.7,г).

На высоких частотах у катушки появляется небольшая паразитная емкость C, учитывающая токи смещения между витками катушки (рис.2.7,д).

Конденсатор на низких частотах имеет очень незначительные потери энергии и замещается одним емкостным элементом С (рис.2.7,е). На высоких частотах (рис.2.7,ж) следует учесть тепловые потери в диэлектрике (R) и влияние переменного магнитного поля (L). Обычно этой индуктивностью пренебрегают из-за ее относительной малости. Основным параметром в схеме является емкость С, учитывающая протекание токов смещения и накопление энергии в электрическом поле.

Строго разграничить области частот, при которых справедлива та или иная схема замещения невозможно, так как это зависит от множества факторов.

2.9. Изображение синусоидальных величин комплексными числами и векторами в комплексной плоскости

Расчет цепей синусоидального тока облегчается, если изображать токи, напряжения и ЭДС комплексными числами или векторами в комплексной плоскости.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами, называется комплексным методом.

Для записи уравнения в комплексной форме синусоидальные ЭДС, напряжения и токи записываются в виде комплексных амплитудных или комплексных действующих значений. Комплексную величину, изображающую синусоидальную функцию времени, записывают соответствующими прописными латинскими буквами с точкой наверху, другие комплексные величины (сопротивления, проводимости) подчеркивают снизу.

•

Например: комплексное амплитудное напряжение U m , комплексная

сопротивление Z , комплексная проводимость Y .

Модуль комплексного амплитудного значения равен амплитуде изображаемой синусоиды тока, напряжения, ЭДС; модуль комплексного действующего значения равен соответствующему действующему значению.

57

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

В обоих случаях аргументом комплекса является начальная фаза изображаемой синусоиды.

Комплексное число может быть записано в трех формах: показательной, тригонометрической и алгебраической. Тригонометрическая форма записи является переходной от показательной к алгебраической.

Показательная форма записи комплекса имеет вид:

учетом их знака у соответствующей синусоидальной функции.

Формула Эйлера позволяет перейти от показательной формы записи к тригонометрической:

знак у мнимой части комплекса определяется знаком начальной фазы комплекса в показательной форме.

Для того, чтобы записать комплексы в алгебраической форме, обозначим действительные и мнимые части комплексов в (2.30) следующим образом:

Um cosψu =Um1 , U m sinψu =U m2 , U cosψu =U1 , U sinψu =U 2 , I cosψi = I1 ,

Isinψi = I2 .

Врезультате получим соответствующие комплексы в алгебраической

форме:

Для перехода от алгебраической формы записи комплекса к показательной необходимо определить модуль и аргумент комплекса:

Um = Um21 +Um2 2 , U = U12 +U 22 , I = I12 + I 22 ;

ψu = arctgU2 U1 , ψi = arctg I 2 I1 .

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная – при умножении, делении, извлечении корня. При сложении или вычитании комплексов производят сложение (вычитание) их действительных и мнимых частей. При умножении комплексов их модули

58

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

перемножают, а аргументы суммируют. При делении комплексов их модули делят, а аргументы вычитают.

Комплексные числа A и A называют сопряженными, если их модули равны, а аргументы равны и противоположны по знаку:

При работе с комплексами полезно знать следующие соотношения:

jj =−1,1/ j =−j, e j0 =1, e± j900 =cos900 ± jsin900 =± j, (a + jв)(а− jв) =а2 +в2 .

Как видно из уравнений (2.29–2.31), комплексные действующие (амплитудные) напряжения (ЭДС) и токи не содержат угловую частоту ω. Это связано с тем, что в рассматриваемой схеме все источники энергии должны иметь одинаковую угловую частоту. Эта частота либо задается, либо предполагается, что она равна промышленной (ω=314 рад/с). Таким образом, комплексные действующие (амплитудные) значения изображают соответствующую синусоидальную функцию для момента времени t=0 (ωt=0).

Рис.2.8. Вектор комплексного амплитудного напряжения в комплексной плоскости

Комплексное число можно изобразить вектором в комплексной плоскости. Вектор откладывается относительно положительной действительной оси под углом, равным аргументу комплексного числа. Длина вектора в соответствующем масштабе равна модулю комплексного

59