Mnogochlen

МНОГОЧЛЕНЫ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ.

Николай Гордеев

x 0: Введение

Вданном курсе рассматривается простейшие свойства многочленов над полем и расширений полей.

Вданном курсе предполагается известным такие понятия как кольцо, поле, векторное (линейное) пространство.

Кольца и поля.

Нейтральный элемент кольца A относительно операции сложения обозначается символом 0, а нейтральный (если таковой имеется) обозначается символом 1.

Элемент кольца

1 + 1 + ¢ ¢ ¢ + 1 2 A

| {z }

nраз

будем обозначать также символом n (если нужно отличить n 2 A и n 2 N ,будем писать nA ). Надо иметь ввиду, что возможно равентсво n = 0 (например, если

A = Z=nZ).

Характеристика кольца A:

def

char A = minfn 2 N j nA = 0g или, если nA 6= 0

def

для любого n 2 N; то char A = 0:

Примеры: char Z = 0; char Z=nZ = n:

Характеристика поля K либо 0 (например, K = Q; R; C) или простое число (например K = Z=pZ). Действительно, если бы char K = nm; n; m 2 N; n; m > 1, то

nK =6 0; mK =6 0 ) nAmA =6 0

что противоречит определению характеристики.

Для кольца с единицей A множество

1

U(A) = A¤ = fa 2 A j a0 2 A aa0 = a0a = 1g

является группой относительно опрации умножения. Эту группу будем называть

группой единиц кольца A.

Если A = K-поле, то K¤ = K n f0g.

Подмножество B ½ A кольца A называется подкольцом, если B замкнуто относительно операций кольца A, содержит 0 и для каждого элемента b 2 B содержит обратный элемент ¡b относительно операции сложения. Очевидно, подкольцо само является кольцом.

Подкольцо F ½ K поля K называется подполем, если для каждого элемента 0 =6 f 2 F подкольцо F содержит обратный элемент f¡1 относительно операции умножения. Очевидно, подполе само является полем.

Биективное отображение

f : A ! B

кольца (поля) A в кольцо (поле) B называется изоморфизмом, если

f(a + b) = f(a) + f(b); f(ab) = f(a)f(b) text a; b 2 A:

Отметим

f(0A) = 0B; f(1A) = 1B:

(0A; 0B; 1A; 1B-нейтральные элементы соответствующих колец относительно операций сложения и умножения.) Действительно,

Векторные (линейные) пространства.

2

Линейным (векторным) пространством над полем K называется абелева группа

M (операцию группы M называют сложением и обозначают +), для которой определено отображение

Á : K £ M ! L

3)®(¯m) = (®¯)m для любых ®; ¯ 2 K; m 2 M;

4)1m = m для любого m 2 M.

Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами . Нейтральный элемент абелевой группы M называют нулевым вектором и обозначают 0 или просто 0. Имеет место 0m = 0 для любого m 2 M :

0m = (0 + 0)m = 0m + 0m )

) 0 = 0m + (¡0m) = (0m + 0m) + (¡0m) = 0m + (0m + (¡0m)) = 0m + 0 = 0m:

Кроме того, если (¡1)-обратный элемент для 1 2 K относительно операции сложения, то (¡1)m-обратный элемент для m 2 M относительно операции сложения в

M:

0 = 0m = (1 + (¡1))m = m + (¡1)m:

Базисом линейного пространства M называется подмножество B ½ M удовлетворяющее следующим двум условиям:

Подмножество ; =6 L ½ M называется линейным подпространством линейного пространства M над полем K, если оно замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения их на элементы поля K. Линейное подпространство само является линейным пространством над полем K ( действительно, все свойства операций автоматически выполнены на подмножестве L и 0l = 0 2 L; (¡1)l = ¡l 2 L для любого l 2 L =6 ;)

3

Следующие утверждения приводим без доказательства:

i.Любое линейное пространство имеет базис.

ii.Любые два базиса равномощны (т.е. можно установить взаимно однозначное соответствие);

iii.Разложение элементов по базису однозначно (т.е.

iv. любое линейно независимое подмножество линейного пространства можно дополнить до базиса.

Линейное пространство M называется конечномерным, если оно имеет конечный базис. В этом случае , число элементов базиса называется его размерностью и обозначается dim M. Если конечного базиса не существует, то пространство называется бесконечномерным (в этом случае пишем dim M = 1.) Из iv. следет, что размерность линейного подпространства L ½ M не превосходит размерность линейногo пространства M.

I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ БУКВЫ (ПЕРЕМЕННОЙ).

x 1: Определение многочленов

от одной буквы (переменной) над кольцом.

Ниже A-кольцо. Нейтральный элемент A относительно операции сложения обозначается символом 0. Если кольцо A обладает нейтральным элементом относительно операции умножения, то его обозначаем символом 1.

Одночлены от от одной буквы.

Определение 1.1. Одночленом над кольцом A от одной буквы (переменной) x называется выражение (символ) вида

axn;

где a 2 A; n 2 N [ f0g: При этом, a называется коэффициентом одночлена axn, а число n называется степенью одночлена axn. Одночлены вида 0xn называется нулевыми.

4

Отметим, что вместо буквы x может быть использована любая буква или символ : y; z; :::; ®; ¯; ::::; ~; [::: (скажем одночлен над Z от ~: 2~3).

Соглашение. Одночлен вида ax0 будем отождествлять с элментом a 2 A (т.е. ax0 := a). Одночлен вида 1xn будем записывать xn.

Формальные суммы одночленов и их тождественные преобразования.

Определение 1.2. Формальной суммой одночленов над кольцом A от одной буквы (переменной) x называется выражение (символ) вида

a1xn1 + a2xn2 + ¢ ¢ ¢ + amxnm ;

где m 2 N; a1; : : : ; am 2 A; n1; : : : ; nm 2 N [ f0g:

Определение 1.3. Элементарными тождественными преобразованиями формальных сумм одночленов над кольцом A от одной буквы (переменной) x называются следующие преобразования:

1). Перестановка рядом стоящих членов формальной суммы.

2) "Приведение рядом стоящих подобных членов", т.е. замена формальной суммы вида

a1xn1 + a2xn2 + ¢ ¢ ¢ aixni + ai+1xni + ¢ ¢ ¢ + amxnm ;

на сумму вида

a1xn1 + a2xn2 + ¢ ¢ ¢ (ai + ai+1)xni + ¢ ¢ ¢ + amxnm :

3) Разложение члена суммы в сумму двух членов, т.е. замена формальной суммы вида

a1xn1 + a2xn2 + ¢ ¢ ¢ (ai + a0i)xni + ¢ ¢ ¢ + amxnm ;

на сумму вида

a1xn1 + a2xn2 + ¢ ¢ ¢ aixni + a0ixni + ¢ ¢ ¢ + amxnm :

4)Вычеркивание нулевого члена (за исключением случая суммы, состоящей из одного нулевого члена).

5)Приписывание нулевого члена.

Определение 1.4. Тождественным преобразованем формальной суммы одночленов над кольцом A от одной буквы (переменной) называется последовательное применение конечного числа элементарных тождественных преобразований.

5

g

Обозначим через A[x]-множество формальных сумм над кольцом A одночленов от

g

буквы x. Если для формальных сумм F; G 2 A[x] существует тождественное преобразование , переводящее F в G, то будем писать:

F Ã G:

Если данное преобразование каклибо обозначено, скажем буквой T , то будем писать:

T

F Ã G:

Предложение 1. 1. Бинарное отношение Ã является отношением эквивалент-

g

ности на множестве A[x].

Доказательство. Среди тождественных преобразований , очевидно, содержится и тривиальное преобразование, т.е. преобразование, не меняюшее ничего в формальной сумме (например, достаточно приписать, а затем вычеркнуть нулевой член).

g

Таким образом, F Ã F для любой суммы F 2 A[x]. Далее, для любого элеметарно-

T

го тождественного преобразования F Ã G существует элеметарное тождественное

T 0

преобразование F Ã G (следует из Определения 3.) Так как тождественное преобразование является композицией элементарных, то для всякого тождественного преобразования F Ã G существует тождественное преобразование G Ã F . Далее,

F Ã G; G Ã H ) F Ã H:

¤

g

Отношение эквивалентности Ã разбиает множество формальных сумм A[x] на

g

классы эквиалентности. Для формальной суммы F 2 A[x] соответствующий класс эквивалентности будем обозначать [F ].

Многочлены от одной буквы и их нормальные формы.

Определение 1.5. Класс эквивалентных формальных сумм одночленов над кольцом A от одной буквы x называется многочленом над кольцом A от одной буквы x.

Множество многочленов над кольцом A от одной буквы x обозначается символом

g

A[x]. Многочлен, соответствующий классу формальных сумм F 2 A[x] таких, что F Ã 0 , будем называть нулевым и обозначать нулем. Таким образом, 0 2 A[x]:

6

Предложение 1.2. Для любого ненулевого многочлена f 2 A[x] в соответствующем ему классе формальных сумм одночленов найдется представитель вида

где a0 6= 0. При этом, такой предстаительединственный. Доказательство.

Существование. Возмем произвольный представитель класса f. Вычеркиваем все нулевые степени. Так как f 6= 0, то в полученной сумме должны остаться какиелибо члены. Выполняя перестановки рядом стоящих членов формальной суммы можно расположить все члены в порядке убывания степени слева направо. Далее,"приведение рядом стоящих подобных членов". Опять вычеркиваем все нулевые степени и опять полученной сумме должны остаться какие-либо члены. Далее, пусть n-максимальная степень одночлена в полученной сумме. Если для некоторого m < n соответствующий член отсутствует, то добавляем на это место нулевой член, записанный в виде 0xm. Таким образом, получаем форму (1.1).

g

Единственность. Для любого i 2 N [ f0g определим отображение ai : A[x] ! A:

def

ai(F ) = сумма всех коэффициентов всех одночленов степени; i содержащихся

в формальной сумме F (если таковых членов нет, то полагаем ci(F ) = 0):

Лемма 1.1.

[F ] = [G] ) ai(F ) = ai(G) для любого i 2 N [ f0g:

Доказательство.

F Ã G ) F Ãt1 H1 Ãt2 H2 ¢ ¢ ¢ Ãtm Hm Ãt ; G

где t1; : : : ; tm; t-элементарные тождественные преобразования формальных сумм F; H1; : : : ; Hm. Из Определения 1.3 следует:

ai(F ) = ai(H1) = ¢ ¢ ¢ = ai(Hm) = ai(G)

для любого i 2 N [ f0g.

¤

Теперь единсвенность представителя вида (1.1) следует из Леммы 1.1.

¤

Определение 1.6. Представитель вида (1.1) класса формальных сумм , соответствующему многочлену f ,называется нормальной формой многочлена f. При этом, коэффициент a0 называется старшим коэффициентом многочлена f. Нормальной формой нулевого многочлена считаем 0.

7

Соглашение. Обычно при записи нормальной формы опускают нулевые члены. Например , формальную сумму x3+1 также считаем нормальной формой многочлена

[x3 + 1].

Предложение 1.3. Пусть 0 =6 f = [F ] 2 A[x] и пусть

def

n = n(F ) = maxfm 2 N [ f0g j am(F ) 6= 0g:

Пусть, далее,

a0 = an(F ); a1 = an¡1(F ); : : : ; ai = an¡i(F ); an = a0(F ):

Тогда

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an

-нормальная форма многочлена f.

Доказательство. Из Предложения 1.2 следует существование тождественного преобразования:

F Ã G = b0xk + b1xk¡1 + ¢ ¢ ¢ + bk

где b0 =6 0. Из Леммы 1.1 следует

ai(F ) = ai(G) для любого i 2 N [ f0g:

Поэтому,

k = n; b0 = an(F ); : : : ; bk = a0(F ):

¤

Предложение 1.4. [F ] = [G] , ai(F ) = ai(G) для любого i 2 N [ f0g:

Доказательство. ) - это Лемма 1.1. Теперь пусть ai(F ) = ai(G) для любого i 2 N [ f0g: Тогда нормальные формы для [F ] и [G] совпадают (Предложение 1.3), а значит [F ] = [G] (Предложение 1.2).

¤

Соглашение. Для многочлена f = [F ] будем использовать также запись f = F (т.е. обозначать класс любым представителем.)

Определение 1.6. Пусть f = a0xn+a1xn¡1+¢ ¢ ¢+an 2 A[x]; a0 =6 0. Число n будем

def

называть степенью многочлена f и обозначать deg f. Если f = 0, то deg f = 0.

Другие определения многочленов от одной буквы .

Есть более простые подходы к определению многочленов.

8

1) Можно определить многочлен как выражение (символ)

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an;

где либо a0 =6 0 , либо n = 0; an = 0, т.е. отождествить его с его нормальной формой. Однако, при некоторых операциях с многочленами удобно использовать и другие формы. Поэтому, приведенный подход, представляется менее логичным, но значительно упращающим само определение.

2) Можно определить многочлен как бесконечную последовательность элементов кольца A:

(b0; b1; : : : ; bn; : : :);

в которой все члены, кроме конечного числа, –нулевые (т.е , существует такой номер n 2 N [ f0g, что bm = 0 для всех m > n. Действительно, многочлен (в первом определении) определен однозначно своей нормальной формой a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an, которая в свою очередь однозначно определяется буквой x и последовательностью коэффициентов b0 = an; b1 = an¡1; : : : ; bn = a0 ( поскольку многочлен может быть любой степени мы не ограничиваем длину последовательности и нумеруем коэффициенты в обратном порядке, заполняя нулями отсутствующие коэффициенты). Однако, для различных опраций с многочленами безралично какую букву мы используем. Важно лишь место коэффициентов, определенных степенью xn. При таком подходе экономится запись (освобождение от буквы), но могут возникнуть другие проблемы, например, если требуется одновременно работать с множествами многочленов от разных букв (переменных) A[x]; A[y]; : : :.

3) Можно определить многочлен как функцию f : A ! A;

определенную формулой f(x) = a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an, т.е.

def n n¡1

f(®) = a0® + a1® + ¢ ¢ ¢ + an

для любого ® 2 A: Здесь однако нужно иметь ввиду, что для некоторых колец ( и даже полей!) разным формулам (т.е. нормальным формам)может соответствует одна и та же функция. Например, пусть A = Z=pZ-кольцо классов вычетов по простому модулю p. По Теореме Ферма ap ´ a ( mod p) для любого a 2 A. Следоательно, многочленам xp и x соответствет о одна и та же функция.

x 2: Определение кольца многочленов

от одной буквы (переменной) над кольцом.

9

Операция сложения многочленов. Пуст A кольцо. На множестве формальных

(т.е. приписываем слева к сумме F сумму G, соединяя их знаком +).

Предложение 2.1. Если F Ã F 0; G Ã G0; то [F + G] = [F 0 + G0]:

Доказательство. Действительно, для любого i 2 N [ f0g:

¤

Ввиду Предложения 2.1. можно определить операцию сложения на множестве многочленов A[x], полагая

Предложение 2.2. Множество многочленов A[x] является абелевой группой относительно операции (2.2)

g

Доказательство. Пусть F; G; H 2 A[x]. Тогда для любого i 2 N [ f0g:

(2:3)

(2:4)

i g

(действительно, так как ai(©)-это сумма всех коэффициентов при x в © 2 A[x], а сложение коэффициентовэто сложение в кольце A, являющееся ассоциативной и коммутативной алгебраической операцией, то отсюда и получаем (2.3), (2.4)) Далее, из (2.3), (2.4) и Предложения 2.1, получаем

([F ] + [G]) + [H] = [F ] + ([G] + [H]);

[F ] + [G] = [G] + [F ]:

Таким образом, операция сложения на множестве A[x] коммутативна и ассоциативна.

10