Mnogochlen

линейкой (проверьте!). Таким образом, получим множество точек, соответствующие p

комплексным числам поля K(i j a j), являющегося квадратичным расширением поля K.

Далее, предположим мы построили циркулем и линейкой множество отрезков на комплексной плоскости с началом в точке 0, соответствующим элементам поля F; (K ½ F ) и пусть f 2 F , где

Производя построения отрезков, соответствующих суммам, произведениям и частным , мы можем построить все отрезки, соответствующие полю F (pf), являющемуся квадратичным расширением поля F .

Таким образом, циркулем и линейкой можно строить на плоскости множества отрезков соответсвующих числам цепочки расширений

p p

K = F0 $ F1 = F0( f1) $ ¢ ¢ ¢ $ F = Fm = Fm¡1( fm):

По Теореме о башне расширений deg Fm=K = 2m. Можно показать, что таким же способом (выбирая подходящую цепочку расширений степени два) можно построить и нормальное расширение L=K, содержащее Fm и имеющее степень 2d; d ¸ n. Тепрь, если f =j f j (cos arg f + i sin arg f) 2 L, то минимальный многочлен pf 2 K[x] имеет вещественные коэффициенты (K ½ R), а значит,

Следовательно, deg L(j f j)=L = 2 или 1 (x11, УПРАЖНЕНИЕ 2). При этом, расширение deg L(j f j) можнно также погрузить в нормальное расширение M=K степни 2l. Таким образом, для любого комплексного числа f, построенного циркулем и линейкой (операциями сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения квадратного корня )из изначальных отрезков можно получить и вещественное число j f j (теми же операциями), как элемент некоторого нормального расширения M=K степени 2l.

2) Рассматривая отрезки на координатной плоскости как комплексные числа, можно доказать, ипользуя соображения аналитической геометрии, что из исходных отрезков можно получать новые циркулем и линейкой только применяя последовательно операции сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения квадратного

51

корня. Отсюда получается , что всякий такой отрезок должен содержатся башне расширении степни исходного поля K, которое можно расширить таким же способом и до нормального расширения степени 2l, содержащего вещественное положительное число, равное длине построенного отрезка.

3) Существуют расширения F=K степени 2l, которые не есть башня расширений степени 2 и которые нельзя вложить в нормальное расширение степени 2l. Если 0 < ® 2 R; F = K(®),то отрезок длины ® построить циркулем и линейкой исходя из отрезков a0 = 1; a1; : : : an.

Классические задачи древности.

1. Удвоение куба: построить куб, объем которого равен удвоенному обьему данного куба.

Хотя речь идет о кубах имеется ввиду планеметрическая задача. Задано ребро куба p

a. Требуется построить ребро длиной 3 2a3. Очевидно, можно считать a = 1. Тогда p

требуется построить отрезок длиной 3 2. В данном случае, a0 = a = 1; K = Q(1) = Q.

p

расширений, для любого расширения L=Q такого, что 3 2 2 L имеет место

p p p

deg LQ = deg L=Q( 3 2) deg Q( 3 2)=Q = deg L=Q( 3 2)3 6= 2l:

Таким образом, ввиду Теоремы 12.1. задача об удвоении куба неразрешима.

2. Квадратура круга: построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

Задан круг радиуса r. Надо построить квадрат , со сторонойp¼r2. Опять можно считать, что r = 1. По теореме 12.1. задача построения отрезка ¼ эквивалентна

p¼ 2 L; deg L=K = 2l; L=Q ¡ нормальное расширение:

Но число ¼-трансцендентное. Следовательно, p¼-также трансцендентное (действительно,

) ¼ 2 Qalg ¡ противоречие:)

Поэтому, если p¼ 2 L, то L=Q-бесконечное расширение, а значит задача о квадратуре круга неразрешима.

3. Триссекция угла: разделить угол на 3 равных части.

52

Дан угол 3Á. Построить угол Á. Как было сказано выше, построение углов эквивалентно построению отрезков, длины которыхкосинусы углов. Итак задан отрезок cos 3Á. Построить отрезок cos Á. Имеем

cos 3Á = cos(2Á + Á) = cos 2Á cos Á ¡ sin2Á sin Á = (2 cos2 Á ¡ 1) cos Á ¡ 2 sin2 Á cos Á = :

= (2 cos2 Á ¡ 1) cos Á ¡ 2(1 ¡ cos2Á) cos Á = 4cos2Á ¡ 3cosÁ:

Таким образом, если a0 = 1; a1 = a = cos 3Á, то искомый отрезок b = cos Á является корнем многочлена

deg Q(b)=Q(a) = 3 и, ввиду теоремы о башне, конечные расширения Q(a) , содержащие b нельзя вставить в расширения степени 2l, а значит задача триссекции для такого угла неразрешима.

Заметим, что многочлен (*) заведомо неприводим для всех трансцендентных a. Действительно, если a 2= Qalg, то Q(a)-поле изоморфное полю рациональных функций Q(y) (Теорема 10. 5). Для такого поля можно доказать аналог Теоремы 7.3, а именно, пусть Q[a] = ff(a) j f 2 Q[y]g ½ Q(a)-подкольцо поля Q(a), изоморфное кольцу многочленов Q[y], тогда

многочлен Á 2 Q[a][x] ¡ неприводим над полем Q(a) ,

, Á 2 Q[a][x] ¡ неприводим над кольцом Q[a]:

Теперь предположим, многочлен 4x3 ¡ 3x ¡ a приводим над полем Q(a). Тогда он проиводим и над кольцом Q[a], а значит имеет корень в Q[a] (так как приводимый многочлен над кольцом степени три должен иметь корень в данном кольце). Поэтому,

4x3 ¡ 3x ¡ a = (x ¡ f(a))(4x2 + g(a) + h(a));

где f; g; h 2 Q[x]. Так как Q[a] t Q[y], то из равенства f(a)g(a) = a следует f(a) = °a; ° 2 Q; g(a) = °¡1 или g(a) = °a; f(a) = °¡1: Однако,уравнение (*) , очевидно не имеет ни рациональных корней , ни корней вида °a; °¼Q:

Заметим, что легко подобрать и алгебраические числа (и даже рациональные a 2 R; 0 < a < 1 для которых многочлен (*) неприводим над Q(a). Например, положим a = 34 . Тогда

многочлен 4x3 ¡ 3x ¡ 34 ¡ неприводим над полем Q(a) = Q ,

, многочлен 16x3 ¡ 12x ¡ 3 ¡ неприводим Q:

Но многочлен 16x3 ¡ 12x ¡ 3 ¡ неприводим над Q ввиду критерия Эйзенштейна.

53

4. Построение правильного n-угольника.

Построение правильного n-угольника , очевидно, эквивалентно построению угла 2n¼ или отрезка cos 2n¼ . Можно показать, что Q(cos 2n¼ )=Q является нормальным рас-

Простые числа вида p = 2d + 1 называются числами Ферма. Легко видеть, что если p = 2d + 1-простое число, то d = 2m для некоторого m. Для m = 0; 1; 2; 3; 4 число p = 22m + 1-простое, а для m = 5 число 225 + 1 = 641 не является простым. В настоящее время нет общих критериев, дающих ответ на вопрос для каких m число 22m +1 будет простым. Более того, неизвестно является ли множество простых чисел Ферма конечным или бесконечным.

III. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ БУКВ (ПЕРЕМЕННЫХ).

x 13: Определение многочленов

от нескольких букв (переменных) над кольцом.

Ниже A-кольцо,x1; x2; : : : ; xn-некоторая конечная последовательность букв (символов).

54

Одночлены от нескольких букв.

Определение 13.1. Одночленом над кольцом A от букв (переменных) x1; x2; : : : ; xn называется выражение (символ) вида

axm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n ;

где a 2 A; mi 2 N[f0g: При этом, a называется коэффициентом одночлена, а число m = m1 + m2 + ¢ ¢ ¢ + mn называется его степенью. Одночлены вида 0xm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n называется нулевыми.

Соглашение. Одночлен степени ноль будем отождествлять с его коэффициентом a 2 A. Одночлен вида 1xm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n будем записывать xm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n . Одночлен

вида

axm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmi i xmi+1i+1=0xmi+2i+2 ¢ ¢ ¢ xmn n

будем записывать также

axm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmi i xmi+2i+2 ¢ ¢ ¢ xmn n :

Формальные суммы одночленов и их тождественные преобразования.

Определение 13.2. Формальной суммой одночленов над кольцом A от букв (переменных) x1; x2; : : : ; xn называется выражение (символ) вида

f1 + f2 + ¢ ¢ ¢ + fk

где fi -одночлены над кольцом A от букв (переменных) x1; x2; : : : ; xn

Определение 13.3. Элементарными тождественными преобразованиями формальных сумм одночленов над кольцом A от букв (переменных)x1; x2; : : : ; xn называются следующие преобразования:

1). Перестановка рядом стоящих членов формальной суммы.

2) "Приведение рядом стоящих подобных членов", т.е. замена формальной суммы вида

¢ ¢ ¢ + axm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n + bxm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n + ¢ ¢ ¢

на сумму вида

¢¢ ¢ + (a + b)xm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n + ¢ ¢ ¢ :

3)Разложение члена суммы в сумму двух членов, т.е. замена формальной суммы

вида

¢ ¢ ¢ + (a + b)xm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n + ¢ ¢ ¢

на сумму вида

¢ ¢ ¢ + axm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n + bxm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n + ¢ ¢ ¢

55

4)Вычеркивание нулевого члена (за исключением случая суммы, состоящей из одного нулевого члена).

5)Приписывание нулевого члена.

Определение 13.4. Тождественным преобразованем формальной суммы одночленов над кольцом A от букв (переменнх) x1; x2; : : : ; xn называется последовательное применение конечного числа элементарных тождественных преобразований.

Обозначим через A[x^1; : : : ; xn]-множество формальных сумм над кольцом A одночленов от букв x1; x2; : : : ; xn. Если для формальных сумм F; G 2 A[x^1; : : : ; xn] существует тождественное преобразование , переводящее F в G, то будем писать:

F Ã G:

Если данное преобразование каклибо обозначено, скажем буквой T , то будем писать:

T

F Ã G:

Предложение 13. 1. Бинарное отношение Ã является отношением эквивалентности на множестве A[x^1; : : : ; xn].

Доказательство. Аналогично Предложению 1.1.

¤

Отношение эквивалентности Ã разбиает множество формальных сумм A[x^1; : : : ; xn] на классы эквиалентности. Для формальной суммы F 2 A[x^1; : : : ; xn] соответствующий класс эквивалентности будем обозначать [F ].

Многочлены от нескольких букв и их нормальные формы.

Определение 13.5. Класс эквивалентных формальных сумм одночленов над кольцом A от букв (переменных) x1; : : : ; xn называется многочленом над кольцом

A от букв x1; : : : ; xn.

Множество многочленов над кольцом A от букв (переменных) x1; : : : ; xn обозначается символом A[x1; : : : ; xn]. Ввиду соглашений, введенных выше будем считать

A[xi1 ; : : : ; xir ] ½ A[x1; : : : ; xn]

для любой последовательности i1; : : : ; ir 2 [1; n]. В частности, и пустой

A ½ A[x1; : : : ; xn]:

56

Положим:

Nn = f(m1; m2; : : : ; mn) j mi 2 N [ f0gg

Nn;d = f(m1; m2; : : : ; mn) 2 Nd j m1 + ¢ ¢ ¢ + mn = dg:

Пусть º = (m1; : : : ; mn) 2 Nn; F 2 A[x^1; : : : ; xn]. По аналогии с функциями ai для многочленов от от одной буквы определим функцию

также следующее

Предложение 13.2. Для любого ненулевого многочлена f 2 A[x1; : : : ; xn] в соответствующем ему классе формальных сумм одночленов найдется представитель вида

для i = l; l ¡ 1; : : : ; 0:

¤

Многочлены fi в (13.1), в которые входят одночлены степени i будем называть

однородными компонентами многочлена f.

Поскольку одночлены входящие в fi не упорядочены, форма (13.1) не является однозначной. Для упорядочивания одночленов, рассматривается на множестве Nn.

Лексикографический порядок.

Для ¹ = (k1; : : : ; kn); º = (m1; : : : ; mn) 2 Nn определим

57

(Читается: º старше ¹ или ¹ младше º)

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что бинарное отношение Â (Á) -строгий линейный порядок на множестве Nn.

Определение 13.6. Строгий линейный порядок Á на множестве Nn называется лексикографическим.

Нормальные формы.

Определение 13.7. Представитель вида (13.1) класса формальных сумм , соответствующему многочлену f такой что в каждой однородной компоненте fi одночлены выписаны в порядке убывания :

называется нормальной формой многочлена f. . Нормальной формой нулевого многочлена считаем 0.

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что нормальная форма многочлена [F ] единственна, а одночлены коэффиценты aº (º 2 Nn) одночленов aºxm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n , входящих в разложение [F ], вычисляются по формулам

aº = aº(F ):

Соглашение. Обычно при записи нормальной формы опускают нулевые члены.

Определение 13.8. Пусть

f= fl + fl¡1 + ¢ ¢ ¢ + f0

-нормальная форма многочлена f. Тогда число l называется степнью многочлена f и обозначается deg f.

Определение 13.9. Многочлен f называется однородным, если его нормальная форма состоит из одной однородной компоненты.

Замечание. Иногда под нормальной формой понимают форму, в которой одночлены упорядочены только относительно лексикографического порядка (без учета степени одночленов.)

Другие определения многочленов от нескольких букв .

58

Есть более простые подходы к определению многочленов. 1) Можно определить многочлен как выражение (символ)

X0 X

aºxm1 1 xm2 2 ¢ ¢ ¢ xmn n ;

i=l º2Nn;i

где суммирование по º 2 Nn;i рассматривается в порядке убывания (т.е. отождествить его с его нормальной формой.)

2) Можно определить многочлен как функцию

f : A £ A £ ¢ ¢ ¢ £ A ! A;

| {z }

n раз

определенную подстановкой a1; a2; : : : ; an 2 A вместо соответствующих букв:

59