Mnogochlen

Тогда

Из Определения 8.4., получаем Km = K(®1; : : : ; ®m):

¤

x 9: Конечные расширения полей.

Теорема 9.1. Конечное расширение поля является алгебраическим.

Доказательство.

deg L=K = n ) 1; ®; ®2; : : : ; ®n+1 линейно зависимы для любого ® 2 L )

¤

Пусть L=K-расширение поля K. Пусть

K = K0 ½ K1 ½ K2 ½ ¢ ¢ ¢ ½ Kn = L

цепочка вложенных промежуточных расширений. Такую цепочку будем называть

башней расширений полей.

Теорема 9.2. О башне расширений полей. Пусть

K = K0 ½ K1 ½ K2 ½ ¢ ¢ ¢ ½ Kn = L

башня расширений полей. Тогда

i.L=K ¡ конечно , Ki=Ki¡1 ¡ конечно для любого i:

ii.deg L=K = Qni=1 deg Ki=Ki¡1:

Доказательство. i. )-очевидно. ( следует из ii.

ii. Достаточно проверить формулу для n = 2 (Общий случайиндукция по n). Итак пусть K ½ F ½ L. Если deg F=K = 1, то deg L=K = 1 (так как F -линейное

41

подпространство линейного пространства L над полем K). Итак пусть f1; : : : ; fm- базис F над K, а l1; : : : ; lk-базис L над F . Покажем ffiljgi·m;j·k-базис L над K.

|{z}

2

x 10: Простые расширения полей.

Пусть L=K-расширение поля K, и пусть ® 2 L.

Теорема 10.1. О строении простого алгебраического расширения. Пусть

L=K-расширение поля K, и пусть ® 2 L-алгебраический элемент над K. Пусть p®-его минимальный многочлен. Тогда

1; ®; : : : ; ®n¡1;

где n = deg p® - базис поля K(®) над K.

Доказательство. Ввиду Предложения 8.2.,

K(®) = ffg((®®)) j f; g 2 K[x]; g(®) 6= 0g:

Пусть f; g 2 K[x]; g(®) =6 0. Тогда

42

Поэтому 1; ®; : : : ; ®n¡1-линейно независимы.

¤

Следствие 10.2. Пусть ®-алгебраический элемент над K и пусть p®-его минимальный многочлен. Тогда deg K(®)=K-конечное расширение и

deg K(®)=K = deg p®

.

¤

Если F=K-простое расширение и F = K(®), то элемент ® -называется примитивным элементом расширения F=K.

Теорема 10.3. О примитивном элементе. Конечное расширение поле характеристики ноль является простым.

Доказательство.

Лемма 10.4. Пусть K-поле характеристики ноль и пусть f 2 K[x]- неприводимый многочлен над K. Тогда любой корень многочлена f ( содержащийся в некотором расширении L=K) является простым корнем.

Доказательство. Предположим, существует корень ® 2 L многочлена f 2 K[x] кратности больше, чем 1. Тогда ®-также корень производной f0 2 K[x] (Теорема 5.3.). Так как fнеприводимый многочлен над K и deg f0 = deg f ¡ 1, то (f; f0) = 1. Следовательно,

Докажем теперь Теорему 10.3.

Пусть L=K-конечное расширение. Тогда

L = K(®1; : : : ; ®n)

43

для некоторых ®1; : : : ; ®n 2 L. Действительно, возьмем ®1 2 L n K. Тогда K $ K1 = K(®1) ½ L. Далее, если K1 6= L возьмем ®2 2 L nK1. Тогда K $ K1 $ K2 = K1(®2) ½ L. Продолжая процесс получим на некотором шаге Kn = Kn¡1(®n) = L, поскольку степень расширения Ki=K растет с ростом номера i.

Таким образом, надо показать, что для любых ®1; : : : ; ®n существует такой элемент

® 2 K(®1; : : : ; ®n)

K(®1; : : : ; ®n) = K(®):

Очевидно достаточно рассмотреть случай n = 2 (общий случай-по индукции). Итак рассмотрим конечное расширение L=K = K(°; ±)=K, где K(°) =6 L; K(±) =6 L:

Пусть p°; p±-соответствующие минимальные многочлены. Пусть далее,

¡ = f¯ 2 L j p°(¯) = 0g; ¢ = f¯ 2 L j p±(¯) = 0g:

(Напомним, L-алгебраическое замыкание поля L. Следовательно, в L многочлены p°; p± представляются в виде произведения линейных множителей.)

Так как ¡; ¢-конечные множества , а поле K-бесконечно ( char K = 0), то сущнствует такой элемент a 2 K, что

µ = ° + a± =6 °0 + a±0 для любых °0 2 ¡; ±0 2 ¢; ±0 =6 ±:

Положим

def

f(x) = p°(µ ¡ ax):

K(®; ¯) ½ K(µ) ) K(®; ¯) = K(µ):

¤

Поле дробно-рациональных функций. Пусть K[x] -кольцо многочленов над полем

K. Обозначим множество пар многочленов (f; g); f; g 2 K[x]; g 6= 0, записанных в

44

]

На множестве K(x) введем бинарное отношение

fg t he , fe = gh:

сто fg t he будем писать fg = he ;

Докажите: любая дробь представляется в виде суммы многочлена и простейших дробей.

Определение 10.1. Поле K(x) будем называть полем дробно-рациональных функций.

45

Теорема 10.5. О строении простого трансцендентного расширения. Пусть

®-трансцендентный элемент над K и Тогда существует изоморфизм полей

:g(®)e(®)

Таким образом, Á-корректно определенное отображение из поля дробно рациональных функций в поле K(®). Кроме того, для многочлена нулевой степени a 2 K[x] из определения Á следует:

¤

x 11: Алгебраические расширения полей.

Теорема 11.1. Пусть L=K -расширение поля K. Пусть

46

¡1 Теорема 9:1

) deg K(® + ¯)=K; deg K(®¯)=K; deg K(®¯ )=K < 1 )

) ®+¯; ®¯; ®¯¡1 2 (L=K)alg ) (L=K)alg ¡ поле:

¤

Определене 11.1.Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Комплексное число, не являющееся алгебраическим называется трансцендентным.

Вопрос о существовании трансцендентных чисел был решен только во второй середине 19 века французким математиком Лиувиллем. Трансцендентность числа e была докакзана также французским математиком Ш.Эрмитом в 1873, а числа ¼-немецким математиком Линдеманом в 1882.

Множество всех алгебраических чисел (C=Q)alg является полем (Теорема 11.1). Это поле обозначается Qalg и называется полем алгебраических чисел.

Замечание 11.1. Отметим deg Qalg=Q = 1. Действительно, предположим deg Qalg=Q = n 2 N: Многочлен p = xn+1 ¡ 2 2 Q[x]-неприводим над Q по кри-

Противоречие.

Пример алгебраического расширения deg Qalg=Q показывает, что обращение Теоремы 9.1-неверно: не всякое алгебраическое расширение является конечным.

Следовательно, множество Q[x]n-счетно (см. Введение). Далее, множество

alg def

Qn = f® 2 C j f(®) = 0; 0 6= f 2 Q[x]ng

47

n2N

является объдинением счетного числа счетных множеств ( корней Qalgn ). Следовательно, множество Qalgn -счетно (см. Введение).

¤

Следствие 11.3 Множество трансцендентных чисел-несчетно.

Доказательство. Множество вещественных чисел R-несчетно (см. Введение). Следовательно, множество комплексных чисел C -также несчетно. Ввиду Теоремы 11.2, множество трансцендентных чисел C n Qalpg-несчетно.

¤

Доказательство несчетности трансцендентных чисел сравнением мощностей C и Qalg ( а следовательно, также и существование трансцендентных чисел) было получено немецким математиком Г.Кантором в конце 19 века.

Q ½ K0 = Q(a0) ½ K1 = K0(a1) ½ ¢ ¢ ¢ ½ Ki = Ki¡1(ai) ½ ¢ ¢ ¢ ½ Kn = Kn¡1(an):

Тогда для любого i

ai ¡ алгебраический элемент над Q ) ai ¡ алгебраический элемент над Ki¡1 )

Пусть ® 2 C-корень f. Так как a0; a1; : : : ; an 2 Kn, то f 2 Kn[x] и ®-алгебраический элемент над Kn. Следовательно, deg Kn(®)=Kn < 1, а значит (Теорема о башне) deg Kn(®)=Q < 1. Таким образом, расширение Kn(®)=Q-конечно, а значит является алгебраическим расширением (Теорема 9.1). Так как ® 2 Kn(®), то ®-алгебраический элемент над Q. Таким образом, существует корень f в Qalg.

¤

.

Замечание 11.2. Можно показать, что Qalg-это алгебраическое замыкание поля рациональных чисел.

УПРАЖНЕНИЕ Пусть z = a + bi 2 F ½ Qalg. Доказать

48

1) z¹ = a ¡ bi 2 Qalg;

2) если z; z¹ 2 F , то deg F (j z j)=F · 2:

x 12: Построение циркулем и линейкой.

Классическая геометрическая задача -построение циркулем и линейкой.

Под циркулем будем понимать возможность копировать данный отрезок на прямой или строить окружность , радиус которой -данный отрезок. Под линейкой будем понимать возможность проводить прямую через , в частности, через заданную точку (какую либо) или две заданных точки (единственную). Пусть теперь заданы какиелибо фигуры на плоскости, определяемые отрезками и углами. Требуется построить другие фигуры,определяемые отрезками и углами.

Заметим, что любой отрезок, можно считать единицей измерения. Поэтому будем считать, что такой отрезок всегда задан (если изначально, такой отрезок не задан, то в данные возьмем любой зафиксированный отрезок.) Тогда все остальные отрезки будут однозначно соответствовать вещественным числам.

Далее, если имеется угол, то можно построить циркулем окружность единичного радиуса с центром в вершине угла. Далее, можно спроектировать точку пересечения одного из лучей с окружностью на прямую, содержащую другой луч, используя только циркуль и линейку. Длина проекции-это косинус данного угла ( с точность до знака). Очевидно, возможность копирования этого "косинуса"и процедуры восстановления перпендикуляра к данной прямой в данной точке циркулем и линейкой дает возможность копирования данного угла. Таким образом, углы также определяются отрезками.

Теперь сформулируем задачу более конкретно. Задан отрезок a0 = 1, являющийся единицей измерения. Далее, заданы отрезки a1; a2; : : : ; an. Требуется построить циркулем и линейкой отрезок длины b:

Соглашение. Длину отрезка a также обозначаем символом a.

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Пусть заданы отрезки a0 = 1; a; b: Тогда циркулем и линейкой можно построить отрезки следующих длин: a + b; a ¡ b (a ¸ b); ab; ab ; pa:

49

Определение 12.1. Алгебраическое расширение L=K поля K называется нормальным , если для любого ® 2 L все корни минимального многочлена p® также лежат в L.

Примеры. p

1. Пусть K = Q; L = Q( 2). Тогда L=K-нормальное расширение

Доказательство следующей теоремы выходит за рамки данного курса.

Теорема 12.1. Пусть заданы отрезки a0 = 1; a1; a2; : : : ; an. Пусть, далее, K = Q(a1; : : : ; an). Тогда отрезок b можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда , когда b содержится в некотором нормальном расширении L=K степени 2m для некоторого m 2 N [ f0g.

Комментарии к Теореме 12.1.

1). Пусть заданы отрезки (длины)a0 = 1; a1; : : : an. Поскольку можно строить отрезок равный a + b; a ¡ b (a ¸ b); ab; ab для данных отрезков (длин) a; b, то можно по-

строить все отрезки , длины которыхположительные числа поля K = Q(a1; : : : ; an). Далее, введем систему координат на плоскости ( циркулем и линейкой можно построить взаимно-перпендикулярные прямые) и будем ассоциировать числа поля K c вещественными числами. Тогда отрезки, соответствующие отрицательным числам, также могут быть построены на луче отрицательных чисел. Теперь , если требуется построить отрезок длины pa 2= K для a 2 K; a > 0; (это можно сделать; см. Упражнение 1.), то присоединение его к полю K даст квадратичное расширение K(pa)=K (на вещественной оси). Предположим, теперь a 2 K; a < 0. Тогда pa = i j a j.

p

p

Можно построить отрезок длиной j a j на мнимой оси. Заметим, что сложение и умножение комплексных чисел соответствует сложению векторов и перемножению модулей при сложении аргументов. Все эти операции можно осуществить циркулем и

50