Mnogochlen

Замечание 5.4. Заметим, что сумма кратностей корней многочлена f 2 K[x]; deg f ¸ 1 в алгебраически замкнутом поле K

m1 + ¢ ¢ ¢ + mk

равна степени многочлена deg f = n: Поэтому можно сказать, что число корней многочлена не нулквой степени в алгебраически замкнутом поле равно степени многочлена, если каждый корень считать столько раз какова его кратность.

Замечание 5.5. Если K не является алгебраически замкнутым полем, то утверждение Теоремы 5.4. неверно. Например, K = R; f = x2 + 1:

Теорема 5.5 Пусть K алгебраически замкнутое поле и f 2 K[x]; n = deg f ¸ 1. Тогда образ функции f : K ! K совпадает с K.

Доказательство. Для любого ® 2 K, существует ¯ 2 K такое что ¯-корень многочлена f ¡ ®.

¤

Доказательство следующих двух теоремы выходит за рамки данного курса.

Теорема 5.6. Основная Теорема Алгебры. Поле C- алгебраически замкнуто.

Теорема 5.7. Для любого поля K существует алгебраически замкнутое поле K (называемое алгебраическим замыканием поля K), удовлетворяющее следующим условиям:

1)K ½ K.

2)Если L - промежуточное поле :K ½ L ½ K и L-также алгебраически замкнуто, то L = K:

3)Если поле F удовлетворяет условиям 1), 2) для поля K, то существует изоморфизм (см. Введение)

µ: K ! F

такой, что µ(®) = ® для любого ® 2 K.

x 6: Факториальность кольца многочленов над полем.

31

Определение 6.1. Пусть K-поле . Многочлен f 2 K[x]; deg f ¸ 1; называется неприводимым над полем K, если

f = gh; g; h 2 K[x]; ) deg g = 0 или deg h = 0:

В протином случае многочлен f называется приводимым.

Замечание 6.1. Многочлены первой степени являются непрводимыми над любым полем.

Замечание 6.2. Понятие неприводимости -понятие относительное, зависящее от поля над которым рассматривается данный многочлен. Например, многочлен f = x2 + 1 можно рассматривать как многочлен над полем Q или R, где он неприводим, или над полем C, где f = (x ¡ i)(x + i).

Теорема 6.1. Пусть K поле и f 2 K[x]; n = deg f ¸ 1. Тогда многочлен f раскладывается в произведение неприводимых над K многочленов. При этом, такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и их умножения на элементы из K¤.

Доказательство. Доказательство: индукция по n = deg f. Для n = 1 утвержедение -очевидно.

Предположим утверждение теоремы имеет место для всех многочленов, степень которых меньше n = deg f. Рассмотрим многочлен f. Если он неприводим, то утверждение теоремы очевидно выполнено. Предположим f = f1f2, где f1; f2 2 K[x]; 0 < deg f1 < n; 0 < deg f2 < n. Ввиду предположения индукции f1; f2 раскладываются в произведение неприводимых над K многочленов. Следовательно и f имеет такое разложение.

Докажем единственность такого раложения. Пусть f = p1p2 ¢ ¢ ¢ pr = q1q2 ¢ ¢ ¢ qs;

где p1; : : : ; pr; q1; : : : qs- неприводимые многочлены над полем K. Так как p1 j f существует номер i такой , что p1 j qi ( в противном случае

Можно считать i = 1. Так как q1-неприводим над K и p1 j q1 , то q1 = ®p1, где ® 2 K¤. Так как f приводим , r; s > 1. Следовательно,

0 < deg p2 ¢ ¢ ¢ pr = deg(®1q2) ¢ ¢ ¢ qs < n:

По предположению индукции, при подходящей нумерации имеем:

q2 = ®1p2; : : : ; pr = ®rqr; r = s;

32

где ®2; : : : ; ®r 2 K¤.

¤

Замечание 6.1. Можно рассматривать нормализованные неприводимые (над K) многочлены, входящие в разложение f 2 K[x]. Далее, можно собрать одинаковые многочлены и записав их произведение в виде соответствующих степеней , получим:

где a0-старший коэффициент многочлена f, p1; : : : ; pk- различные неприводимые (над K) нормализованные делители f, ®1; : : : ; ®k 2 N. Форма (6.1) единственна с точностью до перестановки множителей pi.

УПРАЖНЕНИЕ. Пусть f; g 2 K[x]; deg f; deg g ¸ 1. Дополняя разложение в произведение неприводимых какждого из многочленов нулевыми степенями , получим

f = a0p®1 1 p®2 2 ¢ ¢ ¢ p®kk ; g = b0p¯11 p¯22 ¢ ¢ ¢ p¯kk ;

где ®i; ¯j ¸ 0. Докажите:

1)f : g , ®i ¸ ¯i для любого i = 1; : : : ; k:

2)(f; g) = pmin1 f®1;¯1gpmin2 f®2;¯2g ¢ ¢ ¢ pmink f®k;¯kg:

3)[f; g)] = pmax1 f®1;¯1gpmax2 f®2;¯2g ¢ ¢ ¢ pmaxk f®k;¯kg:

Таким образом, для кольца многочленов над полем имеет место аналог "Основной Теоремы Арифметики"об однозначности разложения на простые ( в случае кольца многочленов -на неприводимые) множители. Свойство колец иметь однозначные раложения элементов на "неразложимые элементы"можно формализовать следующим образом.

Пусть A -коммутативное кольцо с единицей и A¤ = U(A)-группа обратимых элементов. Элемент p 2 A называется простым , если

p = p1p2; p1; p2 2 A ) p1 2 A¤ или p2 2 A¤:

Кольцо A называется факториальным если любой элемент a 2 A; a =6 0; a 2= A¤ разлагаеncz в произведение простых и такое разложение однозначно с точностью до перестановки сомножителей и умножения их на элементы из группы A¤.

Отметим, что для наших примеров факториальных колец Z¤ = f§1g; (K[x])¤ = K¤. В данном курсе мы не обсуждаем свойство факториальности для произвольных колец . Ометим только, что в общем случае кольца не только не являются фактори-

альными, но даже не имеют простых элементов.

33

x 7: Неприводимые многочлены над полями C; R; Q.

Неприводимые многочлены над полями C; R.

Ввиду "Основной Теоремы Алгебры"(Теорема 5.6). Поле C -алгебраически замкнуто, и следовательно, неприводимыми являются только многочлены первой степени (Теорема 5.4).

Для описания неприводимых многочленов над полем R нам потребуется следующее определение. Дискриминантом D(f) многочлена f = a0x2 + a1x + a2 2 K[x] будем называть следующий элемент поля K:

Теорема 7.1. Непрводимыми многочленами над полем вещественных чисел являются только многочлены первой степени и второй степени с отрицательным дискриминантом.

Доказательство. Пусть f 2 R[x]; deg f ¸ 1 и пусть f-неприводим над R. Далее, пусть ® 2 C- корень f (Теорема 5.6). Так как f-неприводим над R, то ® 2= R. Следовательно, ®¹ =6 ®, где ®¹-комплексно-сопряженное к ® комплексное число. Далее, если

f = a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an; a0; : : : ; an 2 R;

то

f(¹®) = a0®¹n + a1®¹n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = a¹0®n + a¹1®n¡1 + ¢ ¢ ¢ + a¹n =

¹

= a0®n + a1®n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = f(®) = 0 = 0:

Таким образом, ®¹-также корень f. Следовательно, (x ¡ ®) j f; (x ¡ ®¹) j f, а значит (УПРАЖНЕНИЕ 4) x4), многочлен Á = (x ¡ ®)(x ¡ ®¹) делит f. Но

¤

34

Неприводимые многочлены над полями Q.

Предложение 7.2. Любой многочлен f 2 Q[x] можно представить в виде f = pq Á

где

p 2 Z; q 2 N; (p; q) = 1; Á = b0xn + b1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + bn 2 Z[x]; (b0; : : : ; bn) = 1:

При этом, такое представление единственно.

Доказательство. Пусть

f = a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an 2 Q[x]:

Тогда

f = a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = pp qq f = pq (pq a0xn + pq a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + pq an) =

:=Á

Далее,

(pi; qi) = 1 для всех i ) (p; qi) = 1 для всех i ) (p; q) = 1: Предположим существует простое число l , делящее все коэффициенты b0; : : : ; bn.

Так как числа fppi g взаимно просты, то l делит q^j для некоторого номера j, а значит делит и какиелибо qj1 ; : : : ; qjs . Пусть i-такой номер, что ld j qi и ld+1 - qj1 ; : : : ; qjs .

35

Заметим, что неприводимость многочлена f над полем Q эквиалентна неприводимости целочисленного многочлена Á. Таким образом, достаточно описать целочисленные неприводимые над Q многочлены. Однако, в отличие от поля вещественных чисел, нет универсального критерия неприводимости таких многочленов.

Теорема 7.3 Многочлен Á 2 Z[x] неприводим над полем Q тогда и только тогда когда он неприводим над кольцом Z.

Доказательство. Лемма Гаусса. Пусть

à = c0xm + c1xm¡1 + ¢ ¢ ¢ + cm; µ = d0xl + d1xl¡1 + ¢ ¢ ¢ + dl 2 Z[x] õ = e0xn+l + e1xn+m¡1 + ¢ ¢ ¢ + em+l

Предположим

(c0; c1; : : : ; cn) = 1; (d0; d1; : : : ; dn) = 1:

Тогда

(e0; e1; : : : ; em+l) = 1:

Доказательство Леммы Гаусса. Предположим простое число l делит e0; : : : ; en. Далее, положим

à = c0xm + c1xm¡1 + ¢ ¢ ¢ + cm; µ = d0xl + d1xl¡1 + ¢ ¢ ¢ + dl 2 Z[x]; (c0; c1; : : : ; cn) = 1; (d0; d1; : : : ; dn) = 1:

Далее, если

õ = e0xn+l + e1xn+m¡1 + ¢ ¢ ¢ + em+l;

36

Теорема 7.4.Критерий Эйзенштейна. Пусть f = a0xn +a1xn¡1 +¢ ¢ ¢+an 2 Z[x]:

Предположим существует простое число p, такое, что:

1)p - a0,

2)p j a1; : : : ; an,

3)p2 - an.

Тогда многочлен f неприводим над Q.

Доказательство. Предположим f приводим над Q. Тогда он приводим над Z (Теорема 7.3). Пусть

f = (b0xm + b1xm¡1 + ¢ ¢ ¢ + bm)(c0xl + c1xl¡1 + ¢ ¢ ¢ + cl); bi; cj 2 Z; m + l = n; m; l ¸ 1:

Пусть

p j bm; p j bm¡1; : : : ; p j bi0+1; p - bi0

(такое i0 существует, поскольку p - a0 = b0c0. ) Положим

37

Противоречие с 2).

¤

Следствие 7.5 Для любого натурального числа n существует неприводимый над Q многочлен f 2 Q[x] степени n.

II.РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ.

x 8: Типы расширений полей.

Определение 8.1. Пусть K-подполе поля L. Тогда поле L называется расширением поля K.

Если поле L рассматривается как расширение поля K, то мы обозначаем его символом L=K.

Заметим, что поле L, являющееся расширением поля K является линейным пространством над полем K. Действительно, на множестве L определена операция сложения, относительно которой L-абелева группа, и умножения , в частности, для любого ® 2 K; l 2 L определено произведение ®l 2 L. При этом, все свойства линейного пространства вытекают из свойств операций в поле.

Если пространство L над K- конечномерно, то его размерность называется степенью расширения L=K и обозначается символом deg L=K. Если это пространство -бесконечномерно, то пишем deg L=K = 1.

Определение 8.2. Расширение L=K-называется конечным , если deg L=K = n 2 N. Если deg L=K = 1, то расширение L=K называется бесконечным.

Примеры.

1.deg C=R = 2 ( здесь 1; i базис C над R.)

2.deg R=Q = 1 (доказательство ниже).

Определение 8.3. Пусть L=K- расширение поля K. Элемент ® 2 L назыается алгебраическим над K, если ® является корнем некоторого ненунулевого многочлена f 2 K[x] .Расширение L=K-называется алгебраическим , если любой элемент ® 2 L является алгебраическим над K. В противном случае расширение L=K-называется трансцендентным.

Примеры.

38

1. C=R-алгебраическое расширение (® 2 C -корень многочлена x2 ¡(®+®¹)x+®®¹ 2

R.

2. R=Q- трансцендентное расширение(доказательство ниже).

Предположим, ®-алгебраический элемент над K. Тогда

P® = ff 2 K[x] j deg f ¸ 1; f(®) = 0g =6 ;:

Нормализованный многочлен p® 2 P® минимальной степени (т.е. deg p® · deg f

Определение 8.4. Пусть L=K- расширение поля K, M ½ L. Расширением поля K порожденное множеством M (или полученное присоединением M) называется подполе поля L (обозначается K(M)), такое что

1)K ½ K(M),

2)M ½ K(M),

39

3) если подполе F ½ L содержит K и M, то K(M) ½ F .

Если M = f®g, то K(M) = K(®) называется расширением полученным присоединением элемента ®. Расширения полученные присоединением одного элемента называются простыми.

Предложение 8.2. Пусть L=K- расширение поля K, ® 2 L: Тогда

¤

Если M = f®1; : : : ; ®mg -конечное множество, то

def

K(®1; : : : ; ®m) = K(M):

Предложение 8.3. Пусть L=K- расширение поля K, ®1; : : : ; ®m 2 L: Пусть, далеее,

K0 = K; K1 = K0(®1); K2 = K1(®2); : : : ; Ki = Ki¡1(®i); : : : ; Km = Km¡1(®m)

Тогда

Km = K(®1; : : : ; ®m):

Доказательство. Индукция по m. Для m = 1 утверждение -тавтология. Предположим Km¡1 = K(®1; : : : ; ®m¡1): Далее,

Пусть F -поле, такое что

®1; : : : ; ®m 2 F ½ L; K ½ F ½ L:

40