Использование дифференциала натурального логарифма

Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относительную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относительная погрешность величины А есть Е_А = DA/А_ср , но d(lnA) = DA/А и, следовательно, D(lnA) = DA/А.

Правило II.

1) Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, ...).

2) Дифференцируют полученный логарифм по всем аргументам.

3) Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, ... абсолютными ошибками соответствующих аргументов Dx, Dy, Dz, … (знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс").

После вычислений получают относительную погрешность Е_А.

4) Абсо­лютную погрешность находят из формулы

DA = A_CP E_A..

Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.

2. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.

Рассмотрим следующие примеры:

1. В результате изучения равноускоренного движения некото­рого тела получено выражение S = v₀×t + a×t²/2, в котором

v₀ = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с²; t = (30 ± 2) с;

S = 12  30 + = 1485 м.

Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при оп­ределении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция не­удобна для логарифмирования. Тогда

.

Так как

DV₀ = 1 м/с; Dt = 2 с; Da = 0.4 м/с²; V₀ = I2 м/с; t_СР = 30 с; a_СР = 2,5 м/с² , то, подставив эти величины в формулу для DS, получим

D

18

S = 1 м/с  30 с + 2 с  12 м/с + 1/2  0.4 м/с²  900 с² + 2.5 м/с²  30 c  2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м » 400 м.

Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда

E_S = 100% = 0.266 100% = 27%.

Окончательный результат будет иметь вид:

S = (1500400) м; Е_S = 27%.

2. При определении центростремительной силы, действующей на тело, вращаю­щееся по окружности, пользуются формулой

F =.

В результате измерений получено: m = (15.5 ± 0.2) кг;

v = (3.45 ± 0.01) м/с; R= (150 ± 5) м;

F = = 1.2299 H.

Для определения абсолютной и относительной ошибок при оценке центростремительной силы в данном случае удобно пользоваться правилом II, т.к. функция F = f (m,v,R) удобна для логарифмирования. Тогда

ln F = ln m + 2 ln v - ln R.

Продифференцировав это равенство, получим

;

Так как

Dm = 0.2 кг; Dv = 0.01 м/с; DR = 5 м; m_СР = 15.5 кг; v_СР = 3.45 м/с; R_СР = 150 м, то

; E_F = 5.2%;

DF = F  E_F = 1.2299 Н 0.052 = 0.06396 Н = 0.06 Н.

При определении центростремительной силы третья цифра слева является сомнительной и F = 1.23 Н. Окончательный результат запишется в виде

F = (1.23 ± 0.06) Н; E_F = 5.2% .

Используя первый или второй способы в расчете абсолютной и относительной ошибок измерений для часто встречающихся зависимостей, можно воспользоваться соответствующими формулами, которые сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Вид функции	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
А = a + b	± (Da + Db)
A = a+ b + c	± (Da + Db + Dc)
A = a - b	± (Da + Db)
A = a×b	± (a×Db + b×Da)
A = a×b×с	± (b×c×Da + a×c×Db + a×b×Dc)
A = an	± n×an-1×Da
A = en	± Dnen	Dn