Задания по пределам для ФИИТ
.pdfМинистерство образования Российской Федерации ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Введение в анализ
Индивидуальные задания по курсу «Математика» для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета
экономики и управления
Екатеринбург 2003
УДК 517.1
Составители Г.Ф.Пестерева, О.Я. Шевалдина
Научный редактор канд. физ.-мат. наук О.Я. Шевалдина
Введение в анализ: Индивидуальные задания по курсу «Математика» для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления/ Г.Ф.Пестерева, О.Я. Шевалдина
Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2003. 30 с.
Индивидуальные задания содержат 26 вариантов упражнений по разделу «Введение в математический анализ» дисциплины «Математика». Каждый вариант включает 7 задач, в том числе одну задачу с экономическим содержанием. Набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Индивидуальные задания предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.
Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»
ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ» , 2003
Учебная литература:
1.Абчук В.А. Экономико-математические методы. – СПб.: Союз, 1999. – 320 с.
2.Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1.– М.: Высш. шк. 2000. – 725 с.
3.Ермаков В.И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов.
– М.: ИНФРА – М, 2000. – 656 с.
4.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИН-
ФРА-М, 1997. – 208 с.
5.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2001. – 688 с.
6.Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. - М.: ЮНИ-
ТИ, 1998. – 472 с.
7.Ляшко С.И. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Ч. 1 – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 432 с.
8.Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 356 с.
9.Сборник задач по математике для втузов: Ч. 1 / Под ред. А.В. Ефимова,
Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 464 с.
10.Томпсон А., Формби Д. Экономика фирмы. – М.: ЗАО «Изд-во БИ-
НОМ», 1998. – 544 с.
11.Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в экономике. – М.: Дело, 2000. – 440 с.
|
Введение в анализ |
Cоставители |
Пестерева Галина Фирсовна |
Редактор |
Шевалдина Ольга Яковлевна |
|
Подписано в печать |
Формат 60х84 1/16 |
||
Бумага типографская |
Офсетная печать |
Усл.печ.л. |
|
Уч.-изд.л. |
Тираж |
Заказ |
Цена «С» |
Издательство ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» 620002, Екатеринбург, Мира, 19
Рецензия
на методическую работу “Введение в анализ. Индивидуальные задания по курсу «Математика» для студентов всех специальностей факультета «Экономика и управление»
Авторы: cт. преподаватель каф. АСиПР Г.Ф.Пестерева, доц., к.ф.-м.н. О.Я. Шевалдина.
Названное пособие является методической разработкой к практическим занятиям по дисциплине “ Математика”. Индивидуальные задания содержат 26 вариантов упражнений по разделу «Введение в математический анализ». Каждый вариант включает 7 заданий, в том числе одну задачу с экономическим содержанием. Набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и домашней работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Система индивидуальных заданий активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики.
Индивидуальные задания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины “Математика” и предназначаются для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления ГОУ ВПО «УГТУ УПИ».
Методическая работа «Введение в анализ» авторов Г.Ф. Пестеревой и О.Я. Шевалдиной соответствует своему назначению и может быть рекомендована к изданию.
Профессор, к.ф.-м.н. кафедры ВМиУМФ |
В.А.Табуева |
Рецензия
на методическую работу «Применение производной и исследование функций. Индивидуальные задания по курсу “Математика” для студентов всех специальностей факультета экономики и управления»
Авторы: cт. преподаватель каф. АСиПР Л.В. Архангельская, cт. преподаватель каф. АСиПР О.Ю. Жильцова,
cт. преподаватель каф. АСиПР Э.С. Оноприенко, доц., к.ф.-м.н. каф. АСиПР О.Я. Шевалдина
Названное пособие является методической разработкой к практическим занятиям по дисциплине “ Математика”. Индивидуальные задания содержат 26 вариантов упражнений по разделу «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории». Каждый вариант включает 8 заданий, в том числе две задачи с экономическим содержанием. Набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и домашней работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Система индивидуальных заданий активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики.
Индивидуальные задания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины “Математика” и предназначаются для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления ГОУ ВПО «УГТУ УПИ».
Методическая работа «Применение производной и исследование функций» авторов Л.В. Архангельской, О.Ю. Жильцовой, Э.С. Оноприенко, О.Я. Шевалдиной соответствует своему назначению и может быть рекомендована к изданию.
Профессор, к.ф.-м.н. кафедры ВМиУМФ |
В.А.Табуева |
Введение в анализ
Индивидуальные задания
Задача 1. Дана числовая последовательность ( xn );
1)найти 2-й, 100-й, n+1-й члены последовательности ( xn );
2)проверить, является ли последовательность ( xn ) монотонной;
3)пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
|
|
|
lim |
xn = A, определив для ε >0 натуральное число N = N( ε) такое, |
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n > N справедливо неравенство |
||||
|
что |
для |
любого |
натурального |
||||||||
|
|
|
xn − A |
|
< ε. |
|
|
|
lim f (x) = A . |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 2. С помощью «ε −δ» рассуждений доказать, что |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→xο |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заполнить следующую таблицу |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
0,1 |
0,01 |
0,001 |
0,0001 |
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 3. Найти пределы функций. |
|
|
|
|
||||||||
Задача 4. При каком значении m |
функция y = f ( x ) |
будет непрерывной в |
||||||||||
|
|
|
точке x0? |
Построить график этой функции. |
|
|
||||||
Задача 5. Найти точки разрыва функции, установить их характер, в точках устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности.
Задача 6. Исследовать на непрерывность и построить схематично графики функций.
Вариант 1
1. xn = 2n2 +1, A = 2 , |
ε =10−3 . |
||||||||||||
|
|
3n2 −1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
а) |
3 x − 6 + 2 |
|
; |
|
||||||||
lim |
|
x3+8 |
|
|
|
|
|||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
lim |
|
|
x3−1 |
|
|
; |
|
|
|||
|
|
sin(1 − x) |
|
|
|||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
д) |
lim x2ctg 2 3x ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||
|
ж) |
lim |
a−x |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→a |
sin a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
и) |
lim |
3 1 +ln x −1 |
; |
|||||||||
|
7 ln x +1 −1 |
||||||||||||
|
|
x→1 |
|
||||||||||
|
log x, |
|
0 < x ≤1, |
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =1. |
4. y = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x >1, |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
m + x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
2x + 2 |
, |
|
|
|
x > −2, |
|||
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
6. |
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 ≤ x ≤1, |
|||
y = 2 − |
|
4 − x , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x −3, |
|
|
|
|
|
x >1; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y = 4 |
9−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
lim |
2x2 |
−8x + 6 |
= 4 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
|
|
|
5x + 2 −5 x5−3 |
; |
||||||||
|
3 3x3+1 + 4 x3 − 4 |
||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
||||||||||||
г) |
lim |
(x − |
|
x(x −1); |
|
|
|
||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3x |
|
|||||||
e) |
lim |
|
x |
− x |
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
− x +1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
З) |
lim |
|
e |
2x |
2 |
+ e−3x |
2 |
|
− 2 |
; |
|
||||
|
|
|
|
cos 4x −1 |
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
к) |
lim |
|
sin3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π |
|
sin8x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5. |
y = |
1+ |
2x arctg x4 −1 . |
|
|||||||||||
б) y = x3 + 2x2 + 3x ; x
7.Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида: q =15 −3 p , s =1 + 4 p . Определите равновесную цену.
Установите графическим способом, является ли модель паутинного рынка «скручивающейся».
Вариант 2
1. xn = |
n2 |
|
, A = |
1 |
, |
ε =10−3. |
|
2n2 +3 |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||
3. a) lim |
2 −3 |
10 − x |
; |
|||||
|
x |
− 2 |
|
|
|
|||
x→2 |
|
|
|
|
|
|||
в) lim |
|
16 − x4 |
|
|
; |
|
||
|
|
|
2) |
|
||||
x→2 sin(x − |
|
|
||||||
д) lim x |
3 ctgx |
3 |
; |
|
|
|
||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) lim |
|
lncos 2x |
|
; |
|
|||
|
|
π 2 |
|
|||||
x→π |
|
|
||||||
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
|
6x2 −5x +1 |
= −1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
б) |
lim |
2 |
x + 33 x −5 x ; |
|||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
3x −3 7x |
|
|||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
x |
9x +1 |
−3x |
||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ x −5 |
1−x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+ x +3 |
|
|
|
||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|||||||||||
з) |
lim |
72x |
+53x − 2 |
; |
|
|||||||||||
|
2x − arctg3x |
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
||||||||||||
и) lim |
4 1 +ln2 x −1 |
; |
|
|
к) lim |
|
tg3x |
. |
|
|
|
|
||||||||||
3 ln2 x +1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
x→πtg4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
2x − m , |
|
|
|
5. y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
− 4x2 |
+3x |
|||||||||
|
1 + |
x, |
|
|
x >1, |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
, |
x ≤0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
+ |
4 |
|
|
|
|
x3 |
−3x2 + 2x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. а) y = log |
x, |
0 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
x − 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
x > 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x −3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) y = 2tgx .
7. Найти время удвоения вклада в банке, если ставка банковского процента составляет 7% годовых.
Вариант 3
1.xn =1 + (0,1)n , A =1, ε =10−4 .
3. |
a) |
lim |
|
|
|
x +1 |
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→−1 6x2 |
+3 +3x |
|
|
||||||||||
|
в) |
lim |
x |
|
|
|
|
2 |
+3 − 4x |
|
|||||
|
|
|
16x |
; |
|||||||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) lim |
ln x −1 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→e |
x − e |
|
|
|
|
|
|||||||
|
ж) lim |
9 x −1 |
; |
|
|
|
|
||||||||
|
7 x −1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
и) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2 |
2x |
; |
|
|
|
lim (sin 2x ) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
x ≤ −1 |
|
|
|||
4. |
|
|
4 |
, |
|
|
, x |
= −1. |
|||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
x, |
x > −1 |
0 |
|
||||
|
|
m |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x ≤0, |
|||||
|
|
|
|
|
x + |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
6. |
a) y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 − 4 − x , 0 < x ≤ 2, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 − 2x, |
|
|
x > 2; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) y = |
|
|
1 − x |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
|
2x2 |
+ 3x |
|
− 2 |
=5 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
lim |
|
|
2x2 + 3 −5 x |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x + 7 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
− x + 3 |
|
3x2 |
−1 |
|
|||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x −8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
е) lim |
ln cos mx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 arctg |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
з) |
lim |
earcsin 5x − earcsin 2x |
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7π |
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ctg |
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
к) |
lim ctgx lncos 2x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y = 2 − |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
16 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) y = |
|
log |
2 |
x x−3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 + e x
7. Даны зависимости спроса q =100 −10 p и предложения s =100 +10 p от це-
ны р. Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене. Постройте график функции выручки и укажите на нем цену р, при которой выручка максимальна; найдите и саму эту максимальную выручку.