ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам

  ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем Для задачи Коши  выполнен один шаг получения приближенного решения методом Эйлера с шагом  Тогда точка  ломаной Эйлера …

			расположена ниже приближаемой интегральной кривой
			расположена выше приближаемой интегральной кривой
			принадлежит приближаемой интегральной кривой
			может лежать как выше, так и ниже приближаемой интегральной кривой

Решение: По условию задачи известно, что начальная точка ломаной Эйлера имеет координаты:  Пусть методом Эйлера получена следующая точка ломаной Эйлера:  где Выясним, где располагается точка  относительно интегральной кривой, являющейся точным решением данной задачи. Вычислим   Получим  и вычислим     Следовательно, интегральная кривая данной задачи выпукла вниз в точке  И вообще, всюду в I координатной четверти Таким образом, интегральная кривая, являющаяся решением данной задачи в I координатной четверти — выпуклая вниз функция. Значение же  — это значение ординаты касательной, построенной к интегральной кривой в точке (0;1), в точке  А эта касательная расположена под графиком интегральной кривой и  

  ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Интерполирование функций: интерполяционные полиномы Лагранжа Функция  представлена таблицей: Тогда график многочлена, интерполирующего эту функцию, пересекает ось  в точке с абсциссой …

			5,5
			11
			6
			0

Решение: Через две точки проходит единственный полином 1-ой степени, графиком которого является прямая. Для получения интерполяционного полинома Лагранжа 1-ой степени требуются два узла  и значения данной функции в них : Подставим в эту формулу   Чтобы получить абсциссу точки пересечения этой прямой с осью абсцисс, приравняем  к нулю:  то есть

  ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Численное дифференцирование и интегрирование Приближенное значение интеграла  вычисленное методом трапеций   с шагом h = 0,5, равно …

			1,375
			1,33
			2,75

Решение: По методу трапеций где   Находим    Таким образом,

 ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Числовые последовательности Числовая последовательность задана рекуррентным соотношением    Тогда значение выражения a₅ – a₄ равно …

			12
			24
			4
			36

  ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Сходимость числовых рядов Сумма числового ряда  равна …

Решение: Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей:  и вычислим n – ую частичную сумму ряда:   Тогда

 ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Область сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенного ряда  равен …

			1
			0

 ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель  равен …

			0
			– 144
			144
			1

 ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Базис и размерность линейного пространства Разложение вектора  по векторам  и  имеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Соотношение  AB = BA  выполняется, только для …

			перестановочных матриц
			единичных матриц
			диагональных матриц
			нулевых матриц

 ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений заключается …

			в последовательном исключении переменных
			в последовательном исключении свободных членов
			в нахождении обратной матрицы
			в вычислении вспомогательных определителей системы

  ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Векторное произведение векторов Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  равна …

			3
			6

Решение: Площадь  параллелограмма, построенного на векторах  и , равна модулю векторного произведения этих векторов, то есть  В нашем случае Следовательно, площадь параллелограмма равна:

  ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве Если  и  – ортогональные векторы из евклидова пространства со стандартным скалярным произведением, такие что   то норма вектора  равна …

			5
			25
			1
			– 1

Решение: Так как  то  и

 ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Градиент скалярного поля Модуль градиента скалярного поля  в точке  равен …

			3
			9

  ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Точка  является точкой разрыва функции …

Решение: Точку  называют точкой разрыва функции  если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данных функций являются точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть  или:   Точка : не является точкой разрыва функции  так как область определения функции  имеет вид  и не является точкой разрыва функции  так как область определения функции  имеет вид  и не является точкой разрыва функции  так как область определения функции  имеет вид  и Таким образом, точка  является точкой разрыва функции

  ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …

			4,5
			5,5
			10,5
			7,5

Решение: Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле  где      Тогда

  ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Основные методы интегрирования Множество первообразных функции  имеет вид …

Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда Произведем замену

  ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Приближенное значение функции  в точке  вычисленное с помощью полного дифференциала, равно …