3.4. Преобразование десятичных чисел в двоичные и обратно

Получить десятичное число из двоичного чрезвычайно просто. Для этого можно воспользоваться следующим правилом. Перевод чисел из системы счисления с основанием q в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда (формула (3.1)) с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример. Перевести .

Пример. Перевести .

.

Перевод из десятичной системы в двоичную несколько сложнее. Рассмотрим несколько алгоритмов.

Метод вычитания. Из десятичного числа вычитаются наибольшая возможная степень двойки, в соответствующий разряд двоичного числа записывается единица, если разность меньше следующей степени двойки, то далее записывается нуль, а если больше записывается единица и опять производится вычитание, и так до тех пор, пока исходное число не уменьшится до нуля. В нижеследующем примере рассматривается перевод десятичного числа в двоичное.

Пример. Перевести

–	149.5
	128	= 27
–	21.5
	16	= 24
–	5.5
	4	= 22
­–	1.5
	1	= 20
–	0.5
	0.5	= 2-1
	0

Таким образом, .

Аналогичное правило справедливо и в общем случае, для перевода из десятичной системы в систему с основанием q. Только после очередного вычитания вместо того, чтобы записать единицу в соответствующий разряд необходимо прибавить единицу к этому разряду. Рассмотрим пример.

Пример. Перевести .

–	149
	64	= 82
–	85
	64	= 82
–	21
	8	= 81
­–	13
	8	= 81
	5

Таким образом, .

Метод деления. Другим методом является так называемый метод деления. Он применяется для преобразования целых чисел. Далее приведен его алгоритм: перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример. Перевести .

149	2
148	74	2
1	74	37	2
	0	36	18	2
		1	18	9	2
			0	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1	2
						0	0	0
							1	 старший разряд

Таким образом, .

Метод умножения. Метод применяется для преобразования правильных дробей (чисел меньших единицы) из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример. Перевести .

	0	5625  2
	1	1250  2
	0	2500  2
	0	5000  2
	1	0000  2
	0	0000

Таким образом, .

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример. Перевести .

	0	65  2
	1	30  2
	0	60  2
	1	20  2
	0	40  2
	0	80 2
	1	60  2
		…

Таким образом, .

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример. Перевести .

,  .