Lektsii_Matanaliz

Если в этом равенстве перейти к пределу при x ! x0; получим a0 = f(x0): Отбросив члены с номером k = 0 и поделив равенство на (x ¡ x0); получим

è ò.ä. ak = f(k)(x0): Следствие доказано.

k!

Теорема (формула Тейлора с остаточным членом общего вида или в форме Шлемильха-Роша). Пусть функция y = f(x) имеет в

некоторой окрестности (a; b) точки x0 производные до (n + 1)-го порядка, x 2 (a; b); p > 0; тогда существует c 2 (x0; x) (èëè c 2 (x; x0)) такая, что справедлива формула

Доказательство. Введем для многочлена Тейлора из правой части доказываемого равенства следующее обозначение

которое можно переписать в виде

f(x) ¡ '(x; x0) ¡ (x ¡ x0)p ¢ Rn+1(x) = 0:

Рассмотрим функцию

Á(t) = f(x) ¡ '(x; t) ¡ (x ¡ t)p ¢ Rn+1(x);

определенную на t 2 [x0; x]:

à) Á(t) - определена, дифференцируема по t (а значит и непрерывна) на

(x0; x);

81

á) Á(x0) = Á(x) = 0;

ò.å. äëÿ Á(t) выполнены все условия теоремы Ролля (Ÿ4.6), следовательно существует c 2 (x0; x) такая, что Á0(c) = 0: Выпишем это равенство в развернутом виде

Отсюда

Из разностного отношения для Rn+1(x) вытекает представление

f(x) = '(x; x0) + (x ¡ x0)p ¢ Rn+1(x) =

Аналогично рассматривается случай x < x0: Теорема доказана. Замечание 3. Если p = n + 1; то представление для остаточного члена

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

82

Замечание 4. Åñëè p = 1; c = x0 + µ(x ¡x0); 0 < µ < 1; то представление для остаточного члена приобретает вид

который называют записью остаточного члена в форме Коши.

Теорема (третье достаточное условие экстремума). Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой окрестности точки x0 производные до 2n-ãî

порядка причем

f0(x0) = f00(x0) = ¢ ¢ ¢ = f(2n¡1)(x0) = 0; f(2n)(x0) 6= 0;

тогда:

à) åñëè f(2n)(x0) < 0; òî x0 - точка локального максимума; á) åñëè f(2n)(x0) > 0; òî x0 - точка локального минимума.

Доказательство. Ïðè n = 1 получаем второе достаточное условие экстремума, при n > 1 производную f0(x) выразим по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Åñëè f(2n)(x0) < 0; òî f(2n¡1)(x) - убывает и при переходе x через x0 (тогда c тоже переходит через x0) меняет свой знак с плюса на минус и точно также будет менять свой знак f0(x); что в силу первого достаточного условия экстре-

мума и означает утверждение теоремы. Вторая часть теоремы доказывается

также. Теорема доказана.

Теорема (третье достаточное условие перегиба). Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой окрестности точки x0 производные до (2n+1)-

83

го порядка причем

f00(x0) = f(3)(x0) = ¢ ¢ ¢ = f(2n)(x0) = 0; f(2n+1)(x0) 6= 0;

тогда x0 - точка перегиба.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме разложим вторую производную по формуле Тейлора

Òàê êàê f(2n+1)(x0) 6= 0; òî f(2n)(x) при переходе аргумента через x0 меняет

свой знак, а значит будет менять свой знак вторая производная, что в силу первого достаточного условия перегиба и означает утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Пример 1. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных

84

jxj · 1:

Пример 2. Ряд Тейлора не всегда представляет породившую его функ-

f(k)(0) = 0 8k 2 N; т.е. ее ряд Маклорена тождественно нулевой, хотя

f(x) =6 0:

Пример 3. Вычисление значений функций sin x è cos x: Значения функций sin x è cos x ïðè x 2 [0; ¼4 ] полностью определяют значения этих функций при остальных x; поэтому ограничимся вычислениями при этих значениях аргумента. Для sin x остаточный член в форме Лагранжа в формуле Маклорена

Поэтому, чтобы обеспечить при вычислении sin x точность 10¡8 достаточно выбрать n таким, чтобы удовлетворить неравенству

85

Пример 4. Вычисление значений функции ln x: Любое число x > 0 åäèí-

ственным образом представимо в виде x = 2® ¢ M; ® 2 Z; 12 · M < 1; тогда ln x = ® ¢ ln 2 + ln M; ãäå ln 2 = 1 ¡ 12 + 13 ¡ 14 + ¢ ¢ ¢ : Число M в свою очередь

4.12Производная в некоторых задачах экономического анализа. (Предельный анализ в экономике.)

86