Lektsii_Matanaliz

Доказательство. Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке

x; òî

y = A ¢ x + ®(Δx) ¢ x;

отсюда следует lim y = 0; что в соответствии с определением непрерыв-

x!0

ности на языке приращений (см. Ÿ3.6) и означает требуемое. Теорема доказана.

Замечание 2. Обратное утверждение неверно, что иллюстрирует пример функции y = jxj непрерывной в точке ноль и не дифференцируемой в этой

точке. Таким образом, непрерывность - необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости.

Замечание 3. Выражение для полного приращения y в определении

дифференцируемости функции представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых A ¢ x линейное относительно x называется главной

частью полного приращения y дифференцируемой функции или дифференциалом функции, для нее существует специальное обозначение

dy = A ¢ x = f0(x) ¢ x:

Очевидно в общем случае (для зависимой переменной) dy =6 y; íî åñëè y = x; òî x = y = dy = dx; таким образом для независимой переменной x = dx; откуда и получаем общепринятую форму записи дифференциала

функции dy = f0(x)dx:

4.2Уравнение касательной к графику функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Механический смысл производной.

Пусть - дуга графика некоторой функции y = f(x); M0 - точка графика, M0N - секущая графика. Устремим точку N ê M0 вдоль графика функции (в предположении непрерывности функции y = f(x)). По мере приближения N ê M0 секущая M0N стремится к некоторому предельному положению M0T; это предельное положение секущей при стремлении N ê M0 вдоль графика y = f(x) называется касательной к графику функции y = f(x) в точке

61

M0: Пусть M0(x0; y0); ' - угол наклона секущей M0N к положительному

ãäå µ - угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox: Ïî-

y = f(x) в точке x0; òî

y0(x0) = tg µ = kêàñ:

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x0 равен значению производной в точке касания x0: Â ýòîì

èсостоит геометрический смысл производной. Поскольку

dy = f0(x0)dx = x tg µ;

òî dy - приращение ординаты касательной к графику функции y = f(x)

в точке x0; соответствующее приращению аргумента x: В этом и состоит

геометрический смысл дифференциала.

Уравнение касательной в точке M0 будем искать в виде

y = kx + b:

Так как касательная проходит через точку M0(x0; y0); то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной

y0 = kx0 + b;

тогда

b = y0 ¡ kx0 = f(x0) ¡ kx0

и следовательно

y = kx + b = k(x ¡ x0) + f(x0):

62

Поскольку k = f0(x0); то отсюда получаем окончательный вид уравнения касательной

y= f0(x0) ¢ (x ¡ x0) + f(x0)

êграфику функции y = f(x) в точке M0(x0; f(x0)):

Замечание. Если функция s = s(t) описывает путь, пройденный точкой

скорость точки за время [t0; t0 + t]: Следовательно, предельное значение

4.3Дифференцирование сложной и обратной функций. Инвариантность формы первого дифференциала.

Теорема (дифференцирование сложной функции). Пусть функция x = '(t) дифференцируема в точке t0; причем x0 = '(t0); функция y = f(x)

дифференцируема в точке x0; тогда сложная функция y = g(t) = f('(t)) дифференцируема в точке t0; причем

g0(t0) = f0(x0) ¢ '0(t0):

Теорема (дифференцирование обратной функции). Пусть функция определена, непрерывна и монотонно возрастает (убывает) на отрез-

тогда она имеет на отрезке [f(a); f(b)] ([f(b); f(a)]) обратную функ-

öèþ x = g(y):

Пусть x0 2 (a; b) - внутренняя точка отрезка [a; b]; y0 = f(x0) - внутренняя точка отрезка [f(a); f(b)] ([f(b); f(a)]): Åñëè y = f(x) имеет в точке x0

63

Пример. Функция x = x(y); являющаяся решением уравнения Кеплера x ¡ ² ¢ sin x = y; 0 < ² < 1; дифференцируема и в силу теоремы о дифференцируемости обратной функции

Теорема (об инвариантности формы первого дифференциала).

Если вместо дифференциала независимой переменной x в формулу для дифференциала dy функции y = f(x) подставить дифференциал некоторой функции x = '(t); то получим равенство вида

dy = df(x)jx='(t) = f0(x)dxjx='(t) = f0('(t)) ¢ '0(t)dt;

которое является дифференциалом сложной функции

df('(t)) = (f('(t)))0tdt:

4.4 Правила дифференцирования.

Теорема. Если функции f(x) è g(x) дифференцируемы в точке x; òî 8c 2 R справедливы следующие равенства:

1) (c ¢ f(x))0 = c ¢ f0(x);

2) (f(x) § g(x))0 = f0(x) § g0(x);

3) (f(x) ¢ g(x))0 = f0(x) ¢ g(x) + f(x) ¢ g0(x);

64

Òàê êàê g(x) дифференцируема в точке x; òî g(x) непрерывна в точке x ( ñì.

Следствие 1. Обобщением правила 2 является следующая формула дифференцирования произведения

(f1(x) ¢ : : : ¢ fn(x))0 = Xn f1(x) ¢ : : : ¢ fk0 (x) ¢ : : : ¢ fn(x):

k=1

Следствие 2. Правила нахождения дифференциалов

1) d(f § g) = df § dg;

2) d(³f ´¢ g) = df ¢ g + f ¢ dg;

3) d f = df¢g¡f¢dg : g g2

65

4.5 Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Если функция y = f(x) имеет производную на некотором множестве A; то на этом же множестве определена функция y0 = f0(x): В случае, когда

эта последняя функция сама имеет производную, тогда такая производная называется второй производной функции y = f(x) и обозначается f00(x) èëè

f(2)(x): Аналогично, если уже найдена n-я производная f(n)(x); òî (n + 1)-я производная может быть найдена по правилу f(n+1)(x) = (f(n)(x))0: Функции, имеющие на множестве A n производных, называются n раз дифференциру-

емыми на этом множестве. Если при этом функция и все ее производные до n-го порядка включительно непрерывны на множестве A; то говорят, что

функция принадлежит классу Cn(A) (åñëè A = [a; b]; то пишут Cn[a; b]). Для вычисления n-ой производной от произведения 2-х функций полезно

использовать следующую формулу Лейбница.

Теорема (формула Лейбница).

Xn

(u ¢ v)(n) = Cni u(n¡i) ¢ v(i) = i=0

= u(n) ¢ v + Cn1u(n¡1) ¢ v0 + Cn2u(n¡2) ¢ v(2) + Cn3u(n¡3) ¢ v(3) + : : : + u ¢ v(n)

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции.

Ïðè n = 1

(u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0 = C10u0 ¢ v + C11u ¢ v0

формула Лейбница справедлива.

Пусть формула справедлива при n = k; тогда при n = k + 1; с учетом свойства биномиальных коэффициентов Cnk + Cnk¡1 = Cnk+1 (см. Ÿ1.3), имеем

(u ¢ v)(k+1) = ((u ¢ v)(k))0 = u(k+1) ¢ v + (Ck0 + Ck1) ¢ u(k) ¢ v0+ +(Ck1 + Ck2) ¢ u(k¡1) ¢ v00 + (Ck2 + Ck3) ¢ u(k¡2) ¢ v000 + : : : + u ¢ v(k+1) =

= Ck0+1u(k+1) ¢ v + Ck1+1u(k) ¢ v0 + Ck2+1u(k¡1) ¢ v00 + Ck3+1u(k¡2) ¢ v000 + : : : +

66

Теорема доказана.

В Ÿ4.1 была получена формула для первого дифференциала функции

dy = f0(x)dx;

ãäå dx дифференциал независимой переменной dx = x: Дифференциал dy сам является функцией от x; поэтому можно поставить задачу о нахождении дифференциала d(dy); который называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y: Вычислим его

d2y = d(f0(x)dx) = (f0(x)dx)0dx = f00(x)dx2 + f0(x)(dx)0dx

Поскольку x независимая переменная, то dx = x приращение аргумента не зависящее от x; поэтому (dx)0 = 0; а значит

d2y = f00(x)dx2:

Далее индукцией по n можно получить формулу

dny = f(n)(x)dxn;

åñëè x независимая переменная.

Åñëè x является функцией некоторой третьей переменной t; ò.å. x = '(t); тогда

dy = df(x)jx='(t) = f0(x)dxjx='(t) = f'0 ('(t)) ¢ d'(t) = f'0 ('(t)) ¢ '0(t)dt; d2y = (f'0 ('(t)) ¢ '0(t)dt)0dt = (f''00 ('(t)) ¢ ('0(t))2 + f'0 ('(t)) ¢ '00(t))dt2 = = fxx00 dx2 + fx0 d2x =6 fxx00 dx2;

таким образом свойство инвариантности для второго дифференциала (равно как и для всех последующих) уже не имеет места.

67

4.6Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях).

Теорема (М. Ролля).Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b]; дифференцируема на (a; b) è f(a) = f(b); то существует хотя бы одна точка c 2 (a; b) такая, что f0(c) = 0:

Доказательство. Пусть m è M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y = f(x) íà [a; b]: Возможны два случая.

1. M = m; тогда функция y = f(x) постоянна на [a; b]; а производная постоянной равна нулю, т.е. f0(x) = 0 ïðè âñåõ x 2 [a; b]:

2. M =6 m: Пусть, для определенности f(a) =6 M; тогда в соответствии с теоремой Вейерштрасса (см. Ÿ3.7) существует точка c 2 (a; b) такая, что f(c) = M: Рассмотрим некоторое приращение x такое, чтобы c + x 2 [a; b]; тогда

реходя к пределу при x ! 0 в этих отношениях, получим по следствию из теоремы о монотонности предела функции (см. Ÿ3.2) f0(c¡0) ¸ 0 ïðè x < 0 (левая производная) и f0(c + 0) · 0 ïðè x > 0 (правая производная). Существование этих пределов следует из дифференцируемости функции y = f(x) во всех внутренних точках интервала (a; b): Из дифференцируемости функции в точке c следует равенство производных f0(c) = f0(c¡0) = f0(c+0) (см. Ÿ4.1), откуда и получаем, что f0(c) = 0: Теорема М. Ролля доказана.

Геометрический смысл теоремы М. Ролля состоит в том, что для любой функции непрерывной на отрезке [a; b]; принимающей на его концах равные

значения и дифференцируемой на (a; b) найдется такая точка на графике функции y = f(x) (вообще говоря не одна), касательная к которому в этой точке параллельна оси Ox:

Теорема (Лагранжа).Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b]; дифференцируема на (a; b); то существует хотя бы одна точка c 2 (a; b) такая,

÷òî

f(b) ¡ f(a) = f0(c) ¢ (b ¡ a)

68

(формула Лагранжа конечных приращений).

Доказательство. Рассмотрим две точки A(a; f(a)) è B(b; f(b)); лежащие на графике функции y = f(x): Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки, исходя из общего уравнения прямой y = k ¢ x + l: Подберем значения параметров k è l так, чтобы координаты точек A è B удовлетворяли

уравнению прямой (

f(a) = k ¢ a + l; f(b) = k ¢ b + l:

Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными относительно k è l; получим

(

l = b¢f(a)¡a¢f(b); b¡a

k = f(b)¡f(a); b¡a

Как разность двух функций непрерывных на отрезке [a; b] и дифференцируемых на интервале (a; b); функция F (x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b): Òàê êàê F (a) = F (b) = 0; то для функции F (x) выполнены условия теоремы М. Ролля, поэтому существует точка c 2 (a; b) такая, что

F 0(c) = 0; ò.å.

Отсюда следует f(b) ¡f(a) = f0(c) ¢(b ¡a): Теорема Лагранжа доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем: отно-

ложительному направлению оси Ox; à f0(c) - тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке (c; f(c)); т.е. на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка c; в которой касательная

69

параллельна прямой AB: Отметим, что условия теоремы Лагранжа не обеспечивают единственности точки c; что показывает следующий пример. Пусть y = x3; [a; b] = [¡2; 2]; тогда по теореме Лагранжа

Теорема (Коши). Если функции y = f(x) è y = g(x) непрерывны на

Функция F (x) непрерывна на [a; b]; дифференцируема на (a; b); причем F (a) = F (b) = 0: Поэтому в силу теоремы М. Ролля существует точка c 2 (a; b) такая, что F 0(c) = 0: Отсюда получаем требуемое. Теорема Коши доказана.

4.7 Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского.

Теорема (неравенство Юнга). Åñëè ® > 0; ¯ > 0; ® + ¯ = 1; òî

8x > 0 выполняется неравенство x® · ® ¢ x + ¯:

Доказательство. Рассмотрим функцию f(t) = t® ¡®t¡¯; в силу условий теоремы f(1) = 1 ¡ ® ¡ ¯; функция f(t) определена на [0; +1) и дифференцируема на (0; +1): Применим к f(t) на отрезке [1; x] теорему Лагранжа

x® ¡ ®x ¡ ¯ ¡ 1 + ® + ¯ = ®(c®x¡1 ¡ 1)(x ¡ 1); 1 < cx < x

èëè

x® ¡ ®x ¡ ¯ = ®(c®x¡1 ¡ 1)(x ¡ 1):

Åñëè x ¸ 1; òî ïðè 0 < ® < 1; c®x¡1 · 1; ò.å. c®x¡1 ¡ 1 · 0 è x ¡ 1 ¸ 0;

откуда следует

x® ¡ ®x ¡ ¯ = ®(c®x¡1 ¡ 1)(x ¡ 1) · 0

70