Lektsii_Matanaliz

имеют в точке x = 0 устранимый разрыв.

Теорема (о точках разрыва монотонной на отрезке функции). Если функция y = f(x) определена и монотонна на отрезке [a; b]; òî îíà

может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода.

Доказательство. Проведем для случая неубывающей на [a; b] функции

x0<x·b

числового множества ( см. Ÿ1.5) имеем:

à) 8x > x0 выполняется неравенство f(x) ¸ l1;

á) 8² > 0 существует x1 > x0 такое, что f(x1) < l1 + ²:

Поскольку y = f(x) неубывающая функция на [a; b]; òî 8x таких, что x0 < x · x1 выполняются неравенства l1 · f(x) · f(x1) < l1 + ² è f(x0) · f(x);

ò.å. l1 = lim f(x) = f(x0 + 0) и в силу монотонности предела f(x0) ·

x!x0+

l1: Аналогично доказывается неравенство l2 · f(x0): Отсюда следует, что величина l1 ¡ l2 ¸ 0 конечна, т.е. x0 может быть только точкой разрыва

первого рода или устранимой. Теорема доказана.

Теорема (критерий непрерывности монотонной функции). Если функция y = f(x) определена и монотонна на отрезке [a; b]; тогда для

непрерывности y = f(x) íà [a; b] необходимо и достаточно, чтобы 8l 2 [f(a); f(b)] (èëè[f(b); f(a)]) нашлась точка x0 2 [a; b] такая, что f(x0) = l:

51

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков ( т.е. f(a) ¢ f(b) < 0), тогда существует точка » 2 (a; b) такая, что f(») = 0:

Пример. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] è a = x1 < x2 < : : : < xn = b; тогда существует точка » 2 [a; b] такая, что

f(») = f(x1) + f(x2) + ¢ ¢ ¢ + f(xn): n

Действительно, пусть

m = min(f(x1); f(x2); : : : ; f(xn)); M = max(f(x1); f(x2); : : : ; f(xn));

тогда

f(xi) = m = n n¢ m · C = f(x1) + f(x2)n+ ¢ ¢ ¢ + f(xn) · n ¢nM = M = f(xj)

по теореме Больцано-Коши на отрезке с концами xi è xj найдется точка » такая, что C = f(»):

3.8 Понятие равномерной непрерывности функции.

Определение. Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве A; åñëè 8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x0; x00 2 A; удовлетворяющих условию jx0 ¡ x00j < ±² выполняется неравенство jf(x0) ¡ f(x00)j < ²:

Очевидно, если функция равномерно непрерывна, то она и просто непрерывна на множестве A; обратное вообще говоря не верно, но справедлива

следующая теорема

Теорема (Г. Кантора). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]; (ò.å. f(x) 2 C[a; b]), то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. От противного. Пусть f(x) 2 C[a; b]; íî f(x) не является равномерно непрерывной на [a; b]; ò.å. 9²0 > 0 ÷òî 8± > 0 найдутся

53

x0; x00 2 [a; b] такие, что jx0 ¡ x00j < ±; íî jf(x0) ¡ f(x00)j ¸ ²0:

Рассмотрим последовательность ±n = n1 > 0; тогда для ²0 > 0 найдутся пары x0n; x00n 2 [a; b] такие, что jx0n ¡ x00nj < ±n è jf(x0n) ¡ f(x00n)j ¸ ²0: Числовая последовательность fx0ng ограничена (a · x0n · b); тогда по тео-

реме Больцано-Вейерштрасса (см. Ÿ2.5) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность x0nk ! »; причем » 2 [a; b]: Соответствующая подпо-

следовательность fx00nk g также сходится к »; что следует из неравенства

Поскольку функция f(x) непрерывна на [a; b]; то по определению непре-

рывности функции (по Гейне)f(x0nk ) ! f(») è f(x00nk ) ! f(»); ò.å. f(x0nk ) ¡ f(x00nk ) ! 0; а значит для ²0 > 0 9N²0 такой, что 8nk > N²0 выполняется неравенство jf(x0nk ) ¡ f(x00nk )j < ²0; но это противоречит выше полученному

неравенству. Теорема доказана.

Пример 1. Функции y = cos x1 è y = sin x1 равномерно непрерывны на любом отрезке [±; 1] ïðè ± > 0 и не являются равномерно непрерывными на

y = cos x1 рассмотрим две последовательности значений аргумента xn = ¼+21¼n; ym = 2¼m1 ; xn ! 0 è ym ! 0 поэтому 8± > 0 при достаточно больших m è n выполняется неравенство jxn ¡ymj < ±;

Пример 2. Функция y = x2 не является равномерно непрерывной на R; хотя по теореме Кантора является таковой на любом отрезке [a; b]: Действи-

Пример 3. Функция y = px равномерно непрерывна на луче x > 1:

54

отсюда 8² > 0 существуетp ±² =p2² > 0 такое, что 8x0 > 1 x00 > 1 из неравенства

jx0 ¡ x00j < ±² следует j x0 ¡ x00j < ²:

3.9Свойства замкнутых и открытых множеств. Компакт. Функции непрерывные на компакте.

Точка x0 называется предельной для множества

окрестности точки x0 содержится бесконечно много точек множества A; при этом сама точка x0 может как принадлежать множеству A; так и не принад-

лежать ему.

Определение. Множество A ½ R называется замкнутым, если оно со-

держит все свои предельные точки.

Определение. Множество A ½ R называется открытым, если каждая его точка содержится в A вместе с некоторой своей ±¡окрестностью. В этом случае точку называют внутренней точкой множества A; соответственно

открытое множество состоит только из внутренних точек.

Пример. Множества [a; b]; [a; +1) - замкнутые, а множества (a; b); (a; +1); (¡1; b) - открытые, полуинтервалы [a; b) è (a; b] не являются ни замкнутыми,

ни открытыми множествами.

Теорема 1. à) Åñëè A - замкнутое множество, то A1 = R n A - откры-

òîå.

á) Åñëè A - открытое множество, то A1 = R n A - замкнутое.

Доказательство. а) От противного. Пусть A1 = RnA не является открытым множеством, т.е. какая-то из его точек x0 2 A1 не является внутренней. Это значит, что во всякой ±-окрестности точки x0

èç A (отличная от x0), а следовательно таких точек бесконечно много. Это в свою очередь означает, что x0 предельная точка для A и в силу замкнутости A; x0 2 A; íî x0 2 A1 = R n A: Полученное противоречие означает открытость множества A1:

55

б) От противного. Пусть множество A1 = R n A не содержит хотя бы одну из своих предельных точек x0; тогда x0 2 A: Но все точки множества A внутренние, поэтому существует ±-окрестность точки x0 целиком состоящая из точек множества A; т.е. там нет точек множества A1 = R n A; но это противоречит предельности точки x0; поэтому x0 2 A1

A1 замкнуто. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. а) Любое объединение открытых множеств открыто, конечное пересечение открытых множеств открыто.

б) Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто, конечное объеди-

A®0 существует ±-окрестность точки x0 целиком лежащая в A®0; тогда эта

ма 2 доказана.

56

Пример. Множество

| {z }

открыто.

замкнутые множества

Определение. Замкнутое и ограниченное множество A ½ R называется

компактным.

Определение. Пусть заданы множество A ½ R и система множеств fB®g: fB®g является покрытием A; åñëè 8x 2 A 9B®0 2 fB®g такое,

÷òî x 2 B®0:

Следующее утверждение обычно принимают за определение компакта.

Лемма (Бореля). Из любого покрытия компакта открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Доказательство. От противного. Пусть A - компактное множество (т.е. замкнуто и ограничено), тогда существует отрезок A ½ [a; b]; но из некоторого открытого покрытия fB®g множества A нельзя выделить конечное подпо-

крытие. Пусть точка x0 делит [a; b] пополам, обозначим через [a1; b1] ту из его половин, в которой множество A T[a1; b1] не допускает выделения конечного

подпокрытия из fB®g: Пусть точка x1 делит [a1; b1] пополам, обозначим через [a2; b2] ту из его частей, в которой множество A T[a2; b2] не допускает выде-

ления конечного подпокрытия из fB®g и т.д. Построим систему вложенных отрезков [an; bn] по длине стремящейся к нулю (т.к. bn¡an = b2¡na ! 0), тогда в

(x0 ¡ ±; x0 + ±) точки x0 содержит в себе целиком все отрезки [an; bn] ñ íîìå-

57

ðàìè n такими, что bn ¡an = b2¡na < ±: В силу замкнутости множества x0 2 A: Но всякая точка множества A покрыта некоторым открытым множеством из

fB®g; поэтому существует B®0 такое, что x0 2 B®0: Однако, в силу открытости B®0 существует ±-окрестность точки x0 такая, что (x0 ¡±; x0 +±) ½ B®0: Íî ýòî

Полученное противоречие завершает

Лемма Бореля доказана.

Теорема (обобщенная Кантора). Функция непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. В силу непрерывности функции для любого ² > 0 для каждой точки x компакта существует ±x-окрестность такая, что jf(x)¡f(x0)j <

Ýòè ±x

2 -окрестности составляют открытое покрытие компакта и в силу леммы Бореля из нее можно выделить конечное подпокрытие из ±x21 ; : : : ; ±x2n - окрестностей. Пусть ±² = min(±x21 ; : : : ; ±x2n ); åñëè x0 è x00 две произвольные

точки компакта такие, что jx00 ¡ x0j < ±²; òî x0 принадлежит одной из выде- ленных ±xi

2 -окрестностей, поэтому

jx00 ¡ xij · jx00 ¡ x0j + jx0 ¡ xij < ±² + ±2xi < ±2xi + ±2xi = ±xi;

но тогда jf(x00) ¡ f(xi)j < 2² ; отсюда получаем

jf(x0) ¡ f(x00)j · jf(x0) ¡ f(xi)j + jf(xi) ¡ f(x00)j < 2² + 2² = ²

что и означает равномерную непрерывность функции на компакте. Обобщенная теорема Кантора доказана.

58

4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

4.1Понятия дифференцируемости функции в точке, производной, дифференциала.

Пусть функция y = f(x) определена в точке x и некоторой ее окрестности и пусть величина x такова, что x+ x также принадлежит области определения функции y = f(x); тогда имеет смысл разность (приращение функции в точке x)

y = f(x + x) ¡ f(x):

Определение. Производной функции y = f(x) в точке x называется пре-

Для этого предела принято использовать следующие обозначения: f0(x)

введено Лагранжем, df Dxf введено Коши. dt введено Лейбницем,

Замечание 1. Åñëè x ! 0+ èëè x ! 0¡; то в пределе получим правую и левую производные f0(x + 0) è f0(x ¡ 0): Очевидно, если существует f0(x) (двусторонняя производная), то существуют и односторонние f0(x + 0) è f0(x ¡ 0); причем f0(x + 0) = f0(x ¡ 0) = f0(x): Обратно, если существуют односторонние производные f0(x + 0) è f0(x ¡ 0) и они равны между собой,

то существует двусторонняя производная равная общему значению односторонних. Если существуют односторонние производные f0(x + 0) è f0(x ¡ 0)

причем

f(x) = jxj; f0(0 + 0) = 1 è f0(0 ¡ 0) = ¡1:

Определение. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x; если (полное) приращение y этой функции в точке x; отвечающее приращению аргумента x; может быть представлено в виде

y = A ¢ x + ®(Δx) ¢ x;

ãäå A - некоторое число, не зависящее от x (но зависящее вообще говоря от x), ®(Δx) - функция от x; бесконечно малая при x ! 0:

Второе слагаемое в определении дифференцируемости функции в точке x можно переписать (см. Ÿ3.5) в виде ®(Δx) ¢ x = ±(Δx); т.е. полное прира-

59

щение y можно представить следующим образом

y = A ¢ x + ±(Δx):

Теорема. Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке x; необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала ее производная f0(x):

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x; тогда в этой точке полное приращение y представимо в

âèäå

y = A ¢ x + ®(Δx) ¢ x;

а значит функция y = f(x) дифференцируема в точке x; ïðè ýòîì f0(x) = A:

Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной (и только для нее!) дифференцируемость в точке эквивалентна существованию в этой точке (конечной) производной f0(x):

Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x; то она непрерывна в этой точке.

60