Lektsii_Matanaliz

Определение. Отображение f : X ! Y называется биекцией (взаимнооднозначным соответствием), если прообраз любого элемента y 2 Y состоит

только из одного элемента.

Для всякой биекции всегда существует обратное отображение g : Y ! X обозначаемое g = f¡1; причем (f¡1)¡1 = f è (g¡1)¡1 = g:

Пример 2. Отображение y : R ! [0; +1) действующее по правилу y(x) = x2 не является биекцией, но действующее по тому же правилу отображение g : [0; +1) ! [0; +1) является биекцией. Отображение из предыдущего примера 1 f : R ! R; действующее по правилу f(t) = t3 ¡ t; также не

является биекцией.

Если отображение g : X ! Y; а отображение f : Y ! Z; то отображение h(x) = (f ± g)(x) = f(g(x)) : X ! Z называется композицией отображений

f è g:

Теорема. Композиция двух биекций является биекцией.

1.7 Мощность множества. Счетные множества. Несчетность R: Плотность (Rn

Q) è R:

Определение. Два множества X è Y называют равномощными (экви-

валентными, имеющими одинаковую мощность) если между ними можно установить биекцию (взаимнооднозначное соответствие), т.е.

а) любому элементу x 2 X соответствует единственный элемент y 2 Y ; б) любому элементу y 2 Y соответствует некоторый элемент x 2 X;

в) разным элементам множества X соответствуют разные элементы Y:

Пишут X » Y èëè cardX = cardY:

Определение. Множество X; эквивалентное множеству натуральных чи- сел N; называется счетным.

Если обозначить через xn элемент счетного множества X; соответствующий числу n 2 N; то образуется последовательность, поэтому говорят, что

элементы счетного множества можно занумеровать числами натурального ряда. Приведем несколько теорем о счетных множествах.

11

Теорема 1. Множество целых чисел счетно.

Доказательство. Зададим биекцию f : N ! Z по правилу f(1) = 0; f(2n) = n; f(2n + 1) = ¡n: Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Любое бесконечно подмножество счетного множества счетно.

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. В начале докажем, что любое бесконечное подмножества множества натуральных чисел

счетно. Пусть N ½ N - бесконечное подмножество в N: По принципу минимального элемента существует n1 = min N: Рассмотрим множество N n fn1g в нем существует n2 = min(N nfn1g) причем n1 < n2 и т.д. в результате мно- жество N можно записать так N = fn1; n2; : : :g; ãäå ni < nk åñëè i < k (т.е. упорядочить множество N по возрастанию) и после этого задать биекцию f : N ! N по правилу f(i) = ni:

Пусть A любое счетное множество (или cardA = cardN) è B ½ A - некоторое его бесконечное подмножество, тогда в силу счетности A существу-

ет биекция f : N ! A; ò.å. f(n) = an è A = fa1; a2; : : : ; ak; : : :g: Множе-

ñòâî B состоит из элементов ank ; здесь nk индексы его элементов. Индексы nk образуют бесконечное подмножество N = fnkg ½ N множетсва нату-

ральных чисел, поэтому в силу уже доказанного выше существует биекция g : N ! N; действующая по правилу g(k) = nk: Отсюда следует, что ком-

позиция h = f ± g : N ! A; действующая по правилу h(k) = f(g(k)) = ank

является биекцией, как композиция биекций. Теорема 2 доказана. Теорема 3. Объединение конечного (или счетного) числа счетных мно-

жеств счетно.

Доказательство. Пусть множества A1; A2; A3; : : : счетные, представим их объединение в виде матрицы

A1 ´ fa11; a12; a13; : : :g;

A2 ´ fa21; a22; a23; : : :g;

A3 ´ fa31; a32; a33; : : :g;

12

:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

èбудем проводить нумерацию членов такого объединения по диагоналям этой матрицы, а именно, 1 ! a11; 2 ! a21; 3 ! a12; 4 ! a31; 5 ! a22; 6 !

a13; : : : ; что и означает счетность объединения. Теорема 3 доказана. Теорема 4 (первая теорема Кантора). Множество Q счетно.

Доказательство. Множество Q можно представить как объединение счет-

Теорема 5 (вторая теорема Кантора). Множество R несчетно.

Доказательство. (от противного) Пусть множество R счетно, т.е. R ´

доказана.

Следствие. Множество иррациональных чисел R n Q несчетно.

Доказательство. (от противного) Пусть R n Q счетно, тогда R = (R n Q) [ Q счетно, но это противоречит теореме 5 о несчетности R: Следствие

доказано.

Теорема 6. Множество R и любой интервал (a; b) равномощны, т.е. интервал (a; b) несчетное множество.

Доказательство. Интервалы (a; b) è (¡1; 1) равномощны и соответствующее биективное отображение может быть, например, линейным

x = 2t ¡ a ¡ b : (a; b) ¡! (¡1; 1): b ¡ a

13

биективно отображает интервал (¡1; 1) íà R; далее по теореме о композиции

биекций получаем требуемое утверждение. Теорема 6 доказана. Следствие (плотность R n Q â R). Любой интервал (a; b) содержит

иррациональные числа.

Доказательство. (от противного) Пусть некоторый интервал (a; b) содержит только рациональные числа, т.е. (a; b) ½ Q; тогда по теореме 2 и первой теореме Кантора множество (a; b) счетно, но это противоречит теореме 6 о несчетности (a; b): Следствие доказано.

2 Предел числовой последовательности.

2.1Понятие предела последовательности. Единственность предела. Линейные свойства предела последовательности.

Определение. Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последователь-

ностью или просто последовательностью, т.е. an = f(n); f : N ! R:

Определение. (по Коши) Число a называется пределом числовой последовательности fang; åñëè 8² > 0 9N² 2 N такой, что 8n > N² выполняется неравенство jan ¡ aj < ² èëè a ¡ ² < an < a + ²:

Записывается это так a = lim an: Последовательность an; у которой суще-

n!1

ствует конечный предел a; называется сходящейся, иначе расходящейся.

Очевидно, постоянная последовательность an = a имеет предел и lim an =

n!1

a:

Пример 1. Доказать равенство lim nqn = 0; åñëè jqj < 1:

n!1

Òàê êàê jqj < 1; то существует k > 1 такое, что jqj = k1 ; тогда с помощью

14

ïðè 8n > N² = [²(k¡2 1)2 + 1] + 1; что в соответствии с определением предела последовательности и означает доказываемое равенство.

Пример 2. Доказать равенство lim n = 0

n!1 2n

В соответствии с определением предела числовой последовательности оце-

В соответствии с определением предела числовой последовательности оце-

В соответствии с определением предела числовой последовательности оце-

В соответствии с определением предела числовой последовательности оценим разность

15

³´

Теорема (о единственности предела). Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. (от противного) Пусть существует два предела lim an =

n!1

8n > N2 выполняется неравенство jan ¡bj < ²: Обозначим N = maxfN1; N2g; тогда члены последовательности с номерами n > N должны оказаться в непересекающихся интервалах (a¡²; a+²) è (b¡²; b+²): Полученное противоречие означает, что a = b: Теорема доказана.

Замечание. Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не меняет ее сходимости или расходимости.

Теорема (линейные свойства предела). Если существуют пределы

тогда для всех членов последовательности fcang с номерами n > N1 справед-

ливо неравенство

jan ¡ aj < ²;

16

которое, в силу определения предела последовательности, означает равенство

lim can = ca:

n!1

По свойствам модуля справедливо неравенство

j(an + bn) ¡ (a + b)j · jan ¡ aj + jbn ¡ bj:

тогда 8n > maxfN1; N2g справедливо неравенство

j(an + bn) ¡ (a + b)j < ²;

которое и означает, что lim (an + bn) = a + b:

n!1

Теорема доказана.

2.2 Свойства предела, связанные с неравенствами.

Теорема 1 (о сохранении знака неравенства). Если существует

предел lim an = a è a > p (a < q); òî 9N такой, что 8n > N выполняется

n!1

неравенство an > p (an < q):

Доказательство. Пусть a > p; тогда для ² = a ¡ p > 0 9N такой, что 8n > N выполняется неравенство jan ¡ aj < ² èëè

a ¡ ² < an < a + ² , p < an < 2a ¡ p ) p < an:

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (монотонность предела). Если существуют пределы lim an =

n!1

a; lim bn = b è an · bn ïðè 8n > N0; тогда a · b:

n!1

Доказательство. Поскольку lim an = a è lim bn = b; òî 8² > 0 9N1 2 N

n!1 n!1

такой, что 8n > N1 выполняется неравенство

jan ¡ aj < ² , a ¡ ² < an < a + ²

17

è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство

jbn ¡ bj < ² , b ¡ ² < bn < b + ²:

Пусть N = maxfN0; N1; N2g; тогда 8n > N

a ¡ ² < an · bn < b + ² ) a ¡ ² < b + ²

отсюда силу произвольности ² получаем требуемое неравенство a · b: Действительно, если a > b; то выбрав ²1 = a¡3 b > 0 получим неравенство b + ²1 < a ¡ ²1; противоречащее полученному выше. Теорема 2 доказана.

Полагая в этой теореме an = M; получим

Следствие. Если существует предел lim bn = b è bn ¸ M ïðè 8n > N0;

n!1

тогда b ¸ M:

Теорема 3 (о двух ограничивающих последовательностях). Åñëè

существуют два предела lim an = lim cn = a è 8n > N0 выполняется

n!1 n!1

неравенство an · bn · cn; тогда существует предел lim bn = a:

n!1

Доказательство. Поскольку lim an = lim cn = a; òî 8² > 0 9N1 2 N

n!1 n!1

такой, что 8n > N1 выполняется неравенство

jan ¡ aj < ² , a ¡ ² < an < a + ²

è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство

jcn ¡ aj < ² , a ¡ ² < cn < a + ²:

Пусть N = maxfN0; N1; N2g; тогда 8n > N

a ¡ ² < an · bn · cn < a + ² ) a ¡ ² < bn < a + ²:

p

представление n a = 1 + ¯n; ãäå ¯n ¸ 0: Отсюда с помощью формулы бинома Ньютона получаем оценку

18