Lektsii_Matanaliz

го членов последовательности fang; обозначим ее [p2; q2] ½ [p1; q1] и выберем

÷ëåí ak2; попавший в [p2; q2] и имеющий номер k2 > k1; таким образом мы

выберем второй член подпоследовательности и т.д. В результате мы имеем последовательность вложенных отрезков [pn; qn] причем qn ¡ pn = q2¡np ! 0

ïðè n ! 1: В силу следствия из принципа вложенных отрезков (см. Ÿ1.5)

Теорема Больцано-Вейерштрасса доказана.

2.6 Критерий Коши сходимости числовых последовательностей.

Определение. Числовая последовательность fang называется фундаментальной, если 8² > 0 9N² такой, что 8n > N² è 8p 2 N выполняется неравенство jan ¡ an+pj < ²:

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы числовая последовательность fang сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фунда-

ментальной

Доказательство. Необходимость. Пусть числовая последовательность fang

сходится, т.е. существует конечный предел lim an = a èëè 8² > 0 9N² такой,

n!1

÷òî 8n > N² выполняется неравенство jan ¡ aj < 2² ; очевидно, что тогда и 8p 2 N член последовательности fan+pg ïðè 8n > N² удовлетворяет нера- jan+p ¡ aj < 2² : Отсюда для таких n è p получаем неравенство

jan ¡ an+pj · jan ¡ aj + jan+p ¡ aj < ²;

означающее фундаментальность последовательности fang: Достаточность. Пусть числовая последовательность fang фундаменталь-

íà, ò.å. 8² > 0 9N² такой, что 8n > N² è 8p 2 N выполняется неравенство

31

Зафиксируем некоторый номер N1 > N²; тогда 8p 2 N

а это означает, что последовательность fang ограничена, т.е. m · an · M; ãäå

В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса у последовательности fang ñóùå-

ствует сходящая подпоследовательность fakng; т.е. существует lim akn = a

n!1

èëè 8² > 0 9M² такой, что 8kn > M² выполняется неравенство jakn ¡ aj < 2² : Обозначим N = max(N²; M²); тогда 8n > N è 8kn > N справедливо нера-

Критерий Коши доказан.

Теорема (критерий Коши расходимости числовой последовательности). Для расходимости числовой последовательности fang; необходимо

и достаточно, чтобы она не была фундаментальной, т.е. 9² > 0 такое,

÷òî 8N найдутся номера n > N è m > N такие, что jan ¡ amj ¸ ²:

Пример 1. Доказать расходимость последовательности an = 1 + 12 + 13 +

¢ ¢ ¢ + n1 :

Составим и оценим разность

справедливо неравенство a2m ¡am > 12; что в силу критерия Коши и означает расходимость последовательности fang:

Пример 2 (уравнение Иоганна Кеплера(1571-1630)). Рассмотрим уравнение Кеплера движения планет по эллиптической орбите

E ¡ e sin E = y; (0 < e < 1 ¡ эксцентриситет орбиты):

32

Зададим рекуррентную последовательность

E0 = y; E1 = y + e sin E0; : : : ; En = y + e sin En¡1:

Покажем, что эта последовательность fEng : а) сходится; б) ее предел » =

lim En является решением уравнения Кеплера; в) » является единственным

n!1

решением уравнения Кеплера.

Для доказательства сходимости воспользуемся критерием Коши. Рассмотрим разность

[loge ²]; а значит при всех таких n è 8p 2 N выполняется неравенство jEn+p ¡ Enj < ²; означающее фундаментальность последовательности fEng; а значит и ее сходимость.

Обозначим предел через » = lim En и осуществим предельный переход в

n!1

рекуррентном соотношении для последовательности fEng; тогда

» ¡ e ¢ sin » = y;

ò.å. » действительно является решением уравнения Кеплера. Предельное ра-

венство lim sin En = sin » следует из неравенства

n!1

0· j sin En ¡ sin »j · jEn ¡ »j

èтеоремы о двух ограничивающих последовательностях (см. теорему 3 из Ÿ2.2).

Покажем единственность этого решения методом от противного. Пусть »1 какое-либо другое решение » 6= »1 уравнения Кеплера

»1 ¡ e ¢ sin »1 = y;

33

тогда

» ¡ »1 = e ¢ (sin » ¡ sin »1)

j» ¡ »1j = e ¢ j sin » ¡ sin »1j · e ¢ j» ¡ »1j;

íî åñëè » 6= »1; òî j» ¡ »1j > 0 1 · e; противоречащее

условиям задачи (ее физическому смыслу).

Решение » можно найти методом последовательных приближений с любой наперед заданной степенью точности. Действительно, т.к.

En = y + e sin En¡1; » = y + e ¢ sin »;

òî

jEn ¡ »j = e ¢ j sin En¡1 ¡ sin »j · e ¢ jEn¡1 ¡ »j · :|: : :{z: : : :}: ·

(n¡1)¡ðàç

· en ¢ jE0 ¡ »j = en ¢ jy ¡ »j = en ¢ je sin »j · en+1:

Отсюда получаем, что для обеспечения точности приближения ² > 0 необходимо осуществить N² = [loge ²] итераций.

2.7 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение. Числовая последовательность fang называется неограни- ченной, если для любого положительного числа M > 0 найдется такой член последовательности an, что выполняется неравенство janj > M:

Определение. Числовая последовательность fang называется бесконечно большой, если 8M > 0 9NM такой, что 8n > NM выполняется неравенство

janj > M:

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, но не наоборот. Например последовательность f1; 12; 2; 13; 3; 14; 4; : : : ; n1 ; n; : : :g

неограничена, но не является бесконечно большой.

Определение. Числовая последовательность fang называется бесконечно маленькой, если 8² > 0 9N² такой, что 8n > N² выполняется неравенство

janj < ²:

34

Очевидно, что для бесконечно маленькой последовательности справедли-

во предельное равенство lim an = 0; ò.å. fang - сходящаяся последователь-

n!1

ность, а значит, в силу необходимого признака сходимости числовых последовательностей, ограничена (см. Ÿ2.3). Бесконечно малые последовательности обладают не только всем набором арифметических свойств, но и справедлива следующая

Теорема. Если числовая последовательность fang ограничена, а последовательность f®ng бесконечно малая, то их произведение fan ¢ ®ng - áåñ-

конечно малая.

Справедливость этого утверждения следует из неравенства

0· jan ¢ ®nj = janj ¢ j®nj · M ¢ j®nj

èтеоремы о двух ограничивающих последовательностях (см. теорему 3 из Ÿ2.2).

Теорема (о специальном представлении членов сходящейся по-

следовательности). Если числовая последовательность fang сходится (т.е.

lim an = a), то существует такая бесконечно малая последовательность

n!1

f®ng (ò.å. lim ®n = 0); ÷òî an = a + ®n:

n!1

Доказательство. Пусть lim an = a; ò.å. 8² > 0 9N² такой, что 8n > N²

n!1

выполняется неравенство jan ¡ aj < ²; но это означает, что числовая последовательность ®n = an ¡ a является бесконечно малой и, следовательно, an = a + ®n: Теорема доказана.

Теорема. Числовая последовательность fang является бесконечно большой, при an 6= 0; тогда и только тогда, когда числовая последовательность fa1n g является бесконечно малой.

35

Теорема доказана.

Пример. В Ÿ2.1 и Ÿ2.2 были доказаны предельные равенства

большими, но имеют разный порядок роста, что принято записывать следующим образом loga n ¿ nk ¿ an ¿ n! ¿ nn; здесь знак ¿ означает бесконечно

большую более высокого порядка роста.

3 Предел функции. Непрерывность функции.

3.1 Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы.

Определение (по Гейне). Число b называется пределом функции y = f(x)

âточке a; если для любой числовой последовательности xn ! a; xn 6= a; соответствующая числовая последовательность f(xn) ! b:

Определение. (по Коши) Число b называется пределом функции y = f(x)

âточке a; åñëè 8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x : 0 < jx ¡ aj < ±² выполняется неравенство jf(x) ¡ bj < ² èëè b ¡ ² < f(x) < b + ²:

Записывается это так b = lim f(x):

x!a

Теорема. Понятия предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство. Пусть b = lim f(x) по Коши, тогда 8² > 0 9±² > 0 такое,

x!a

÷òî 8x : 0 < jx ¡ aj < ±² выполняется неравенство jf(x) ¡ bj < ²: Поэтому для любой последовательности xn ! a; xn 6= a äëÿ ±² > 0 9N±² такой, что 8n > N±² выполняется неравенство 0 < jxn ¡ aj < ±²; но для таких xn (в силу определения Коши) справедливо неравенство jf(xn) ¡ bj < ²; которое и

означает сходимость f(xn) ! b èëè b = lim f(x) по Гейне.

x!a

Пусть b = lim f(x) по Гейне. Предположим, что b не является lim f(x)

36

8± > 0 найдется x : 0 < jx ¡ aj < ±; для которого выполняется неравенство jf(x) ¡ bj ¸ ²0: Рассмотрим последовательность ±n = n1 ; для каждого

±n найдется xn : 0 < jxn ¡ aj < ±n такое, что справедливо неравенство jf(xn) ¡ bj ¸ ²0: Поскольку числовая последовательность xn ! a; xn 6= a; то в силу определения предела функции по Гейне f(xn) ! b: Однако выше мы получили семейство неравенств jf(xn) ¡ bj ¸ ²0; означающее f(xn) 6!b:

Полученное противоречие означает, что b = lim f(x) ïî Êîøè. Теорема до-

x!a

казана.

Определение предела функции по Гейне удобно применять при доказательстве отсутствия предела. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1. Для функции Дирихле

(

1; x ¡ рационально

D(x) =

0; x ¡ иррационально

при любом a 2 R не существует lim D(x): Действительно рассмотрим две

x!a

последовательности xn ! a; xn 6= a; xn¡ рациональные и yn ! a; yn 6= a; yn¡ ирррациональные. По теоремам о плотности Q â R è RnQ â R (ñì. Ÿ1.4

èŸ1.7) такие последовательности всегда существуют. Тогда D(xn) = 1 ! 1

èD(yn) = 0 ! 0; что в соответствии с определением предела функции по

Действительно для любой числовой последовательности xn ! 0; xn 6= 0;

соответствующая числовая последовательность xn sin x1n ! 0 по теореме о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной последовательностей (см. Ÿ2.7).

Определение (по Гейне). Число b называется правым (левым) пределом

функции y = f(x) в точке a; если для любой числовой последовательности

37

xn ! a+; xn > a (xn ! a¡; xn < a) соответствующая числовая последовательность f(xn) ! b:

Определение. (по Коши) Число b называется правым (левым) пределом

функции y = f(x) в точке a; åñëè 8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x : 0 < x ¡ a <

±² (0 < a ¡ x < ±²) выполнено неравенство jf(x) ¡ bj < ²:

Обозначают эти пределы так f(a + 0) = lim f(x) = b è f(a ¡ 0) =

x!a+

lim f(x) = b:

x!a¡

Очевидно, если существует b = lim f(x) (еще его называют двусторонним),

x!a

то существуют и равны односторонние пределы, причем

b = lim f(x) = lim f(x):

x!a+ x!a¡

Обратное утверждение сформулируем в виде теоремы

Теорема. Если у функции y = f(x) существуют в точке a оба односторонних предела и они равны, то у функции y = f(x) существует в точке a двусторонний предел и он равен общему значению односторонних пределов.

8x : 0 < a ¡ x < ±² выполнено неравенство jf(x) ¡ bj < ²: Для указанных x справедливо неравенство 0 < jx ¡ aj < ±² è x =6 a причем jf(x) ¡ bj < ²: Íî

это означает b = lim f(x) ïî Êîøè. Теорема доказана.

x!a

Аналогично можно ввести понятия пределов при x ! 1; x ! +1; x ! ¡1 и получить для них соответствующие утверждения.

3.2 Свойства предела функции.

Теорема (арифметические свойства предела функции). Åñëè

последовательности f(xn) ! b è g(xn) ! c; тогда в силу арифметических

38

свойств предела числовой последовательности f(xn) § g(xn) ! b § c; f(xn) ¢

g(xn) ! b ¢ c; f(xn) ! b; что в соответствии с определением предела функции

g(xn) c

по Гейне и означает требуемые предельные равенства. Теорема доказана. Теорема (о сохранении знака неравенства). Если существует предел

aj < ± такая, что 8x из этой окрестности 0 < jx ¡ aj < ± выполняется неравенство f(x) > p (f(x) < q):

Доказательство. Пусть b > p; тогда для ² = b ¡ p > 0 9±² > 0 такое, что 8x : 0 < jx ¡ aj < ±² выполняется неравенство jf(x) ¡ bj < ² èëè

p = b ¡ ² < f(x) < b + ² = 2b ¡ p; ò.å. f(x) > p: Теорема доказана.

Теорема (монотонность предела). Если существуют пределы lim f(x) =

x!a

b è lim g(x) = c и в некоторой ±0-окрестность точки a : 0 < jx ¡ aj < ±0

x!a

выполняется неравенство f(x) · g(x); òî b · c:

выполняется тройное неравенство b¡² < f(x) · g(x) < c+²; ò.å. b¡² < c+²: Отсюда в силу произвольности ² > 0 получаем b · c: Действительно, если

áû ýòî áûëî íå òàê, ò.å. b > c; òî ²0 = b ¡ c > 0 и выбирая ² = ²30 получим ложное неравенство b ¡ ²30 < c + ²30 : Теорема доказана.

Следствие. Если существует предел lim f(x) = b и в некоторой ±0-

x!a

окрестность точки a : 0 < jx¡aj < ±0 выполняется неравенство f(x) · m;

òî b · m:

Для доказательства необходимо положить в условиях теоремы g(x) = m:

Теорема (о двух ограничивающих функциях). Если существуют

пределы lim f(x) = lim g(x) = b и в некоторой ±0-окрестность точки a : 0 <

x!a x!a

jx ¡ aj < ±0 выполняется неравенство f(x) · h(x) · g(x); то существует

lim h(x) = b:

x!a

39

такое, что 8x : 0 < jx ¡ aj < ±1 выполняется неравенство b ¡ ² < f(x) <

b + ² è 9±2 > 0 такое, что 8x : 0 < jx ¡ aj < ±2

b ¡ ² < g(x) < b + ²; тогда если ± = minf±0; ±1; ±2g; òî 8x : 0 < jx ¡ aj < ± b ¡ ² < f(x) · h(x) · g(x) < b + ²; которое и

означает lim h(x) = b: Теорема доказана.

x!a

Теорема (о пределе сложной функции). Пусть lim g(x) = y0; при- чем в некоторой ±-окрестность точки x0 : 0 < jx ¡ x0j < ± выполняется

неравенство g(x) 6= y0; lim f(y) = l; тогда lim f(g(x)) = l:

y!y0

Доказательство. Òàê êàê lim f(y) = l; òî 8² > 0 9±1 > 0 такое, что 8y :

y!y0

0 < jy ¡ y0j < ±1 выполняется неравенство jf(y) ¡ lj < ²: Äëÿ ±1 > 0 9±2 > 0 такое, что 8x : 0 < jx¡x0j < ±2 выполняется неравенство 0 < jg(x)¡y0j < ±1: Пусть теперь ±3 = minf±; ±2g; тогда 8x : 0 < jx ¡ x0j < ±3 справедливо

неравенство 0 < jf(g(x)) ¡ lj < ²; ò.å. lim f(g(x)) = l: Теорема доказана.

x!x0

Пример. В этой теореме условие g(x) =6 y0 является существенным, что

показывает следующий контрпример. Пусть

(

1; y = 0;

f(y) =

0; y =6 0

3.3 Критерий Коши существования предела функции.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы функция y = f(x) имела в точке a конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы 8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x0; x00 : 0 < jx0 ¡ aj < ±² è 0 < jx00 ¡ aj < ±² выполнялось бы неравенство jf(x0) ¡ f(x00)j < ² (условие Коши).

Доказательство. Необходимость. Воспользуемся определением предела

функции по Коши. Пусть существует конечный предел lim f(x) = b; тогда

x!a

8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x0; x00 : 0 < jx0 ¡ aj < ±² è 0 < jx00 ¡ aj < ±²

выполняются неравенства jf(x0) ¡ bj < 2² è jf(x00) ¡ bj < 2² : Отсюда, для

40