Воскобойников Задорожный Основы MathCAD

Деление

Сложение векторов и матриц

Скалярная сумма

Векторное и матричное вычитание

Скалярное вычитание

Изменение знака

Степени матрицы, обращение матриц

Длина вектора

Детерминант

Mn ^

|v| |

|M| |

Делит каждый элемент массива на скаляр z.

Складывает соответствующие элементы A и B, массивы A и B должны иметь одинаковое число строк и столбцов.

Добавляет z к каждому элементу A.

Вычитает соответствующие элементы массива A из элементов массива B, массивы A и B должны иметь одинаковые размеры.

Вычитает z из каждого элемента A.

Умножает все элементы A на

-1.

n-ная степень квадратной матрицы M (использует умножение матриц). n должен быть целым числом. M-1 представляет матрицу, обратную к M, другие отрицательные степени — степени обратной матрицы. Возвращает матрицу.

Возвращает , где — вектор, комплексно сопряженный к v.

Возвращает детерминант квадратной матрицы M, результат — скаляр.

Рассмотрим несколько примеров вычислений с массивами.

a) Создание матрицы М и вектора Y. Умножение вектора на число.

b) Умножение матрицы M на вектор Y. Результат – вектор N.

97

N := M Y N = 139

106

c) Вычисление суммы элементов, определителя, скалярного и векторного произведения.

d) Обращение матриц. Обратная матрица.

Задание 3.1.

1. Вычислите матрицу 2*A*B-3*C*D, где:

2.Вычислите матрицу F = A*(2B-3*C)-D

3.Найдите определитель и обратную матрицу для матриц:

4.Вычислите матричные выражения:

5.Получите матрицу С перестановкой 2-го и 3-го столбцов матрицы A

6.Решите систему линейных уравнений A*x=b, где

Вектор x вычисляется как x=A-1*b

7.Выясните, являются ли линейно-независимыми векторы p,q,r:

(Напоминаем, что векторы линейно независимы, если смешанное произведениеравно нулю)

ТЕМА 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В ПАКЕТЕ MATHCAD

Mathcad позволяет представлять данные в виде различных графиков. Задание типа графика осуществляется с использованием кнопок палитры График (см. рис. 11.2). По количеству аргументов у отображаемой функции графики можно разбить на две группы: двумерные графики (отображение функций одной переменной) и трехмерные графики (отображение функций двух переменных).

4.1. Построение двумерных графиков в декартовой системе координат.

Рассмотрим алгоритм построения графика на простом примере.

1. Введите функцию, набрав, на пример, выражение: f(x):=sin(x)3. Установите значения X в нужном диапазоне. Например, x:=0,0.1 .. 10. Чем

меньше шаг дискретной переменной Х, тем плавнее будет кривая графика.

2.Включите панель “графики” командой Вид/Панели инструментов/График.

3.Введите шаблон графика. Для этого необходимо щелкнуть на кноп-

ке палитры График. На экране появляется шаблон с двумя полями: в нижнем поле вводятся аргументы; в левом поле – выражения, определяющие отображаемые функции.

Пока график пуст.

4. После того, как вы указали аргумент и функцию, щелкните мышью в любом месте вне графика. Построенный график имеет

вид:

! Обратите внимание: когда график находится в рамке, на нем в уголках появляются числа, указывающие масштаб графика по осям Y и X. По умолчанию по оси Х график строится на отрезке изменения аргумента х от –10 до +10. Масштаб по оси Y MathCad устанавливает автоматически. Изменив эти числа, можно задать свой масштаб графика. Если необходимо посмотреть поведение функции на

каком-либо участке, например, в области, указанной в окружности, надо установить диапазон по Х в значение 2.5 – 3.7, а диапазон поY

в значение -0.2 , +0.2.

Другие свойства графика могут быть установлены в диалоге, вызываемом командой “формат” контекстного меню.

Форматирование двумерных графиков.

Для вывода окна форматирования двухмерного графика достаточно поместить указатель мыши в область графика и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. В окне документа появится окно форматирования.

Как видно на рисунке окно форматирования имеет четыре вкладки:

Оси Х-У- задание параметров форматирования осей;

Трассировка – задание параметров форматирования линий графика; Метки – задание параметров

форматирования меток осей

(установление надписей); Стандарт – назначение установленных параметров форматирования параметрами по умолчанию.

Форматирование осей графика.

На вкладке «Оси Х-У » содержатся следующие основные параметры, относящиеся к осям Х и У (Axis Х и Axis У):

•Логарифм. масштаб– установление логарифмического мас-

штаба;

•Линии сетки – установка линий масштабной сетки;

•Нумерация – установка цифровых данных по осям;

•Автомасштаб – автоматическое масштабирование графика;

•Выв.маркёры – установка делений по осям;

•Автосетка – автоматическая установка масштабных линий;

•Кол-во сеток – установка заданного числа масштабных

линий.

Выведите окно форматирования построенного графика. Выполните следующие действия:

-установите параметр «Линии сетки»;

-уберите параметр «Автосетка»;

-в окне «Кол-во сеток » введите число 10.

После ввода параметров форматирования нажмите кнопку «Применить».

Группа «Стиль осей» позволяет задать стиль отображения координатных осей:

•Ограниченная область – оси в виде прямоугольника;

•Пересечение – оси в виде креста;

•Без границ – отсутствие осей;

•Равные масштабы – установка одинакового масштаба по

осям графика.

Установите параметр «Пересечение» и нажмите кнопку «Применить».

Форматирование линий графиков.

Эта вкладка служит для управления отображением линий, из которых строится график.

•На этой вкладке представлены следующие параметры:

•Метка легенды – выбор типа линии в легенде;

•Символ – выбор символа, который помещается на линию, для отметки базовых точек графика;

•Линия – установка типа линии;

•Цвет – установка цвета линии и базовых точек;

•Тип – установка типа графика;

•Толщина – установка толщины линии.

Узловые точки (точки, для которых вычисляются координаты) графиков часто требуется выделить какойнибудь фигурой. Список

столбца Symbol позволяет выбрать следующие отметки для базовых точек графика каждой из функций:

•ничего– без отметки;

•x’s – наклонный крестик;

•+’x – прямой крестик;

•квадрат– квадрат;

•ромб – ромб;

•o’s – окружность.

Список в столбце Линия позволяет выбрать типы линий: непрерывная, пунктирная, штрих-пунктирная.

Раскрывающейся список столбца Type позволяет выбрать следующие типы линий графика:

•линия – построение линиями;

•точки – построение точками;

•интервалы – построение вертикальными черточками с оценкой интервала погрешностей;

•столбец – построение в виде столбцов гистограммы;

•ступенька – построение ступенчатой линией;

•протяжка – построение протяжкой от точки до точки.

Задание надписей на графиках.

Эта вкладка позволяет вводить в график дополнительные надписи. Для установки надписей служат поля ввода:

•Заголовок – установка титульной надписи к рисунку;

•Ось X – установка надписи по оси Х;

•Ось Y – установка надписи по оси У.

Вгруппе Заголовок имеются переключатели сверху и снизу для установки титульной надписи либо над графиком, либо под ним.

Вызовите вкладку «Метки». В поле «Название» введите слово График. В полях «Ось X» и «Ось Y» введите соответственно надписи Ось X и Ось Y. Нажмите кнопку «Применить».

Параметры графиков по умолчанию.

Вкладка "По умолчанию" позволяет назначить установленные на других вкладках параметры форматирования параметрами по умолчанию. Для этого служит флажок установки "использовать по умолчанию". Щелкнув на кнопке "вернуть значения по умолчанию" можно вернуть стандартные параметры графика.

Постройте график функции p(x)=5x6-3, задав свой цвет и стиль кривой.

А теперь рассмотрим, как на одном рисунке отобразить несколько функций, например у=2cos(x), y=sin(x)2 и y=x.

Алгоритм выглядит так:

1.Задайте данные функции (обозначьте их, например f(x), g(x),q(x):

2.Вызвав шаблон графика, введите по оси Х имя независимой переменной x (или переменных, если их несколько),по оси Y введите f(x), поставьте запятую (при этом первое выражение уходит

вверх, а под ним появляется место ввода), введите g(x), знак запятой

и введите следующее выражение q(x).

3.Отведя указатель мыши за пределы графика, щелкните левой кнопкой мыши – появится график с тремя кривыми.

4.Используя вкладку окна форматирования «Трассировка» измените стиль отображения и цвет кривых.

Постройте на одном рисунке графики функций у=x2+2х, у=tg(x), y=x-5.

Постройте график функции y=cos(x)+3 ,где х изменяется от –10 до

20, а y от 0 до 10.

Попробуйте увеличить построенный вами график и немного сместить его. Для этого проделайте следующее:

1.Поместите указатель мыши в область графика и щелкните левой кнопкой мыши – вокруг графика появится рамка из черных линий, обрамляющая блок графика.

2.Подведите указатель мыши к черному квадратику (маркеру изменения размера) в правом нижнем углу рамки, при этом указатель мыши должен превратиться в двухстороннюю диагональную стрелку.

3.Нажав левую кнопку мыши, растяните график по диагонали, а затем зафиксируйте размер, отпустив кнопку мыши.

4.Наведите указатель мыши на любую сторону рамки (кроме квадратиков), при этом указатель должен превратиться в черную ладошку.

5.Нажав левую кнопку мыши, передвиньте весь блок графика в желаемом направлении и зафиксируйте местоположение, отпустив кнопку мыши.

В итоге получится увеличенный и перемещенный график. Убрать рамку можно, отведя указатель мыши в сторону от графика и щелкнув левой кнопкой мыши.

Попробуйте изменить масштаб на построенном вами графике.

Отрезок по оси Х можно задать и заранее (до построения графика). Для этого после задания функции нужно указать диапазон изменеия аргумента х.

Постройте график функции f(x):= cos(x) + sin(x)2;

В этом примере вы можете задать свой масштаб, изменив диапазон значений аргумента х.

4.2. Построение трехмерных графиков и графиков поверхностей.

Для создания трехмерного графика (графика функции двух переменных) необходимо щелкнуть на одной из следующих кнопок

палитры Графика с изображением требуемого типа графика. В документе появится шаблон графика с тремя осями и пустым полем. В это поле вводится либо имя массива, либо имя функции двух переменных. В первом случае предварительно необходимо сформировать матрицу из значений функции в узлах прямоугольной сетке. Во втором случае предварительно надо описать функцию от двух переменных. Второй способ представляется более быстрым, и он будет рассматриваться в дальнейшем.

Построим график функции z(x,y)=x2 + y2 для этого надо:

•Задать функцию двух переменных: z(x,y)=x2 + y2

•Используя палитру “График”, введите шаблон трехмерного графика.

•На единственное место ввода под шаблоном введите z.

1.Выведите курсор мыши за пределы графика и щелкните левой

клавишей мыши – будет построен график в виде " каркаса из точек".

2.

Форматирование трехмерных графиков.

Чтобы полученный трехмерный график привести к виду удобному для просмотра и анализа необходимо произвести форматирование.

Окно форматирования трехмерных графиков вызывается аналогично и имеет ряд вкладок:

•общие – установка общих параметров форматирования;

•ось – установка параметров форматирования координатных осей;

•вид – установка вида графика;

•освещение – задание условий освещения и выбор схемы освещения;

•название –задание титульных надписей и их параметров;

•основание – установка параметров форматирования граней;

•особый – задание специальных эффектов форматирования;

•дополнительно – установка дополнительных параметров;

•данные QuickPlot – параметры быстрого построения графика.

Рассмотрим самые важные вкладки.

1. Вкладка "общие" содержит параметры углов представления фигуры, стили осей и внешнее оформление.

Наиболее важные параметры представлены в нижней части окна – переключатели вида фигур. Внизу имеются кнопки "ок", "отмена", "применить" и "справка". Кнопка "применить" позволяет немедленно проверить все введенные параметры без закрытия окна форматирования.

В разделе "вид" этой вкладки имеются следующие поля:

•Вращение – задание угла поворота (от 0 до 360 градусов);

•Наклон – задание угла наклона (от 0 до 180 градусов);

•Искривление – задание угла вращения (от 0 до 360 градусов);

•Масштаб – задание относительного размера.

Раздел "стиль осей" позволяет задать стиль отображения осей:

55

•Периметр – по периметру;

•Угол – в углу;

•Ничего – без вывода осей;

•Равные деления – равные масштабы по всем осям.

В разделе "границы графика" устанавливают параметры рисунка:

•Границы – показать рамку вокруг рисунка;

•Каркас – показать обрамляющий рисунок в виде параллелепипеда.

2.Вкладка "ось" служит для установки параметров координатных осей трехмерного графика.

Внутри этой вкладки имеются еще три идентичные вкладки Х-ось, У- ось, Z-ось, которые позволяют установить параметры каждой из координатных осей Х, У, Z.

В разделе "сетки" устанавливается формат координатной сетки:

•Рисовать линии – вывод линий сетки;

•Рисовать метки – вывод делений на осях;

•Автосетка – автоматический выбор числа линий;

•Цвет линий сетки – вывод цветных линий сетки (при вклю-

ченной опции Рисовать линии);

•Число – установка количества делений;

•Ширина линий – установка ширины линий сетки.

Вразделе "Формат осей" устанавливаются параметры самих координатных осей:

Вразделе "Границы оси" задается предел изменения координат:

•Автомасштаб – автоматическая установка масштаба;

•Минимум значение – минимальное значение координаты;

•Максимум значение – максимальное значение координаты.

3.Вкладка "Внешний вид" включает в себя три раздела:

•Установки заливки – установка параметров заливки поверхностей;

•Установки линий – установка режима отображения линий и их окраска;

56

• Установки точек – установка режима отображения точек разными символами и их окраска.

Вызовите окно форматирования («Свойства»). Во вкладке «Общие» в поле «Вывод как:» установите – поверхность. Перейдите во вкладку «внешний вид». В поле «Установки заливки» установите залить поверхность и плавные линии. В полях «Установки цвета» установите – палитра. В поле «Установки линии» выберите – каркас. Нажмите кнопку OK. Получим график в виде непрерывной поверхности.

Вращение трехмерных графиков.

А теперь рассмотрим, каким образом можно вращать в пространстве трехмерную фигуру с помощью мыши. Вид трехмерной фигуры сильно зависит от того, под какими углами относительно осей X, Y и Z ее рассматривают. Вращая фигуру можно заглянуть внутрь впадины или посмотреть, что находиться за пиком. Для этого надо просто поместить указатель мыши в область графика, нажать левую кнопку мыши и, удерживая ее, начать перемещать мышь в том или ином направлении. Если при этом еще удерживать клавишу "Ctrl", то объект можно удалять или приближать к наблюдателю. Если же проделать те же действия с нажатой клавишей "Shift", то после отпускания левой кнопки можно вообще наблюдать анимированную (живую) картину вращения объекта в любом предварительно заданном направлении. Для остановки вращения надо щелкнуть левой кнопкой мыши.

Теперь попробуйте применить вращение графика на приведенном выше рисунке.

Задание 4.1.

Постройте график функции z=cos(x)+sin(y).

Постройте график функции d(x,y)=cos(x)+x*y-sin(y)+x2 и выполните следующее:

а) залейте поверхность палитрой, уберите с поверхности линии, включите освещение, выбрав в качестве отраженного света желтый, а в качестве поглощенного - черный, напишите снизу название графика;

б) залейте поверхность сплошным цветом, сделайте черный каркас, увеличьте толщину линий;

в) выберите сферическую систему координат;

г) вернитесь к картезианской системе координат, измените цвета осей, увеличьте прозрачность графика.

(P.S. Не забудьте после выполнения каждого пункта нажать кнопку

"OK").

Задание 4.2.

•определите функцию

•Постройте ее график для t, изменяющегося от –3 до 6, диапазон изменения по оси ординат примите –5 - +25 Задание 2.

•Определите функции

•Постройте их совместный график

• Подберите диапазоны изменения по осям так, чтобы были видны характерные особенности поведения функций

4.3.Графическое решение уравнения

Решим графически уравнение f(x)=0, где f(x)=x3+3x2-2. Для этого определим функцию f(x) и построим ее график.

Для того, чтобы найти корни уравнения – абсциссы точек пересечения графика с прямой y=0, выполните в строке команд команду Формат/График/Трассировка. В появившемся диалоге установите флажок «Отслеж.указ.данных»; щелкните по полю гра-

фики и установите стрелками клавиатуры или мышью маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии ) в точку пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера. Значение координаты X и есть корень уравнения. Изложенное иллюстрируется рисунком:

Действуя описанным образом, последовательно найдите все три корня.

Задание 4.3.

Решите уравнения, левые части которых заданы следующим образом:

Задание 4.4.

a) Постройте 3D график функции

n := 50 i := 0.. n j := 0.. n

б) залейте поверхность палитрой, уберите с поверхности линии, включите освещение.

ТЕМА 5. ДОСТУП К ФАЙЛАМ

Mathcad читает и записывает файлы данных - файлы в ASCII-формате, содержащие числовые данные. Читая файлы данных, можно брать данные из различных источников и анализировать их в Mathcad. Записывая файлы данных, можно экспортировать результаты Mathcad в текстовые процессоры, электронные таблицы и другие прикладные программы. Примерами таких файлов, которые Mathcad может читать, в предположении, что они записаны в ASCII – формате, могут быть:

•Файл, содержащий экспериментальные данные, фиксируемые аппаратными средствами и программным обеспечением сбора данных.

•Файл, созданный выводом данных из электронной таблицы на диск.

•Файл, состоящий из столбцов чисел, введенных в текстовом процессоре и сохраненных в ASCII-формате.

•Файл, полученный в результате работы программы, написанной

на языке программирования .

• Файл данных, экспортированный из базы данных.

Числа в файлах данных могут быть целыми числами, например, 3 или -1, числами с плавающей запятой, подобными 2.54, или иметь экспоненциальную запись, как 4.51E-4 (для 4.51*10-4).

Внимание. Числа в файле должны быть отделены друг от друга запятыми, пробелами или возвратами каретки.

Например, следующий список чисел был бы допустимой строкой в файле данных Mathcad:

200, 50 25.1256, 16E 2, 16.125E15

Mathcad сохраняет данные также в ASCII файлы. Файлы данных, сохранённые Mathcad, содержат числа, отделяемые пробелами и возвратами каретки.

Для удобства изложения операторов для работы с файловыми данными, разделим эти данные на две группы:

•структурированные файлы;

•неструктурированные файлы.

Вструктурированном файле данные располагаются в виде матрицы, т. е. каждая строка (так называемая запись) имеет одинаковое число элементов. В неструктурированном файле данные располагаются либо последовательно (только одна запись ), либо в нескольких записях, но с разным числом элементов в них .

При работе со структурированными файлами необходимо помнить:

•пробелы, запятые, знаки табуляции используются как разделители данных;

•перевод строки (клавиша [Enter]) осуществляет переход к новой строке (новой записи файла);

•в качестве разделителя между целой и дробной частью вещественного числа используется только десятичная точка (внимание при работе с данными из таблиц Excel);

•данные в файле должны быть упорядочены в виде матрицы,

т.е. каждая строка должна содержать одинаковое количество числовых значений;

•пустые строки и строки, содержащие ASCII-текст, при считывании игнорируются;

•если файл не соответствует перечисленным требованиям, то имя файла в функциях ввода-вывода выделится красным цветом.

При работе с неструктурированными файлами необходимо помнить:

•пробелы, запятые, знаки табуляции, переводы строк используются как разделители данных;

•в качестве разделителя целой и дробной части вещественного числа используется только десятичная точка.

Вфункциях работы с файловыми данными аргументом является Имя файла, в качестве которого может выступать:

•строковая константа, содержащая полное имя файла или только имя файла (если он находится в текущем каталоге);

•строковая переменная, получившая значение строковой константы, определяющей имя файла.

Функции доступа к файлам