Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Anchikov_VTA1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

247.3 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Казанский государственный университет Физический факультет

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Векторный анализ (III семестр)

Казань 2007

УДК 517

Печатается по решению редакционно-издательского совета физического факультета

Казанского государственного университета

Рецензент кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры общей математике КГУ В. А. Сочнева

Составитель А. М. Анчиков

Расчетные задания по математике. Векторный анализ. (III семестр). – Казань:

–2006.

Врасчетной работе представлены задачи по скалярным и векторным полям (12 вариантов по 25 задач в каждом варианте).

Введение

Предлагаемый сборник расчетных заданий составлен для студентов второго курса физического факультета.

Сборник содержит два задания по скалярным полям, десять заданий по векторным полям. Предложены задачи на вычисление градиента скалярных полей, дивергенции, ротора, потока векторных полей в декартовых, в цилиндрических и сферических координатах, а также задачи на потенциальные и соленоидальные поля, на интегральные характеристики векторных полей.

Рекомендуется выполнить задания параллельно с прохождением материала на практических занятиях.

1. Линии и поверхности уровня скалярных полей.

1.Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля u = xy . Вычислить и изобразить на чертеже градиент этой функции в точках М0 (1, 1) и М1 (1,-1).

2.Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля u = (x − y)2 . Вычислить и начертить вектор gradu в точках А(-1, 1) и В(1, 1).

3. Найти линии уровня скалярного поля u = e x2 +y2 и нарисовать линии уровня u(x, y) = e

и u(x, y) = e 2 . Вычислить и начертить вектор gradu в точках А(1, 1), В(2, 0) и С(1,-1).

4.Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля u = min(x, y) . Вычислить и начертить вектор gradu в точках А(2,1) и В(1,2).

5.Найти и нарисовать линию уровня скалярного поля u = y2 + x .

6.Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля u = xy , проходящую через точки А(1, -1) и В(-1,-2).

7.Найти поверхности уровня поля u = x − y + 2z и нарисовать поверхность, проходящую

через т.(1, 1, 1).

8. Найти поверхности уровня поля u = x 2 + y − z2 и нарисовать поверхность, проходящую через т.(1, 0, 1).

Найти поверхности уровня поля u = arcsin

x 2 + y2 .

10.

Найти поверхности уровня поля u = e(a r) где

– постоянный вектор,

– радиус

вектора точки.

11.

Найти поверхности уровня поля u =

x 2

12.Найти поверхности уровня поля u = x 2 + y2 − 2z .

13.Найти поверхности уровня поля u = x 2 +z y2 .

14.Найти поверхности уровня поля u = 5x−y+2z .

15.Найти поверхности уровня поля u = 2y2 +9z2 .

16.Найти поверхности уровня поля u = ((ba,rr)) , где a, b – постоянные векторы, r – радиус-

	вектор точки М(x, y, z).
17.	Найти поверхности уровня поля u = ln			r		, r – радиус – вектор точки М(x, y, z).

18.	Найти линии уровня поля u, заданного неявно уравнением u + x ln u − y = 0 .
19.	Найти линии уровня поля u = ln	y .
		2x			1
20.	Найти поверхности уровня поля u =								.
			x 2		+ y2 + z
21.	Найти поверхности уровня поля u =				1			.
			x 2		+ y2 − z
22.	Найти поверхности уровня поля u =		x 2		− y2		+ z .
					2

23.	Найти поверхность уровня поля u = x 2				+ 2y2 − z2 , проходящую через т. А(2, 3, -1).

24.Найти линию уровня поля u заданного неявно уравнением u 2 − yeu + x = 0 , проходящую через т.(1, 1).

y2 +z2

25. Найти поверхности уровня поля u = e x2 .

2. Производная по направлению. Градиент.

1.Найти производную скалярного поля u = x 2 − y2 − z2 в точке М0 (1, -1, 1) по направлению от точки М0 к точке М1 (2, 3, 1).

2.Найти производную скалярного поля u = xz2 + 2yz в точке М0 (1, 0, 2) вдоль

	x =1+ cos t
окружности	y = sin t −1 .

	z =1

3. Найти производную скалярного поля u в точке M0 (3, 0, 2) по направлению от точки

M0 к точке M1 (4, 1, 3), если u = xey + yex − z2 .

4. Найти производную скалярного поля u в точке M0 (1, 1) по направлению от точки M0 к

точке M1 (4, 5), если u = xy − xy .

5. Найти производную скалярного поля u = arctg xy в точке M0 (2, -2) окружности x 2 + y2 − 4x = 0 вдоль дуги этой окружности.

6.Найти производную скалярного поля u = ln(xy + yz + zx) в точке M0 (0, 1, 1) по направлению окружности x = cos t, y = sin t, z = 2 .

7.Найти производную скалярного поля u = x 2 + y2 + z2 в точке M0 , соответствующей значению параметра t = π2 по направлению винтовой линии

x = a cos t, y = a sin t, z = bt ; а, b, > 0.

8.	Найти производную скалярного поля u = x 2								+ y2 в точке M0 (x0, y0 ) окружности
	x 2 + y2 = R 2 по направлению этой окружности.
9.	Найти производную скалярного поля u =							x 2	− y	2	+ z в точке M0 (-1, 1, 1) по
									2
		x		y −3		z −1
	направлению прямой		=		=		.

	2		1		2

10. Найти производную скалярного поля u =	x 2	+	y2	−	z2
	a 2		b2		c2

направлении радиуса – вектора этой точки.

11.Найти производную скалярного поляu = 1r , где r = r 3). При каком условии эта производная равна нулю.

вточке M0 (-1, 2, 1) в

внаправлении вектора e (-1, 2,

12.Найти производную скалярного поля u = zxey в точке M0 (1, 1, 0) по направлению ее градиента в этой же точке.

13.Найти угол между градиентами скалярных полей u = x 2 + yz + zx и u = x 2 + y2 − z2 в

точке M0 (1, 1, 1).

14. Найти угол между градиентами функции y = arctg x +y z в точках M0 (1, 1, 1) и M1 (-1, - 1, -1).

15.Найти угол между градиентами функции u = r и v = 2 ln r в точке M0 (-1, -1, -1).

16.Найти точки, в которых градиент скалярного поля u = cos(x + y) равен i + j.

17.Найти точки, в которых модуль градиента скалярного поля u = ln r равен 5.

18.Найти производную скалярного поля u = u(x, y, z) по направлению градиента скалярного поля v = v(x, y, z) . При каком условии она равна нулю.

19.Под каким углом пересекаются поверхности уровней скалярных полей

u = x 2 + y2 − 2z2 и v = xyz ?

20.Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания скалярного поля u = xyz .

21.Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания скалярного поля

u = x 2 + y2 − z2 .

22. Убедиться в ортогональности линий уровня скалярных полей u = 2x 2 + y2 и I = y2 . x

23.Найти точки, в которых градиент скалярного поля u = 2x 2 − 4xy + y2 − 2yz + 6z равен нулю (стационарная точка).

24.Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания поля u = xyz в точке

M0 (-1, 0, 1).

25.Найти точки, в которых градиент скалярного поля u = x 2 + y2 − 2xy : а) перпендикулярен прямой y = x , б) равен нулю.

3. Векторные линии.

Найти векторные линии поля, проходящие через точку M0 (x0, y0 , z0 ) :

1.F = yi − xj, M0 (1, -1, 1);

2.F = xi − yj, M0 (0, 1, 1);

3.F = yi + j, M0 (1, 0, 1);

4.F = r = xi + y j + zk, M0 (1, 2, 3);

5.F = [r, c ]( c – постоянный вектор), M0 (1, 1, 1);

6.F = 2ix + yj − kz , M0 (1, -1, 1);

7.F = gradu , где u = xyz , M0 (1, 2, 3);

8.F = x 2 i + y j − z2 k, M0 (-1, -1, -1);

9.F = −a 2 i + b2 xj , (а, b – постоянные), M0 (0, 1, 1);

10.F = xi + yj + 2zk, M0 (-1. 2, -1);

11.F = ker3 r , (кулоновское поле точечного заряда), в начале координат;

12.F = zi + bj − xk , (b – постоянная), M0 (0, 1, 0);

13.F = (2y − z)i + yj + zk, M0 (1, 1, 1);

14.F = zi − yk, M0 (0, 1, 2);

15.F = 3z j + 4yk, M0 (1, 0, 1);

16.F = xzi + yzj − xyk, M0 (1, 0, 1);

17.F = (a r)b, M0 (-1, 0, 1), ( a, b – постоянные векторы);

18.F = f (r)r , M0 (1, 1, 2) ;

19.F = (x + 2y)i + yj , M0 (1, -1, 5);

20.F = xyi − x 2 j + yzk , M0 (1, 0, 1);

21.F = yi + x j + (x − y)k , M0 (2, 1, 1);

22.F = xyi + (x − 2z) j + yzk , M0 (1, 1, 1);

23.F = (x − y)2 i + xzj + xyk , M0 (1, 1, 2);

24.F = xi + y j + (xy + z)k , M0 (1, 1, 0);

25.F = zi + xzj + yk , M0 (1, 1, 1).

4.Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность ∑

(нормаль внешняя).

= x 2 i + x

, ∑ = {z = x 2

+ y2 , z =1, x = 0, y = 0}, первый октант;

j + xzk

= x 2 i + y2

j + z2 k , ∑ = {x 2 + y2 + z2 = 4, x 2 + y2 = z2 , z ≥ 0};

= (ez + 2x)i + ex

, ∑ = {x + y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0};

j + ey

= (x + z)i + (z + y)

, ∑ = {x 2 + y2 = 9, z = x, z = 0, z ≥ 0};

= xi + z

, ∑ = {z = 4 − 2(x 2 + y2 ), z = 2(x 2

+ y 2 };

j − yk

= xyi + yz

, ∑ = {x 2

+ y2

+ z2 =16, x 2

+ y2

= z2 , z ≥ 0};

j + zxk

= x 2 i + xy

, ∑ = {x 2

+y2

= z2 , z = 4};

j +3zk

= zi + (3y − x)

, ∑ = {x 2

+ y2 =1, z = x 2

+ y2

+ 2, z = 0};

j − zk

= xzi + z

, ∑ = {x 2 + y2

=1− z, z = 0};

j + yk

10.

= (y + z)i + (x − 2y + z)

, ∑ = {x 2 + y2

=1, z = x 2

+ y2 , z = 0};

j + xk

11.

= −2xi + z

, ∑ = {x 2

+ y2 = 2y, z = x 2

+ y2 , z = 0};

j + (x + y)

12.

= (3x − 2z)i + (z − 2y)

, ∑ = {z2

= 4(x 2

+ y2 ), z = 2};

j + (1 + 2z)

13.

a = (x + y2 )i + (xz + y) j + (

x 2

+1 + z)k , ∑ = {x 2

+ y2 = z2 , z = 2, z = 3};

14.

= (cos z +

)i + (ex

)

−1)

, ∑ = {x 2 + y2

+ z2

= 2z +3};

j + (

, ∑ = {x 2 + y2 = z2 , z =1, z = 3};

15.

= (y2 + z2 + 6x)i + (ez − 2y + x)

j + (x + y − z)

16.

, ∑ = {z = 3x 2 + 2y2

+1, x 2 + y2

= 4, z = 0};

= 2xi + zk

17.

a = (2y −15x)i + (z − y) j −(x −

3y)k , ∑ = z

+ y

+1, z = 0, x

+ y

;

18.

= (y2 + xz)i + (yx − z)

, ∑ = {x 2 + y2

=1, z = 0, z = 2 );

j + (yz + x)

19.a = (8x +1)i + (zx − 4y) j + (ex − z)k , ∑ = {x 2 + y2 + z2 = 2y};

20.a = xi + z j − yk , ∑ = {z = 4 − 2(x 2 + y2 ), z = 2(x 2 + y2 };

21.a = (y + z2 )i + (x 2 +3y) j + xyk , ∑ = {x 2 + y2 + z2 = 2x};

22.a = (sin z + 2x)i + (sin x −3y) j + (sin y + 2z)k , ∑ = {x 2 + y2 = z2 , z = 3, z = 6};

23.a = (cos z +3x)i + (x − 2y) j + (3z + y2 )k , ∑ = {x2 + y2 =1, z = 0, x + 2y +3z = 6};

24.a = (cos z +3x)i + (x − 2y) j + (3z + y2 )k , ∑ = {z2 = 36(x 2 + y2 ), z = 6};

25.a = (2y −5x)i + (x −1) j + (2 xy + 2z)k , ∑ = {2x + 2y − z = 4, x = 0, y = 0, z = 0}.

5. Поток векторного поля.

1. Вычислить поток векторного поля a = x 2 i + y2 j + z2 k через боковую поверхность конуса x 2 + y2 = z2 , 0 ≤ z ≤ h в сторону внешней нормали.

2.Вычислить поток вектора r через круг x 2 + y2 ≤ 4 , z = 2 в сторону положительного направления оси OZ.

3.Вычислить поток постоянного вектора a через площадку, перпендикулярную оси OZ имеющую форму круга радиуса R с центром в точке M0 (0, 0, 3) в положительном направлении оси OZ.

4.Найти поток векторного поля a = (x − 2z)i + (x +3y + z) j + (5x + y)k через верхнюю сторону треугольной площадки с вершинами А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

x 2

=1,

5. Найти поток r = xi + y j + zk через часть поверхности эллипсоида

a 2

лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.

6.Вычислить поток векторного поля a = yi + z j + xk через верхнюю сторону треугольной площадки с вершинами А(а, 0, 0), В(0, а, 0), С(0, 0, а).

7.Вычислить поток векторного поля a = zi + x j + yk через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом z = x 2 + y2 на плоскости z = h (h>0).

8.Вычислить поток векторного поля a = 3xi − y j − zk через внешнюю сторону части параболоида x 2 + y2 = 9 − z , расположенной в первом октанте.

9.Вычислить поток векторного поля a = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра y = R 2 − x 2 , ограниченную плоскостями z = 0, z = h (h>0).

10.Вычислить поток векторного поля a = xzi через внешнюю сторону параболоида

z =1− x 2 − y2 , ограниченную плоскостью z = 0 (z ≥ 0) .

Найти поток векторного поля F через ∑ в направлении внешней нормали. 11. F = (x3 + yz)i + (y3 + xz) j + (z3 + xy)k , ∑ = {x 2 + y2 + z2 =16, z ≥ 0};

12.F = (xy + x 2 )i + (2y − 2xy) j + (z − yz)k , ∑ = {x 2 + y2 = z2 , 0 ≤ z ≤ h};

13.F = (x − y + z)i + (y − z + x) j + (z − x + y)k , ∑ = {x + y + z =1};

14.F = 2xi + 2y j − zk , ∑ = {z2 = x 2 + y2 , 0 ≤ z ≤ h};

15.F = 2xi − y j + zk , ∑ = {x 2 + y2 + z2 ≤ 4, 3z ≥ x 2 + y2 };

16. F = x 2 yi + xy2 j + xyzk , ∑ = {x 2 + y2 + z2 ≤ R 2 , x, y, z ≥ 0};

17.F = x 2 i + y2 j + z2 k , ∑ = {x 2 + y2 + z2 =1, z ≤ 0};

18.F = y2 j + zk , ∑ = {z = x 2 + y2 , z ≤ 2};

19.

= xi − xy

j + zk , ∑ – часть цилиндра x 2 + y2 = R 2 , ограниченная плоскостями

z = 0, x + z = R ;

20.

= xzi + yz

+ y2

+ z2 = 9 , отсеченная плоскостью

j + z2 k , ∑ – часть сферы x 2

z = 2(z ≥ 2) ;

R 2

F = x

i + y

j + z

21.

k , ∑ = x

+ y

, 0

≤ Z ≤ H ;

22.F = (3x −1)i + (y − x + z) j + 4zk , ∑ – поверхность призмы, образованной плоскостью 2x − y − 2z + 2 = 0 и координатными плоскостями.

23.

Найти поток вектора

= x 2 i + y2

j + z2 k через всю поверхность тела

x 2 + y2 ≤ Z ≤ H в направлении внешней нормали.

24.

Вычислить поток радиуса вектора

= xi + y

j + zk через боковую поверхность

кругового цилиндра x 2 + y2 =1, ограниченного плоскостями x + y + z =1 и

x + y + z = 2 .

25.

Найти поток векторного поля

= xi − xy

j + zk через внешнюю сторону

цилиндрической поверхности x 2 + y2 = R 2 , ограниченной плоскостями y =1и

x + y = 4 .

6. Используя оператор Гамильтона :

1.Вычислить rot[a, r], a – постоянный вектор, r – радиус-вектор;

2.Доказать, что вектор a = u gradv ортогонален к rot a ;

3.Найти graddiv(ua) ;

4.Найти rot rot(uc) , ( c – постоянный вектор);

5.Найти rot(au) ;

6.Найти div(au) ;

7.Доказать справедливость формулы rot[ab]= a divb − b diva + (b )a −(a )b ;

8.Найти divf (r)r . Определить вид функции f (r) , для которой поле f (r)r является соленоидальным;

9.Найти div(r5 r) ;

10.Найти div(r(r,a)) , ( a – постоянный вектор);

11.Найти div[a[rb]], ( a, b – постоянные векторы);

12.Найти gradu , если u(x, y) определяется неявно уравнением u3 −3xyu = a 2 ;

13.Вычислить rot[c f (r)r], ( c – постоянный вектор);

14.Доказать справедливость формулы (a )ub = b(a u) + u(a )b ;

15.Доказать справедливость формулы (c (ab)) = (a(c )b) + (b(c )a) ;

16.Доказать справедливость формулы (c )[ab]= [a(c )b]−[b(c )a];

17.Доказать справедливость формулы ([ab]rot c) = (b( a)c) −(a(b )c) ;

18.Найти div(u gradv) ;

19.Найти rot[a rotb];

20.Для векторного поля a = x 2 y2 i + y2 z2 j + z2 x 2 k вычислить rot rota , grad diva ;

21. Показать, что векторное поле a = iex + jey + kez удовлетворяет уравнению a −grad diva = 0 ;

22.Показать, чтоGвекторное поле a = iey + jez + kex удовлетворяет уравнению a + rot rota = 0 ;

23.Вычислить (c ) ϕ(r) a(r) , ( c – постоянный вектор);

24.Вычислить (c ) ϕ(r) r , ( c – постоянный вектор);

25.

Найти

, если

= x(y2 + z2 )i + y(x 2 + z2 )

;

j + z(x 2 + y2 )

(r)

[

], (

– постоянный вектор).

26.

Показать, что

rot( f (r)

a) =

Найти циркуляцию векторного поля вдоль дуги С.

= z3 i + x3

, c = {2x 2 + z2 − y2 = a 2 , x + y = 0};

j + y3

= y2 i + xy

, c = {x 2 + y2 = az, x = 0, y = 0, z = 0, a > 0};

j + (x 2 + y2 )

= yexy i + xexy

, c = {x 2

+ y2 =1− z, x = 0, y = 0, z = 0};

j + xyzk

= xyi + yz

, c = {x 2 + y2

=1, x + y + z =1};

j + xzk

= xi + y

, с ={x 2 + y2 + z2 = a 2 , x + y + z = 0};

j + zk

= yi − 2z

, c = {2x 2 − y2 + z2 = a 2 , x = y};

j + xk

= xi − y

j, c = {(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R 2 };

8.F = (x + z)i + (x − y) j + xk , c = x 2 + y2 =1, z = 5 ;

a 2 b2

9.F = (x +3y + 2z)i + (2x + z) j + (x − y)k , с – контур треугольника с вершинами А(2, 0, 0),

В(0, 3, 0), С(0, 0, 1);

10.F = (x + y)i + (x − z) j + (y + z)k , с – контур треугольника с вершинами А(0, 0, 0), В(0, 1,

0), С(0, 0, 2);

11.

= (3x −1)i + (y − x + z)

j + 4zk , с – контур треугольника АВС, где А, В, С – точки

пересечения плоскости 2x − y − 2z + 2 = 0 соответствующими осями координат.

12.

Найти работу поля

= 2xyi + e2

+ y2 =1 от

j вдоль наименьшей дуги окружности x 2

А(1, 0) до В(0, 1).

13.

Найти работу поля

= 2xyi + y2

вдоль части кривой {x 2 + y2 − 2z2

= 2, y = x}

j − x 2

от А(1, 1, 0) до В( 2, 2, 1) .

14.Найти работу поля F вдоль кратчайшей дуги эллипса {x = a cosϕ, y = bsinϕ}, от А(а, 0) до B(0, b) если F = yi + a j.

15.Найти работу поля F = xyi + (x + y)j вдоль кратчайшей дуги эллипса

{x = 5cos t, y = 9sin t}от точки А(5, 0) до В(0, 9).

16.

Найти работу силы

, имеющей постоянную величину и направленной вдоль оси oy ,

вдоль кратчайшей дуги эллипса

x 2

=1 от A(a,0) до B(0, b) .

a 2

17.

Найти работу упругой силы, направленный к началу координат и пропорциональный

удалению точки от начала координат вдоль кратчайшей дуги эллипса

x 2

=1 от

a 2

А(а, 0) до B(0, b) .

18.

Под действием силы тяжести

, направленной по оси оz тело единичный массы

скатывается от точки A(a,0, 2πb) до точки B(a,0,0) по спирали

{x = a cos ϕ, y = bsin ϕ, z = b(2π−ϕ)}. Найти работу поля при таком перемещении.

19.

Найти работу поля

= −yzi + xz

j + xyk вдоль первого витка винтовой линии

x= a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = hϕ(0 ≤ ϕ ≤ 2π) .

20.Вычислить работу поля F = zi + x j + yk вдоль дуги OA кривой

r= ti + t 2 j + t3 k(0 ≤ t ≤1) .

21.Вычислить работу поля F = xyi + y j + (z −1)2 k вдоль отрезка винтовой линии

r(t) = cos ti +sin t j + πt k от точки А(1, 0, 0) до В(1, 0, 2).

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.20181.14 Mб2Allen_Portugal_uchebnik.doc
#
10.02.201539.84 Кб53Almashlyk.docx
#
26.08.201922.4 Кб1Analiz_osnovnykh_sredstv (1).docx
#
08.09.201975.63 Кб22Analiz_vneshney_sredy_kompanii_Tat.docx
#
10.02.2015533.15 Кб195Anatomia_i_fiziologia_cheloveka.rtf
#
10.02.2015247.3 Кб23Anchikov_VTA1.pdf
#
23.03.201690.11 Кб89angdiyskiy.doc
#
27.09.201991.14 Кб3anglysky_dop.doc
#
22.09.2019646.14 Кб4Anglysky_yazychok_07-08 (1).doc
#
26.09.2019101.89 Кб2angl__39_metodicheskie_rekomendatsii_39.doc
#
01.12.2018433.15 Кб7Antikrizisnoe_upravlenie.doc